2022-2023学年河南省信阳市高一年级上册1月测试（二）数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年河南信阳市高一上册1月测试（二）数学模拟试题

（含解析）

一、单选题（每小题5分，8小题，共40分）

L已知集合∕={（xj）lx+y≤2,x∕eN},则A中元素的个数为

A.4B.5C.6D.无数个

2.若对于任意实数X,冈表示不超过X的最大整数，例如

[√2]=1,[√3]=1,[-1,6]=-2,那么"冈=M"是x-y∣<1"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知偶函数/（x）的定义域为R,当xw[0,+oo）时，=则/（x-l）<l的

解集为

4.函数y=的图像大致是

5.已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x-4)=-/(x),且在区间［0,2］上是增函

数，则

A./(16)</(-17)</(18)B./(18)</(16)</(-17)

C√(16)<∕(18)<∕(-17)D.∕(-17)</(16)</(18)

6.若两个正实数X,J满足x+y=个且存在这样的X,y使不等式x+上</+3加有

4

解，则实数m的取值范围是

A.(-l,4)B.(-4,1)C.(-∞,-4)u(1,+∞)D.(-∞,-3)u(0,+∞)

7.若不等式1唯I+2'+?—"K'N(x-l)log23,xe(-8,1)恒成立,则实数a的范围

是

A.[0,+∞)B.[l,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1]

8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a(O<a<r)的弧

度数为().

AΛBΛC,√3D.√2

32

二、多选题(每小题5分，4小题，共20分)

9.设函数/(x)=In(X2-χ+l),则下列命题中正确的是()

A.函数/(x)的定义域为RB.函数/(x)是增函数

C.函数/(x)的值域为RD.函数/(X)的图像关于直线X=；对称

Io.已知函数f(x)=<一c,下列是关于函数y=∕"(x)]+l的零点个数的判

Iog2x,x>0

断，其中正确的是()

A.当QO时，有3个零点B.当k<0时，有2个零点

C.当QO时，有4个零点D.当k<0时，有1个零点

IL已知正实数a,b满足”+b=〃mb+〃，则下列结论中正确的是()

A.若m=l,"=0,则αb≥4

B.若m=l,n=0,则α+b≤4

12∖3+2√i

C.若w=0,M=1»则----------1--------≥------------

2a+bb+13

D.若m=1,/7=-1,则a+b≥2近+2

12.已知正数x,%z满足3*=4□=6z,则下列说法中正确的是()

A.—I------=-B.3x>4y>6zC.xy>2z2D.x+y>∣------F^∖∕2z

X2yz12,

三、填空题(每小题5分，4小题，共20分)

13.函数y='4-X'的定义域为.

2X2-3X-2

M.设函数/⑴=号*在区间曰2]上的最大值为最小值为N,则

(A/+N-1)2°22的值为.

Sine-COSe

15.已知tan。=2,则

2sin6+cos6

16.若函/(x)=MTTI(α>0,且α≠l)在区间二Dj上单调递减，则实数α

的取值范围是.

四、解答题

x_1

17.已知函数/(x)=e∙^--

ev+1

(1)判断函数/(x)的奇偶性并加以证明；

(2)∀x∈R,不等式/(0√+2)+∕(2x-l)>0成立，求实数α的取值范围.

18.设函数y=∕nχ2-加X-L

(1)若对任意XeR,使得y<O成立，求实数的取值范围；

(2)若对于任意xe[l,3],y<-〃?+5恒成立，求实数的取值范围.

19.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指

标值是这种新材料的含量X(单位：克)的函数，且性能指标值越大，该产品的

性能越好：当0≤x<7时，y和X的关系为以下三种函数模型中的一个：

①y=or?+bx+c；②y=A∙α”(α〉O,且awl)；③y=Alog"X(a>0,且。71)；

其中人,a,b,c均为常数.当xN7时，y=L，其中加为常数.研究过程中部分

\3?

数据如下表:

x(单位：克)0210..........

6ɪ

y-488a..........

(1)指出模型①②③中最能反映y和x(0≤x<7)关系的一个，并说明理由;

(2)求出y与X的函数关系式；

(3)求该新合金材料的含量X为多少时，产品的性能达到最佳.

20.已知函数/(x)=3-21og2x,g(x)=Iog2x.

(1)求函数歹=/卜2)./(4)+28(N)在口,4]上的零点；

(2)若函数A(X)=Lf(X)+l]∙g(x)-左在[1,4]上有零点，求实数学的取值范围.

21.已知函数/(x)=S^η→α是奇函数

(1)求”的值；

(2)若"(x)-l]∙lnx<0,且x>l求X的取值范围

22.2知函数f(x)-x+--4,g(x)-kx+3

X

(1)对任意的α∈[4,6],函数/(x)在区间[1,刈上的最大值为|/(⑼试求实数

m的取值范围；

(2)对任意的αe[l,2],若不等式∣∕.(XJH/(9)∣<g(xj-g(w)任意

xt,x2∈[2,4](王<》2)恒成立，求实数左的取值范围.

答案解析

1.C

解：∕={(x∕)lX+ʃ≤2,%,y∈N}={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}.故集合A

中含有6个元素；故选：C

2.A

解：如果[x]=[y]=π,n∈Z,则有x=n+di,y=n+d2,dl,d2∈[0,l)，

:\x-y\=\d{-√2∣<1,所以IxI=3是IX-川<1的充分条件；反之，如果∣x-y∣<l,

比如x=3.9∕=4.1,则有IX-川=0.2<l,根据定义，[χ]=3,U]=4,[x]H[y],即

不是必要条件，故Ixl=IyI是IX-Nl<ι的充分不必要条件；故选：A.

3.D

解∙∙∙ʃ(ɪ)=W==(上午3=-ι+-⅜,∕ω在[o,+∞)上单调递减，又/(%)为偶

函数,∕f∣]=l,∕(χ-l)<l,.•./(|》一1|)<./(：),，|工一1|〉；解得》<1或》>1,

、

.∙.∕(χ-l)<1的解集为[-∞,;)Dɪ

,+∞,故选：D.

√

4.A

χ3

解：函数y=7三的定义域为χχ±l

,3Q

当x=2时，y=-=^=-^=>Q,可知选项D错误；当x=-2时，

-VF≡1√15

y—~f====77=<O,可知选项C错误；当X=J时,

,V(-2)4-l√152

可知选项B错误。选项A正确，故选：A.

5.D

解：由题意可知/(x+8)=-∕(x+4)=∕(x),故函数/(x)是周期函数，且周期为

8,则/(16)=∕(0)J(77)=/(T)J(18)=/(2),因为奇函数/(x)在区间［0,2］上

是增函数，则该函数在区间［-2,0］上也为增函数，故函数/(x)在区间［-2,2］上为

增函数，所以/(T)</(O)</(2),即/(-17)<∕(16)<∕(18).故选：D.

6.C

解：4x+y=xy,—+—=↑,

yX

x+y=(x+f∖.(l+L∖=2+-+^-≥2+2^-∙^-=4,当且仅当，

4()∖yχ)y4xNy4x

把=Z,V=i6χ2j=4χ=8时等号成立，所以

y4x

m2+3次>4,w2+3∕w-4=(τw+4)(m-l)>O,解得团<一4或加>1,所以m的取值

范围是(-∞,-4)u(l,+GO).故选：C

7.D

解：题设不等式化为Iog1+2'+。-而Nlog”、，即1+2'+(l-α)3'23，，

2

l+2'≥α∙3',α≤(;)+]|),已知y=(；)+(|)减函数，x<1时，y<g+∙∣=1,

所以由不等式α≤J+[^∣J上恒成立得aW1.故选：D.

8.C

解：不妨设等边aABC的外接圆的半径为2,取BC的中点D,连接0D,0C,则

ZOCB=30°.由于ODLBC,在RtCD中，OD=-OC=∖,：.CD=√3,/.i⅛⅛

2

8C=2√L设该圆弧所对圆心角的弧度数为。，则由弧长公式可得6=垄=TL

2

故选：C

9.AD

解：A正确，∙.∙x,-z=(X一；)+:〉°恒成立，二函数/U)的定义域为R；

B错误，函数/(x)=In(X2_*+1)在(；,+OO上是增函数，在(fo,g上是减函数;

C错误，由式Y-χ+l=(χ-g)+(≥q可得/(x)=In(X2-x+i)2]n；,

.∙.函数/(x)的值域为l∏∣,+∞∖D正确，函数/(x)的图像关于直线X=；对称,

故选：AD.

10.CD

解：令歹=∕I∕(x)]+l=O∙得/"(X)]=T.设/U)=/，则方程/1/(切=T等价为

f(t)=-1,

①若k>0,作出函数f(X)的图象如图：

Vf(t)=-1,

.∙.此时方程f(t)=-1有两个根其中∕2<0,0<∕∣<1，由/(X)=L<0,此时X有两

解，由/(x)=0∈(0,1)知此时X有两解，此时共有4个解，即函数y=∕[∕(x)]+l

有4个零点.

②若k<0,作出函数f(x)的图象如图

Vf(t)=-1,此时方程f(t)=-1有一个根上其中0y<l,由/(x)=4∈(0,l),

此时X只有1个解，即函数y=∕[∕(x)]+l有1个零点.故选：CD.

11.ACD

解：当m=l,n=0时，a+h=ah≥2y[ab,

当且仅当a=b=2时取等号，解得ab24,故A正确;

a+b=ab<^~∖),当且仅当a=b=2时取等号，解得a+b24,故B错误;

当m=0,n=l时，α+Z>=l.所以

]2lf2a+b+h+∖4α+2b+2b+2]

2a+bb+∖3∖2a+b6+1J

当取仅当

1Λb+∖4a+2h}l(CIb+l4a+2h}3+2√2

3(2a+bb+lJ3∖2a+bb+l3

6+1=3誉时取等号•所以C正确'

24+8

z1\2

当m=l,n=-l时，a+b=ab-∖≤∖-1,当且仅当a=b时取等号，解得

I2)

α+6≥2√5+2(舍负),故D正确.故选:ACD.

12.ACD

解：正数X,y,Z满足3'∙=4''=6,设3*=4，=6，=«>>1),

则X=IOg3f,y=IogJ,z=Ioge/.对于A,ɪ+ɪ=log,3+ɪlog,4=log,6=ɪ,A正

x2y2z

确；

~τC2/X1/八3x3log,t31/I-/

对于B,3x=3Iog3t,4y=4Iog4t96z=6Iog6/,v——=-------=-Iog34<1,.∖3x<4y9

~4y4Iog4/4

V—==-Iog46<1,/.4y<6Z9：.3x<4y<6z,故B错误；

6z6Iog613

对于C,由！=1+-1->2」_(x02y),两边平方，可得孙>2Z2,故C正确；

zX2y]∣Ixy

对于D,由孙>2z?,∏TW∙^+>,>2Λ∕XV>2y∣2z2=2A∕ΣZ>f^y^+Z(X≠y),故

D正确.故选：ACD

解：由题意得尸了』解得：-2≤x<J或」<x<2,所以函数的定义

2X2-3X-2≠022

「，1、

域是一2,—<J—,2

_2y\2>

14.1

丫^-Lɔyγ3-L-Oy

解：由题意知，/(X)=:li-+I(Xe[—2,2])，设g(x)=—二工，则f(x)=g(x)

X+1X+1

+1,因为g(-χ)=f,2x=-g(χ),所以g(X)为奇函数，g(x)在区间卜2,2]

-wzI1

上的最大值与最小值的和为0,故M+N=2,所以("+N-严=(2-产=1.故

答案为：1

15.L##02

sinθ-cosθtan8-12-1

解：分子分母同除以COSe得:

2sin8+cos。2tanO+l4+15

35

4,6

解：函数_y=/T-l(α>0,且α≠l)的图像是将函数

y=α'(α>0,且α≠l)的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位

得到的，故函数/(x)=,ι-l∣(α>0,且的图象恒过点(1,0).

当0<a<l时，结合函数f(X)的图象：若函数F(X)在区间(α,“2"1)、

0<α<l

上单调递减，则a/NT),解得3≤α≤3,当a>l时，结合函数/(x)

246

3(2"%

2

的图象：若/(X)在区间(1［上单调递减.则α<∕2α一］),无实数解。

V2√2

3(2。-%

2

综上，实数a的取值范围为

146J

17.(1)解：函数f(X)为奇函数，证明如下:

γ

e_1

在=中，定义域为R，

.∙.∕(x)为R上的奇函数；

v_12

(2)解：∙.∙∕(x)=el--=-,/(x)=l+e'在定义城上单调递增，且

ex+11+e

2

y=~-

/(x)=l+ev>l,又/在(l,+∞)上单调递增，所以/(x)在R上单调递增

则不等式/(62+2)+/(2x-l)>0恒成立，

即/(o√+2)>一/(2%一1)恒成立，

即/(ox?+2)〉/(l-2x)恒成立，

.∙.ax1+2>l-2x恒成立，即ax2÷2x÷l〉O恒成立，

"八解得a>l,所以a的范围为(l,+8)∙

18.解(I)解：要使阳？_Znrτ<o,对任意χ∈R恒成立，

ʌ.一fm<0

若m=0,显然-IVO,满足题息；右m≠0,则<2，解得4<m<0,

Δ=∕77+4/77<O

综上，-4<∕"≤0,即m的取值范围是(-4,0].

(2)当x∈[l,3]时,y<τn+5恒成立,

即当xe[l,3]时，”,(Y-x+l)-6<O成立.

VX2-x+∖=x~2j+^>0，且加-χ+l)-6<0

./6

..m<----------

x2-x+∖

YM==J=-―J—在［1,3］上的最小值为2

X-x+l(1Y37

.∙.只需加<2即可，即实数的取值范围为1-00,∙f∙

7I7,

19.解［(1)模型①最能反映y和X(0≤x<7)的关系,

由题可知X=O时，y=-4,显然模型③不合题意，

若为模型②y=kax,则k=-4,y=-4a'<O不合题意，

故模型①最能反映y和X(0≤x<7)的关系；

(2)当0Wx<7时，y=ax1+bx+c,(a≠0),

由x=0,y=-4可得c=-4,

由x=2,y=8得4a+2b=12,

由x=6,y=8得36a+6b=12,

解得a=-l,b=8,

•∙y=-x~+8x4，

/［∖x-m］Z］、10-加1

当xN7时，ʃ=-,由X=Ioj=—，可得一=9-

∖ɜy9V3y

解得加=8,即有y=—，

-X2+8x-4,0≤x<7

综上，可得N=CY-8

(3)当04V7时，ʃ=-X2+8x-4=-(x-4)2+12,

即有x=4时，性能指标值取得最大值12；

(18

当x27时，y=-单调递减，

.∙.当x=7时，性能指标值取得最大值3；

综上可得，当x=4时产品的性能达到最佳.

20.解(1)由/(χ2).∕(4)+2g(χ)=0,得(3-41og2x)(3-log2x)+2iog2X=O.

令f=l0g2X,

Vx∈[l,4],

.,.t∈[0,2],

则原式可转化为(3-4f)(3T)+2/=O,

化简为4/一131+9=0,

解得t=l或t=2(舍去),

Iog2x=l,

.∙.x=2,即函数y=∕(χ2).∕(4)+2g(χ)在[1,4】上的零点为x=2.

(2)h{x}=(4—2Iog2x)∙log2%-A：=-2(log2X-I)?+2—左

令/=Iog2X,

''x∈[l,4],

.,.t∈[0,2],

令h(x)=0,^k=-2(t-↑)2+2

V∕∈[0,2]

Λ-2(/-1)2+2∈[0,2]

,即实数k的取值范围为[0,2]

21.解(1)Vf(x)是奇函数，且定义域为{x∣X∈R,XHO},

Λf(-1)=-f(1),

解得：

2

经检验是奇函数

(2)由(1)得，/(X)=占+1,Q[∕∙(x)-l]∙lnx<0,;，4+:一l]∙lnx<0

2121212,

Λ

又Qx>l,.∙.lnx>O,.∙.—-----，<0,即2—1>2,⅛?Wx>Iog23,

2'—12

综上，X∈(log23,+∞).

22.解(1)由/(x)=x+@-4,由对勾函数的性质得函数f(x)在(O,G)上单调

X

递减，在(、7,+00)上单调递增，

・，・∕,(x)=x+--4≥2y[a-4

X

又•「Q∈[4,6],/.f