2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题（解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用

23铅笔将试卷类型(4)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角

“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试

卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不

准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4=国一2<%<4},B={2,3,4,5},则4B=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.

{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求4B.

【详解】由题设有Ac3={2,3},

故选：B.

2.已知Z=2—i，则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的乘法和共期复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2-，，故)=2+i，故z("i)=(2-i)(2+2i)=4+4i—2i-2『=6+2i

故选：C.

3.已知圆锥的底面半径为近,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2及C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为

所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则力/=2兀*&，

解得/=2万

故选：B.

4.下列区间中，函数/(x)=7sin[x-单调递增的区间是()

D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2版r—]<x—2<2版■+'(ZGZ),利用赋值法可得出结论.

/7171\

【详解】因为函数丫=$皿*的单调递增区间为2人7一彳,2人乃+,(AeZ),

对于函数/(x)=7sin[xq由2攵万一]<%一?<2Zzr+](攵GZ),

B不满足条件;

满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（3x+w）形

式，再求y=Asin（5+s）的单调区间，只需把看作一个整体代入y=sinx的相应

单调区间内即可，注意要先把。化为正数.

22

5.已知耳，鸟是椭圆c：]+亍=1的两个焦点，点”在c上，贝川吗卜|咋|的最大

值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得至!I|叫|+悭闾=2。=6,借助基本不等式

\MF{\-\MF2\<㈤岫|即可得到答案.

I2,

【详解】由题，a2=9,b2=4,则4|+|M8|=2a=6,

所以附/讣附图/的史也®]=9（当且仅当四国=|叫|=3时，等号成立）.

I2,

故选：C.

【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式

得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可

快速求解.

则sin9(l+sin29)(

6.若tan。)

sin6+cos。

6226

A.--B.--C.—D.-

5555

【答案】c

【解析】

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母（1=sin20+cos2e），

进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan。=-2即可得到结果.

【详解】将式子进行齐次化处理得：

_sin/sinO+cos。)_tai？e+tan。_4-2_2

sin2+cos231+tan201+45

故选：c.

【点睛】易错点睛：本题如果利用tan。=—2,求出sinacos。的值，可能还需要分象限

讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

7.若过点(a,》)可以作曲线y=e*的两条切线，则()

A.e”<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0</?<ea

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，

结合图形确定结果；

解法二：画出曲线丁="的图象，根据直观即可判定点(a,。)在曲线下方和x轴上方时才可

以作出两条切线.

【详解】在曲线y=/上任取一点对函数>=/求导得y'=e',

所以，曲线y=e•'在点P处的切线方程为y—d=e'(x—7),即y=e'x+(l—t)d,

由题意可知，点(a,〃)在直线>=dx+(l—。e’上，可得匕=〃+(lT)e'=(a+l—7)e',

令/⑺=(a+l-f)e,则/«)=(aT)e'

当r<a时，/'(/)>0,此时函数单调递增，

当/>a时，/'«)<(),此时函数/")单调递减，

所以，/⑺四="。)=巴

由题意可知，直线y=b与曲线y=/(r)的图象有两个交点，则匕</("心=e",

当r<a+l时，/«)>(),当r>a+l时，/(。<0,作出函数/«)的图象如下图所示：

由图可知，当o<b<e"时，直线丁=匕与曲线y=/Q)的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=，的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,。)在曲线下方和x

轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0<A<e".

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函

数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础

上，直观解决问题的有效方法.

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取

1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”,

丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，

则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】P（甲）=,，P（乙）=,，P（丙）=二，/丁）=二=:，，

6636366

故选：B

【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据再，々，…，天，由这组数据得到新样本数据以，为，…，得，其中

%=玉+。（，=1,2,…,”）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B,两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E（y）=E（x）+c、D（y）=£）（%）,即可判断正

误：根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：£（丁）=凤%+。）=凤幻+。且。#0,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为巷，则第二组的中位数为X=x,+c,显然不相同，错误；

c：r＞（y）=r）（x）+o（c）=r）（x）,故方差相同，正确；

D:由极差的定义知：若第一组的极差为彳”.一王山，则第二组的极差为

Nmax-Win=（/ax+0）-（/in+。）=/ax一/in，故极差相同，正确；

故选：CD

10.已知0为坐标原点，点［(cosa,sina),g(cos4,-sin/),

《(cos(a+4),sin(a+尸))，A(l,0),则()

A.|。月|=|。胃B.同|=|阿

C.0Aop3=07ORD.OAOP^OP2OPy

【答案】AC

【解析】

uuuuuu

【分析】A、B写出0［,0P-APrA鸟的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；

C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

22

［详解】A：OPX=(cosa,sina),OP2=(cos尸,—sin尸)，所以|OP{|=Vcos+sina=1，

10P21=J(cos0)?+(—sin/?)2=1，故1|=|OP2\,正确；

B：时=(8sa-l,sina),AF^=(cos/?-1,-sin/3},所以

IA[|=J(cosa-if+sin2a=Jcos2a-2cosa+l+sin2a=^2(1-cosa)=21sin—|

2

，同理理g1=4cos6-1)2+sin?4=21sin刍,故|Ag|不一定相等，错误;

C：由题意得：OA-OF^=1xcos(«+yff)+0xsin(a+/?)=cos(«+p)，

OP}-OP2=cosa-cos/?+sincr•(-sin/?)=cos(cz+J3),正确；

D：由题意得：OA-OF\=Ixcoscr+Oxsinor=coscr,

OP,OP?=cosftx8s(a+尸)+(-sin尸)xsin(a+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说。故错误；

故选：AC

11.已知点P在圆(x—5y+(y—5)2=16上，点A(4,0)、B(0,2),则()

A.点p到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NP8A最小时，归邳=3夜

D.当/尸84最大时，|尸却=30

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线A3的距离的取值范围，可判断

AB选项的正误；分析可知，当/PBA最大或最小时，P8与圆M相切，利用勾股定理可判

断CD选项的正误.

【详解】圆（x—5）?+（y—5）2=16的圆心为M（5,5）,半径为4,

直线A3的方程为[+5=1，即x+2y-4=0,

42

圆心M到直线AB的距离为B：2X5—4|=U=巫>4,

712+22V55

所以，点P到直线AB的距离的最小值为L幽—4<2,最大值为小叵+4<10,A选项

55

正确，B选项错误；

如下图所示：

当NPA4最大或最小时，P5与圆M相切，连接MP、BM，可知PA/LPB，

\BM\=,J（0-5）2+（2-5）2=A/34，\MP\=4,由勾股定理可得

|BP|=yl\BMf-\MPf=372.CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线/与半径为「的圆C相离，圆心C到直线/的距离为d,则圆C

上一点P到直线/的距离的取值范围是[d-r,d+r].

12.在正三棱柱ABC-44G中，AB=AA=1,点P满足=+其中

/le[O,l],/de[0,1],则（）

A.当4=1时，△AB/的周长为定值

B.当汹=1时，三棱锥P—AB。的体积为定值

C.当2=1时，有且仅有一个点尸，使得A/LBP

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得48,平面A37

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点

的个数.

易知，点尸在矩形BCGg内部(含边界).

对于A,当2=1时，BP=BC+RBB[=BC+/JCC\,即此时Pw线段CG，Z\A4P周长

不定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB=BBt+,故此时P点轨迹为线段Bg,而

B\C\//BC,30〃平面A|BC,则有p到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，

故B正确.

11

对于C,当4=]时，BP^-BC+piBB,,取6C,4G中点分别为。，H，贝I

BP=BQ+jLiQH,所以尸点轨迹为线段Q”，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,

Ay,O,l,尸(O,O,〃)，则4P=,BP=

\/v7\/°'4'4

AP-8P=〃(〃-1)=O,所以〃=0或〃=1.故“，。均满足，故C错误；

对于D,当〃=；时，BP=ABC+-BBiCC,中点为M,N.BP=BM+入MN，

22

所以尸点轨迹为线段MN.设P（0,%,；）,因为Ap机,0,0；所以AP=-y,y0,1,

']'3]]\

A[B=--,所以一+—%--=0=>y=一一,此时尸与N重合，故D正确.

2242220

7

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知函数/(6二%3,2’一？-')是偶函数，则"=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函数的定义可求参数”的值.

【详解】因为/(力=932*-2-*),故y(—x)=—*3(82一，一2)

因为/(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，

时丁.2)-2-v)=-x3(a-2-v-2A),整理得到(a-l)(2A+2-x)=0,

故a=l,

故答案为：1

14.已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，P为C上一点,PF与

x轴垂直，。为x轴上一点，且PQ_LOP,若|同=6,则C的准线方程为.

【答案】x=-3

2

【解析】

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.

【详解】抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点

为C上一点，P/与x轴垂直，

所以P的横坐标为“，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土〃，

2

不妨设P(§P),

因为。为x轴上一点，且PQLOP,所以。在F的右侧，

又|FQI=6,

因为PQLOP,所以PQOP=5x6—“2=0,

Qp>09.\p=3f

3

所以。的准线方程为工=--

2

3

故答案为：x——.

2

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

15.函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知/(X)定义域为(0,+8),讨论0<x4，、-<x<\,x>l,并结合

22

导数研究的单调性，即可求f(x)最小值.

【详解】由题设知：/(幻=|2工一1|一2111无定义域为(0,+8),

.•.当0<x«g时，f(x)=l-2x-2]nx,此时/(幻单调递减；

19

当一<xWl时，f(x)=2x—l-21nx,有/'(x)=2——<0,此时/(x)单调递减；

2x

2

当x>l时，f(x)=2x-l-2\nx,有/7x)=2-->0,此时f(x)单调递增；

x

又/(X)在各分段的界点处连续，

.•.综上有：0(尤<1时，/(幻单调递减，X>1时，/(X)单调递增；

A/(x)>/(1)=1

故答案为：1.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸某条对称轴把纸对折，规格

为2()dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到l()dmxl2dm,2()dmx6dm两种规格

的图形，它们的面积之和$=240dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,

20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=ISOdn?,以此类推，则对折4次共可

以得到不同规格图形的种数为；如果对折”次，那么dm2.

k=\

【答案】①.5②.720-15；：：")

【解析】

【分析】(1)按对折列举即可；(2)根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】(1)由对折2次共可以得到5dmxl2dm,K)dmx6dm,2()dmx3dm三种规格

53

的图形，所以对着三次的结果有：-xl2,5x6,10x3；20x-,共4种不同规格(单位dn?)；

22

5533

故对折4次可得到如下规格：-xl2,—x6,5x3,10x-20x-,共5种不同规格;

422（4

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格

如何，其面积成公比为:的等比数列，首项为120（dm，,第八次对折后的图形面积为

（\丫1

120x-，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想

为〃+1种（证明从略），故得猜想S,J2。』：。,

J120x2120x3120x4,120（/1+1）

设S[S*=-^~+-^+-^+L+3』，

120x2120x3120〃120（〃+1）

则一S=—：—+——++―7+―-——-,

221222"~'2"

两式作差得：

120120（〃+1）120（〃+3）

；------------，

—JOU---2-八--12〃-JOU-------2-〃-----

240（/7+3）15（〃+3）

因此，5=720----——^=720——

2"2~4

~15（〃+3）

故答案为：5；720——2"-4

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于｛。，e｝结构，其中｛a,,｝是等差数列，｛〃｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛4+包｝结构，利用分组求和法；

（4）对于,结构，其中｛4｝是等差数列，公差为4（4。。），则

A*d[anan+]）

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛,叫>满足*1,2《++1,2”,〃为为奇偶数数，.

⑴记b„=a2n,写出白，b2,并求数列出｝的通项公式;

（2）求｛凡｝的前20项和.

【答案】（1）4=2也=5；（2）300.

【解析】

【分析】（1）根据题设中的递推关系可得be=»+3,从而可求｛〃｝的通项.

（2）根据题设中的递推关系可得｛«„｝的前20项和为S20可化为

50=2佃+4++仇+九）一1（）,利用⑴的结果可求S20.

【详解】（1）由题设可得乙=。2=q+1=2,〃2=“4=。3+1=。2+2+1=5

又a2k+2=”2«+1+1，”2«+1=。2k+2，（A€N）

故4*+2=/&+3，即2M=%+3,即4+1一2=3

所以｛4｝为等差数列，故〃=2+（〃—1）x3=3"—1.

（2）设｛。“｝的前20项和为$20,贝ljS20=4+。2+。3++。20，

因为q=_1，43=04—L,4|9=420_］，

所以$20=2（4+g+-+^8+6（20）—10

（9x10、

伍+打+

=2+^9+/?,O）-1O=2X10x2+—^—x3-10=300.

【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推

关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.

18.某学校组织“一带一路''知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问

题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则

从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题

中的每个问题回答正确得20分，否则得。分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否

则得。分，己知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能

正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【解析】

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即

可.（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20,100.

p(x=0)=1-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

(2)由(1)知，E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为0,80,100.

p(y=0)=1-0.6=0.4；

P{Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

P(X=l(X))=0.8x0.6=0.48.

所以£(丫)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答8类问题.

19.记A8C是内角A,B,C的对边分别为。，b,U已知〃=ac，点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=h；

(2)若AD=2DC,求cosZABC.

7

【答案】(1)证明见解析；(2)cosZ4BC=—.

12

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有8。=竺，结合已知即可证结论.

b

(2)由题设==—,应用余弦定理求cosNAO3、cosNCDB,又

33

么DB=TT-4DB,可得2/+4=W二，结合已知及余弦定理即可求cosNABC.

CT3

B

【详解】

sinCc

(1)由题设，BD='"me,由正弦定理知：，—=一2一即url---------=—

sinZABCsinCsinZABCsinZABCb

BD——,又b2=ac,

b

:・BD=b,得证.

/-AJ1

(2)由题意知：BD=b,AD=—,DC=~,

33

,,4〃2\3b22,2b210b2

b~+----c-----cbH----C2l-----

：.cosZADB=--------—---—,同理cosNCOB=----、一=—^―

2b.2b4/725b2b

2b-———

33---------------------------33

ZADB=7i-ZCDB,

13〃2210"

-o—ca———[],2

-^777—-—-，整理得2a2+c2---->又b，=ac，

4b~2b~3

~T

c2b4业,整理得6/-11/匕2+3/=0,解得卫=1或[=?

2aH——

a3/3〃2

a1+c2—b~4a2

由余弦定理知：cosZ4BC=-一~-——=

2ac32b°

当[=J_时，cos/48C=Z>l不合题意；当q=3时，cosZ4BC=—；

h236b-212

7

综上，cos/4BC=—.

12

【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及4LD3=〃-4D3得到。，仇c的数量关系,

结合已知条件及余弦定理求cosNABC.

20.如图，在三棱锥中，平面A3D_L平面BCO，AB=AD，。为30的中点.

（1）证明：OAVCD-,

（2）若,..OCD是边长为1的等边三角形，点£在棱AO上，DE=2EA，且二面角

E—8。一。的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

【答案】（1）详见解析（2）瓜

6

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AOL平面BCD,即可证得结果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.

【详解】（1）因为AB=ADQ为BD中点，所以AOJ_BD

因为平面ABD平面BCD=8D,平面ABD,平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因为COU平面BCD,所以AOCD

（2）作EF_LBD于F,作FM_LBC于M,连EM

因为AOJ_平面BCD,所以AO_LBD,AOJ_CD

所以EF_LBD,EF，CD,B£>cC£）=O,因此EFJ_平面BCD,即EF_LBC

因为FM_LBC,FMlEF=F，所以BC_L平面EFM,即BCJ_ME

TC

则ZEMF为二面角E-BC-D的平面角，NEMF=一

4

因为=，OCE>为正三角形，所以©BCD为直角三角形

因为DE=2£A,FM=-6F"=耳（1+1）=大

,,2

从而EF=FM=—AO=1

3

QAO，平面BCD,

所以V=—AO-S.BCD=—xlx—xlx5/3=

39326

【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知点£（-J万,0）、鸟（J万,0川吗|一网玛=2,点加

的轨迹为C.

（1）求。的方程；

（2）设点T在直线光=，上，过T的两条直线分别交C于A、B两点利P,。两点，且

2

|7X|-|7B|=|7P|-|T2|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

【答案】（1）x2-^-=l（x>l）;（2）0.

161）

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点耳、居为左、右焦点双曲线的右支，求

出。、匕的值，即可得出轨迹C的方程；

（2）设点设直线AB的方程为y—r=设点A（%,y）、3（毛,%），

联立直线A8与曲线。的方程，列出韦达定理，求出|力4|・|窃|的表达式，设直线PQ的斜

率为&2,同理可得出|74|丁。|的表达式，由|7/•|用=|研­|丁。|化简可得匕+&2的值.

【详解】因为阿耳|峥|=2<|耳用=2后,

所以，轨迹C是以点耳、鸟为左、右焦点的双曲线的右支，

22_________

设轨迹C的方程为三一齐=1（。〉0,。>0）,则2a=2,可得a=l,b=yln-a2=4>

2

所以，轨迹C的方程为一一二=1（x21）；

161）

（2）设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点，

不妨直线A8的方程为=，即y=占，

,1.

y=k,x~\~t—k,

联立《12、消去y并整理可得

16X2-/=16

（k；—16）/+&（2/—4）x+（/—万&）+16=0>

11

设点4（%，乂）、5（%2，%），则为>•:一且Q>—.

2-2

m+16,

k2-2kt

由韦达定理可得X]+々='1,

.—16%”6―16

所以，

二（百）卷「山+斗d+f；）,

科阳=0+#）.”扑=

\1H1-24J将_16

(r+12)(1+砌

设直线PQ的斜率为网,同理可得|7尸卜|丁。|=

抬—16

(?+12)(1+^)

因为|以卜|用=|7?|17。|,即」+："『')整理可得片=片,

后一16

即色一占)(匕+H)=0,显然2H0，故(+%2=0.

因此，直线A3与直线P。的斜率之和为0.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22.已知函数/(x)=x(l—lnx).

(1)讨论/(x)的单调性；

(