2024届一轮复习人教A版 圆的一般方程 作业

课时分层作业（十九）圆的一般方程

［A组基础合格练］

一、选择题

1.若方程ay+（a+2）/+2ax+a=0表示圆，则a的值为（）

A.1或一2B.2或一1

C.-1D.2

C［若方程/?+（a+2）/+2ax+a=0表示圆，

则有3=a+2,解得a=2或a=-1.

当a=2时，原方程可变为2*2+2/+2X+1=0,

配方，得2（x+；）2+2/=一看不表示圆；

当a=-l时，原方程可变为/+/-2^-1=0,配方,得（X-1）2+/=2,它表示以（1,0）

为圆心，/为半径的圆.］

2.与圆C：/+/—2万+4/-1=0有相同的圆心，且半径是圆，的半径的一半的圆的方

程为（）

A./+"2x+4y+2=0

B.f+/—2x+4y+l=0

C.x+y-2x+4y-^=0

7

D.x+y-2x+4y+-=0

D［易知圆C的标准方程为（“一1尸+5+2尸=6,所以圆。的圆心坐标为（1,-2）,半

径为乖,故所求圆的圆心坐标为（1,-2）,半径为乎，所以所求圆的方程为（x—

2

+2)2=(乎)=5，即f++一2x+4y+g=0.]

3.圆8y+13=0的圆心到直线ax+y—l=0的距离为/，则a=()

A.0或一1B.0

C.7D.-1或7

D[将x+y-2x-8y+13=0整理得(不一1尸+(y-4)2=4,

所以圆的圆心坐标为（1,4）,

//-1-1-1

所以圆心到直线ax+y—1=0的距离d=="\/2,

1

整理得才一6a—7=0,解得a=—1或a=7.]

4.在平面直角坐标系。xy中，直线x+2y—4=0与两坐标轴分别交于点4B.圆C经

过4B,且圆心在y轴上，则圆C的方程为()

A.x+y+6y—16=0

B.x+y—6y—16=0

C.f+/+8y-9=0

D.x+/-8y-9-0

A[由题意得4(4,0),8(0,2),

则线段4?的斜率为一看中点为(2,1),故线段A?的中垂线为了一1=2(*—2),即2%

—y—3=0.

又4月在圆。上，且圆心C在y轴，

二线段46的中垂线与y轴的交点(0,—3)为所求圆的圆心C,半径二=/旺于=5,

故圆C的方程为(y+3)'=25,即/+/+6/-16=0,故选A.]

5.已知两定点小一2,0),6(1,0),如果动点尸满足I为|=2|%|,则点尸的轨迹所包

围的图形的面积等于()

A.nB.4nC.8兀D.9n

B[设尸(x,y),由条件知Mx+22+，=2巾x—F+J,整理得f+/—4x=0,即(x-

2尸+/=4,故点。的轨迹所包围的图形面积等于4n.]

二、填空题

6.如果2x+y+A=0是圆的方程，则实数4的取值范围是.

(一8,宁)[由题意知(-2)2+12-4冷0,解得信.]

7.若直线x+y+a=0平分圆/+/—2x+4y+l=0的面积，则实数a=.

1[根据题意，圆的方程为f+7一2x+4y+l=0,

其圆心为(1,—2).

因为直线x+y+a=0平分圆/+/—2x+4y+l=0的面积，所以圆心(1,—2)在直线

x+y+a=0上，

则有a+1—2=0,解得a=L]

8.已知点力(1,2)在圆/+/+2x+3y+m=0外部，则实数力的取值范围是.

(—13,竽)[由点4(1,2)在圆x2+/+2x+3y+加=0的外部.

得1+4+2+6+卬>0,解得口》一13.

13

又由4+9—4%>0得水彳，

所以一13〈欣］

三、解答题

9.(2022•湖南娄底高二期中)已知曲线G(1+a)(1+a)/—4x+8ay=0.

(1)当a取何值时，方程表示圆？

(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点.

(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值.

［解］(1)当a=—1时，方程为x+2尸0,表示一条直线.

当aW—1时，方程化为。一工§'+&+含=爷等"表示圆.

(2)证明：方程变形为丁+/-4*+&(/+/+84)=0.

V+/—4x=0,

由于a取任何值，上式都成立,则有＜

x+y+8y=0,

x=0,

解得

y=0

所以曲线C过定点4(0,0),彳?，—

(3)由⑵知曲线，过定点4,B,在这些圆中，以46为直径的圆的面积最小(其余不以

46为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大)，

从而以四为直径的圆的方程为d+(y+,=16

~5

山一284a44+16a216解得a=；.

所以而二木甲=《'T+7-^'

10.如图，已知正方形力版的四个顶点坐标分别为/(0,-2),8(4,-2),C(4,2),

4(0,2).

(1)求对角线所在直线的方程；

(2)求正方形485外接圆的方程；

(3)若动点〃为外接圆上一点，点M—2,0)为定点，问线段RV中点的轨迹是什么？并

求出该轨迹方程.

y—2x-4

［解］(1)由两点式可知,对角线“C所在直线的方程为』=百,整理得x-y-2

=0.

(2)设G为外接圆的圆心，则G为力。的中点，

・♦・”，宁)，即⑵。)，

设r为外接圆的半径，则，

则|AC\=^/4-02+2+22=4^/2,

二「=24.

.••外接圆方程为(x—2>+/=8.

y

⑶设点一坐标为(xo,y0),线段/W的中点材坐标为(*,y),则矛=号2，~^,

.".Xo—2x+2,y0—2y,①

•.•点一为外接圆上一点，；.(加—2产+/=8,

将①代入并整理，得f+/=2,

该轨迹是以原点为圆心，蛆为半径的圆，轨迹方程为f+/=2.

［B组能力过关练］

1.已知圆/+y—2/nx—（4勿+2）y+A/n+4/zz+1=0（/TZ^O）的圆心在直线x+y—7=0上,

则该圆的面积为（）

JI

A.4nB.2nC.nD.—

A［圆的方程可化为（x—勿）?+〈y—2m—I）?=疝5手0），其圆心为（见2/zz+l）.

依题意得，//H-2/Z/+1—7=0,解得勿=2,

；•圆的半径为2,面积为4n，故选A.］

2.已知圆C：x+y=4,则圆C关于直线/：x—y—3=0对称的圆的方程为（）

A.x+/-6x+6y+14=0

B.x+y+6^—6y+14=0

C.—4x+4y+4=0

D.x+y+4%—4y+4=0

A［设圆心C(0,0)关于直线7：x—y—3=0的对称点为D(a,A),则由

a=3,

解得

b=-3.

所以所求的圆的方程为（不一3尸+5+3）2=4,化为一般方程为f+V—6x+6y+14=

0.故选A.］

3.若曲线C：/+/-2ax+4ay+5a2—16=0上所有的点均在第二象限内，则实数a的

取值范围是.

（—8,—4）［曲线Gx+y—2ax+4ay+5a2—16=0,

即5—42+（y+2a”=16表示圆的方程，

可得圆心C（a,-2a）,半径为4.

[a<0,a<0,

由题意可得｛a|>4,

即，a>4或a<—4,

[|-2a|>4,

、a>2或a<—2,

解得a＜一4,

则实数a的取值范围是（-8,-4）.］

4.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的

平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或

圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中4（-2,0）,8（2,0）,则满足|处|

=21阳的点一的轨迹的圆心为,面积为.

（，°）［设点尸（x，7））代入|序I=21阳|得:矛+2::+产=2何%—2°+1,

整理得3f+3/-20x+12=0.

配方得（x-3+y=y.

所以点尸的轨迹的圆心为管，0）,半径为年圆的面积为日］

［C组拓广探索练］

在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆

盖圆.

最小覆盖圆满足以下性质：

①线段4?的最小覆盖圆就是以4?为直径的圆.

②锐角△46C的最小覆盖圆就是其外接圆.

已知曲线强x+y=16,己0,t),己4,0),(7(0,2),己—4,0)为曲线(上不同的四

点.

(1)求实数1的值及△/灰的最小覆盖圆的方程.

(2)求四边形的最小覆盖圆的方程.

(3)求曲线/的最小