高考数学解析几何-第02讲 顶角最大问题与渐近线性质

高考数学解析几何专题

第02讲顶角最大问题与渐近线性质

一、顶角最大问题

知识与方法

在椭圆中有两个比较特殊的角,一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角,另一个是短轴

上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角,它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中

最大的角,这两个最大张角有重要的应用,相关结论及证明如下：

22

结论1:已知F1,F2为椭圆,+2=1(">fo>0)的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当

点P为椭圆短轴的端点时,/6P外最大.

【证明】如图所示,设|尸6|=加,|尸用=〃,则："+〃=勿,|耳用=2<?,

所以E≤(等J=/(当“时取等号)

由余弦定理得：

cos/FPF=附用引=W+∕-(2C)2=2""L(2C)2

I2-2∖PFl∖∖PF2∖一Imn一2〃m

4a2-4C24⅛22b1

=---------------1=--------1≥-ʒ--1=1-2"9.

2mn2mnaz

当〃?="即IP用=IP用时取等号,所以当IP用=IP用时,cosZF1PF2的值最小，

又因为NK尸5«0,兀),所以此时NMPF2最大.即点P为椭圆短轴的端点时NKPF2最大

22

结论2:已知A,B为椭圆、■+%=1(。>匕>0)长轴上的两个顶点,Q为椭圆上任意一点,

则当点Q为椭圆短轴的端点时,ZAQB最大.

【证明】如图,设。(兑)')(0£1<4,0<丫£〃),过点。作。尸，48,垂足为73,则4尸=。+不

BP=〃一x,PQ=y,所以tanZA=,tanN8QP=∙^^,则

Vʃ

tanZ.AQP+tanZBQP

tanZAQB=

I-tanZΛβP∙tanZBQP

因为f=/一「J,所以tanZAQB=—.

ba

n(IB

2

又因为1—尸∙<0,∠ΛQβ∈(―,Æ)

所以当y=6时，tanZAQ8取得最大值，此时NAQ8最大.

即当点。为椭圆短轴的端点时，ZAQ3最大.

典型例题

【例1】若P是椭圆9+9=1上任意一点，F11F2是焦点，则ZF1PF2的最大值

为,

22

【例2】已知椭圆与+?=1,与耳是它的两个焦点，点尸为其上的动点，当NFFB

为钝角时，求点P横坐标的取值范围.

【例3】己知椭圆≤+^=l(α>h>O)长轴两端点为A1B,如果椭圆上存在P点使得

∆APB=120°,则椭哥的离心率的取值范围是.

[例4]设A1B是椭圆C⅞+^=l长轴的两端点，若C上存在点M满足∆AMB=

3m

120°,则m的取值范围是()

A.(0,l]U[9,+∞)B.(0,√3]U[9,+∞)

C.(0,l]∪[4,+∞)D.(0,√3]U[4,+∞)

强化训练

1.已知£,月为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得N与尸K=60。，则椭圆离心率的取

值范围是.

2.已知P为椭圆g+g=l(α>6>0)上一点，F11F2是其左右焦点，”止尸2取最大时

CoszF1PF2=则椭圆的离心率为.

γ2

2

3.焦点在%轴上的椭圆方程为^+y=l(α>O),F1,F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存

在点B,使得Z-F1BF2=p那/实数α的取值范围是.

4.已知&、F2是椭圆的两个焦点，满足碇•丽=O的点M总在椭圆内部，则椭圆离

心率的取值范围是()

A.(O,1)B.(0,∣)C.(O,y)D.(^,l)

5.设F11F2是椭圆C:]+A=I的两个焦点，若C上存在点P满足NFIPF2=120。,

则m的取值范围是()m

A.(0,l]u[12,+∞)B.(θ,∣]∪[2√3,+∞)

C.(0用U[2√3,+∞)D.(0用U[12,+∞)

6.已知椭圆C的方程为^+^(0<b<2)离心率e=∣,F1M2分别为左焦点和右顶点,

点P(m,n)在椭圆上,若/FiP4为锐角，则实数m的取值范围是.

二、渐近线性质

知识与方法

有关双曲线的一些结论:

结论I:双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

c

【证明】如左下图所示，作F2H1/1于H,F2(/θ)到渐近线l-L∙y=即bx-ay=O

的距离：

∖bc∖be

d=R"∣=漏笛="=b

22

【说明】如左下图,在Rt△OHF2中，尸2川=b,∣0F2∣=J贝∣J∖0H∖=y∕∖0F2∖-∖HF2∖=

Vc2—b2=a,

记I1的倾斜角为θ,显然有：渐近线I1的斜率k=tan。=*双曲线的离心率e=(=

COSθ'

我们称RtΔOHF2为双曲线的特征三角形，显然，这样的三角形有4个.

结论2:以线段F1F2为直径的圆与双曲线相交，设第一象限的交点为P,则P(α,b).

【证明】tan6=3=cosθ=%Sine=g,而∖0P∖=∣∣F1F2∣=c,所以xp=∖OP∖cosθ=

a

c--=a,

C

yp=|。PISinθ=c∙：=b,即P(α,b)

结论3:过双曲线会S=l(a>0,b>0)上任一点P作两渐近线的平行线PE,PF,则

它们和两条

渐近线围成的平行四边形的面积为定值y.

【证明】我们先证明一个引理：若0λ=(Xι,yι),而=(X2,力)，则^11AOB=-χ2yi∖∙

证明：SdAoB=j∖OA∖∖OB∖sm∆AOB=∣√(∣O;4∣∣Oβ∣)2(l-cos2Z∕1OB)

2222

=^^∖OA∖∖OB∖-(OA-OB')=ɪJ(xf+yf)(x^+y^)-(x1x2+y1y2)

1___________1

22χyx

=27(⅞y2)+U2y1)-2XιX2yιΓ2=2I!2_2y1l

下面结合引理来证明结论3.

X

依题意可设E(Xl,?xj,F(X2-~~2)^贝IJ而=荏+所=1]+*2，?(Xi-X2))，

即。11+孙沁1一工2))，代入双曲线方程得，0联一咤空=1,化简整理，得

a2

X1X2=7，

则S49=张1・(-)2)_%2《％1|=如1%21=：•亍=g所以SCJoEPF=2SAEOF=

ab

2°

结论4:过双曲线《一'=l(α>0,b>0)上一点P(Λ⅛,y°),作双曲线的切线交两渐近

线于i4(x1,y1),

β(x2,y2)两点，则称AAOB为双曲线的渐近三角形，双曲线的渐近三角形有如下性质：

⑴点P是线段AB的中点，即∖PA∖=∖PB∖.

(2)渐近三角形的面积为定值，即S-OB=ab.

证明留给读者.

典型例题

【例1】已知双曲线Cw-A=I(α>O,b>O)的左、右焦点分别为&，尸2,过FI的直线

与C的两条渐近线分别交于A1B两点.若品=福利及S=O,则C的离心率为

【例2】(多选)过双曲线C:捻—'=l(α>0,b>0)右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂

线，垂足为4与另一条渐近线交于点B,若∖AF2∖=l↑FB2∖,则双曲线C的离心率为

()

A.yB.√3C.乎D,3√3

【例3】已知双曲线5一，=l(α>O,b>O)的左右焦点分别为F11F2,右顶点为A1P是

双曲线右支上一点，PF1与渐近线y=-^x交于点Q,与渐近线y=gx交于点R,QR

的中点为M,若RF21PF1,且AM1PR：则双曲线的离心率为()

A.√3B.2C.√2D.√5

强化训练

2

1.已知双曲线Cv-.∖-y2=1,0为坐标原点，F为C的右焦点，过点F的直线与双曲

线。的两条渐近线分别交于点MM若AOMN为直角三角形，则IMNl=()

A.IB.3C.2√3D.4

2.设F11F2是双曲线捺Y=I(α>0,b>0)的左、右焦点，。是坐标原点.过％作C

的一条渐近线的垂线:垂足为P.若∣PF1∣=√6∣0P∣,则C的离心率为()

A.√5B.2C.√3D.√2

2

3.已知坐标平面xθy中，点F11F2分别为双曲线C∙.^-y=l(α>0)的左、右焦点，点

M在双曲线C的左支上，与双曲线C的一条翡近线交于点D,且D为MF2的中

点，点I为AOMFz的外心，若0」,D三点共线，则双曲线C的离心率为()

A.√2B.3C.√5D.5

4.己知双曲线⅞-g=1(a>O,b>O)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直

aib2

线与双曲线

的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2)B.(1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)

5.己知F是双曲线C⅛-⅛=l(α>O,h>O)的右焦点，。是坐标原点.过F作C的

一条渐近线的垂线，垂足为P,并交y轴于点Q.若IoQ=3|。PI,则C的离心率为

A.越B.越C.√2D.√3

44

6.双曲线6^-∖=l(α>0,b>0)的左焦点为F,过尸作X轴垂线交E于点A,过

F作与E的上条渐近线平行的直线交E于点B,且4,8在X轴同侧，若∆FAB=30°,

则E的离心率为.

7.过双曲线C:^—A=l(α>O,b>O)右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P,

与双曲线交于点A,若罚=3两，则双曲线C的渐近线方程为()

12

A.y=±-xB.y=±xC.y=±2xD.y=±-x

8.已知双曲线C=⅞-⅛=l(α>0,6>0)右支上一点P,经过点P的直线与双曲线C

的两渐更岁分别交于4、B两点.若点4、B分别位于第一、四象限，。为坐标原点.当

AP=^^PB时，XAOB的面积为2b,则双曲线C的实轴长为()

A.-B.-C.≤D.-

9999

9.双曲线C:捻一3=l(α>b>0)的左、右焦点分别为F]',点、P为C的左支上任意

一点，直线:是双曲线的一条渐近线，PQ1/,垂足为Q.当∣PΓ2∣+∖PQ∖的最小值为3

时，F1Q的中点在双曲线C上,则C的方程为O

A.x2-y2=lB.亡-"=1

J22

C.X2——=1D.--y2=1

22j

10.已知F11F2是双曲线l(ɑ>0,b>0)的左右两个焦点，若双曲线左支上存

在一点P与点尸2关于直线y=^χ对称，则该双曲线C的离心率为()

A.γB.√5C.√2D.2

11.已知双曲线l(α>O,h>O)的左、右焦点分别为&，6,过Fi的直线分别交

双曲线的两条渐近线于P、Q.若点P是线段F1Q的中点，且QFlLQF2,则此双曲线的

离心率等于.

参考答案

【例1】若P是椭圆9+9=1上任意一点，F11F2是焦点，则NFlPF2的最大值为

【答案】W

【解析】根据椭圆的方程可知：1+4=1,所以α=2,b=√5,c=l,由椭圆的对称性可

43

知，ZFlPF2的最大值时，P在短轴端点，此时AFlPF2是正三角形，所以乙F1PFz的最大

值为ɪ.

故答案为：?

【例2】已知椭圆:+]=1,4,8是它的两个焦点，点P为其上的动点，当NKP写为

钝角时，求点P横坐标的取值范围.

【答案】-巫<x<史.

55

【解析】山结论1知，当点P越接近短轴的端点时，NKpE越大，所以只要求NEPK为直

角时点P横坐标的值，因为C=右，所以当NKP鸟为直角时，点尸在圆f+V=5上，解

'42y2

方程组：T+T=1得：X=±畔，所以点P横坐标的取值范围是：—畔<X<学.

[例3]已知椭圆g+g=l(α>h>O)长轴两端点为A1B,如果椭圆上存在P点使得

∆APB=120°,则椭'初的离心率的取值范围是.

【答案】ee殍,1)

【解析】由结论2可知：当点P0为椭圆短轴的端点时，乙APoB最大，因此只要∆AP0B>

120°,则一定存在点Q使得∆AQB=120o,∣z½ρβ≥60°,即∆APO≥600所以

√⅛》遍，得e》*

故椭圆的离心率的取值范围是β∈[^,l)∙

[例4]设A1B是椭圆C:J+3=1长轴的两端点，若C上存在点M满足∆AMB=

120°,则m的取值范围是()

A.(0,l]U[9,+∞)B.(0,√3]U[9,+∞)

C.(0,l]∪[4,+∞)D.(0,√3]U[4,+∞)

【答案】A

【解析】当0<m<3时，椭圆C焦点在X轴上，要使C上存在点M满足NAMB=I20°,

则蓝≥tαn60o=√3,BP^≥√3,W0<m≤1;

当m>3时，椭圆C焦点在y轴上，要使C上存在点M满，故m足NAMB=I20°,则

JD

tαn60o=V3,

VTn

W≥√3,Wm≥9,故m的取值范围为(0,l]U[9,+∞)

强化训练

1.己知RK为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得NF∖PF[=60°,则椭圆离心率的取

值范围是.

【答案】ɪ1J.

【解析】由结论I可知：当点兄为椭圆短轴的端点时,N片々内最大，

,即。，即tanNfJ60≥q,

因此只需最大角/片《巴≥60。LN4EE≥30

1

得

也即海,解e>

-2-

故椭圆离心率的取值范围是ɪ11

.已知P为椭圆∖上一点，FF是其左右焦点,

25+=l(α>b>0)112NFIPF2取最大时

CoszF1PF2=

则椭圆的离心率为.

【答案】y

【解析】当P是椭圆短轴的顶点时，ZFiPF2取最大值，P为椭圆上任意一点，当NFlPF2

取最大值时的余弦值为ɪ由余弦定理可得coSNFlPF2=伊”:鲁匚即有ɪ=

3^∣r∕*1∣∣rr2l3

NF,化为α2=3c2,则e=T∙

2a2a3

故答案为：ɪ.

2

3.焦点在X轴上的椭圆方程为≡∣+y=l(α>0),FltF2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存

在点B,使得∆F1BF2=p那/实数Q的取值范围是.

【答案】[企,+8)

【解析】因为焦点在X轴上的椭圆方程为g-y2=l(α>0),所以b=l,c2=a2-l,

若椭圆上存在点B,使得∕FιBF2=今则以线段AX为直径的预案与椭圆有交点，即有CNb,即

C2>b2,c2-1≥1,又a>0,故a的取值范围为[√2,+∞)

4.已知&、F2是椭圆的两个焦点，满足丽•丽=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离

心率的取值范围是()

A.(0,l)B.(0,i)C.(0,y)D.(^,l)

【答案】C

【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c,

♦.・丽•丽=0,.∙.M点的轨迹是以原点。为圆心，半焦距C为半径的圆.

又M点总在椭圆内部，；.该圆内含于椭圆，即c<b,c2<Z√=02—¢2.

2

2c1√2

e=~2<o'∙∙0<e<—

a222

故选C.

5.设F11F2是椭圆C:9+A=I的两个焦点，若C上存在点P满足NFIPF2=120。,

则m的取值范围

是()

A.(0,l]U[12,+∞)B.(θ,∣]U[2√3,+∞)

C.(0用U[2√3,+∞)D.(0，HU[12,+∞)

【答案】D

【解析】当0<m<3时，椭圆C：v+-=1的焦点在X轴上，当M位于短轴的端点

时，NFIMF2取最大值，要使椭圆C上存在点M满足NFlMF2=120。，则

o

ZF1MF2≥120,ZF1MO≥60°,所以tanNQMO==》tan60°=√5,解得：0<

一3

nɪ≤7；

4

当m>3时，椭圆的焦点在y轴上，当M位于短轴的端点时，N&M/⅛取最大值，要使

oo

椭圆C上存在点M满足ZF1MF2=120,ZF1MF2≥120°,ZF1MO≥60,tanZF1MO=

ɪ≥tan60o=√3,解得：m≥12,m的取值范围是(0,引U[12,+时).

6.已知椭圆C的方程为y+g(0<b<2)离心率e=∖,F1,A2分别为左焦点和右顶点,

点P(m,n)在椭圆上,若NF】P&为锐角，则实数m的取值范围是.

【答案】(一2,2)

【解析】由题意得a=2,e=g,所以c=l,PPJb2=α2—C2=3,

点P(Tn,n)在椭圆上，设二喜：：：，则丽>=(一1一2COSa,-√5sinα),PZ；=(2-

22

2cos%—Hsina),若NFIPA2为锐角，则PF；,尸4；=cosa—2cosa÷1=(cosa-I)>O1

,

即cosα≠1,即m≠2;又由cosa=-1时，PFl与P4；同向,XFtP½2=θ故COSa≠1,即m≠

-2;则实数m的取值范围是(-2,2),

故答案为：(一2,2).

二、渐近线性质

知识与方法

有关双曲线的一些结论：

结论I:双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

【证明】如左下图所示，作F2H111于H1F2(C,0)到渐近线l1∙.y=即bx-ay=0

的距离：

∖bc∖be

b

d=∣F2∕∕∣=

22

【说明】如左下图,在Rt△OHF2中，|尸24|=b,∣OF2∣=c,贝IJ∖0H∖=y∕∖OF2∖-∖HF2∖=

Vc2-b2=Q,

记I1的倾斜角为。，显然有：渐近线Z1的斜率k=tanθ=g,双曲线的离心率e=；=

]“

COS

我们称Rt△OHF2为双曲线的特征三角形，显然，这样的三角形有4个.

结论2:以线段F1F2为直径的圆与双曲线相交，设第一象限的交点为P,则Pg,b).

【证明】tan。=30cos0=%s∖nθ=*而∖0P∖=∣∣FιF21=c,所以xp=∖OP∖cosθ=

a

一

C.c=Q,

yp=|。PISinθ=c∙g=b,即P(Cι,b)

结论3:过双曲线⅛-⅛=l(α>O,h>O)上任一点P作两渐近线的平行线PEfPF,则

它们和两条

渐近线围成的平行四边形的面积为定值y.

【证明】我们先证明一个引理：若OA=(χι,y1),OB=(χ2,y2),则SAzIOB=TXIy2-％2%l∙

证明：S&AOB=∖∖0A∖∖δB∖sm∆A0B=^√(∣0Λ∣∣0β∣)2(l-cos2∆AOBy)

=^∖OA∖2∖OB∖2-(0A∙0B)2=IJ(xf+yιX×2+y2)-(χ1x2+y1y2)2

1______________________________1

=2Y(Xly2/+(%2%)2-2%ιX2y∕2=2Wly2-%2%I

下面结合引理来证明结论3.

依题意可设EuX1),F(X2，-"2)，贝IJOP=OE+OF=(^X1+ɪ2∕^U1~ɪ2)^

即。1[+知(巧一%2))，代入双曲线方程得，红铲-吟对=1，化简整理，得

α2

%1%2=彳，

则SΔEoF=Tk1∙(一衣2)-小生」=如1%2∣=*9=F,所以S。OEPF=2SAE0F=

ab

2°

结论4:过双曲线,一，=l(α>0,b>0)上一点P(XO,ytj),作双曲线的切线交两渐近

线于Λ(x1,y1),

B(x2J2)两点，则称为双曲线的渐近三角形，双曲线的渐近三角形有如下性质：

⑴点P是线段AB的中点，即∖PA∖=∖PB∖.

(2)渐近三角形的面积为定值，即SXAOB=ab.

典型例题

【例1】已知双曲线C:捺一A=l(α>O,b>O)的左、右焦点分别为0,尸2,过FT的直线

与C的两条渐近线分面交于A1B两点.若品=福利及S=O,则C的离心率为

【答案】2

【解析】解法1:如图,

由两条渐近线的对称性可得：NBoF2=乙40&;由布•用=OnFIBIF2夕=∣0B∣=

|。Fll=|。尸21；由而=而=4为居8的中点，。力为等腰三角形FIoB底边FIB上的

中线，所以Z∕1OF1=∆AOB,所以/.BOF2=∆AOF1=∆AOB=60",于是g=tan60°=

V3,故e=Jl+%=Jl+(V3)2=2

解法2:

易求得B(α,b),又因为A为Fl与B的中点，可得4(甲,3,代入直线方程丫=一3X

得e=-=2.

Q

【例2】(多选)过双曲线C:捻一A=l(α>O,b>O)右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂

线，垂足为4与另一条渐近线交于点B,若∖AF2∖=l∖FB2∖,则双曲线C的离心率为

()

A.yB.√3C.ɪD,3√3

【答案】AB

【解析】由点到直线的距离，易得尸2*=b,有两种情形:

情形1:如左图所示，∣Q4∣=α,∣FB2∣=3b,∣AB∣=4b,因为ΛAOF2=∆BOF2,

由角平分线定理，得设=霜=3=|。8|=3|。川=3。，

在Rt∆AOB中，∖OB∖2=∖OA∖2+∖AB∖2,即(3α)2=a2+(4∂)2,a2=2b2=2(c2-

情形2:如右图所示，|尸2所=b,∖FB2∖=3b,∖AB∖=2b,

由△AOM-ΔBON=,㈣=等=3,所以IOBl=3∖0A∖=3a,

∖0A∖∖AM∖

∣∣2222222

在Rt4AOB中，|。8|2=|0*2+AB2,g∣J(3a)=a+(2h)rb=2a=c-a=⅛

e=√3.

综上所述：选AB.

［例3］已知双曲线g-g=l(a>0,6>0)的左右焦点分别为F11F2,右顶点为4P是

双曲线右支上一点，PF1与渐近线y=-^x交于点Q,与渐近线y=(%交于点R,QR

的中点为M,若RF21PF1,且AM1PF1,0则双曲线的离心率为()

A.√3B.2C.√2D.√5

【答案】B.

【解析】解法1：

由RF11RF2,得∖0R∖∣F1F21=c,易得R(a,b),

所以kRFi=ɪ设M(τn,n),由kRF∕∕⅛M=/得(推导方法见2.1垂径定理与第三定义)

nb

m-aa+c

nb

'τn+ca+c

(1)除以(2)得，，所以m

将Tn=W代入，整理可得e2-e-2=0,解得e=2.

解法2:

=

由RF11RF2,得IORI=JIF1F2∣=c,联立fɑɪ解得R(a,b).

121Ix2+y2=C2

延长RA,与OQ交于点R',则R'(a,-b∖A为RR'的中点，

又M为QR的中点，即MA是ARQRl的中位线，所以MA∕∕QR',

则MA∕∕QR'∕∕RF2,所以Oa=AF2,即α=c—α,得c=2α,故e=2.

强化训练

1.已知双曲线C-.^--y2=1,0为坐标原点，F为C的右焦点，过点F的直线与双曲

线0的两条渐近线分别交于点M,N.若AOMN为直角三角形，则IMNl=()

A.-B.3C.2√3D.4

2

【答案】B

【解析】两渐近线的斜率k=±g,所以ZMOF=-,∆F0N=-,Z.M0N=-.ΔFON为双

3663

曲线的一个特征三角形，IFNl=b=1,1。Nl=ɑ=√3,Rt∆MON中，tan乙MoN=券=

V3,MN=√30∕V=3,选B.

2.设F11F2是双曲线^-^=l(α>O,h>O)的左、右焦点，。是坐标原点.过F2作C

的一条渐近线的垂线:垂足为P.若∣PF1∣=√6∣0P∣,则C的离心率为()

A.√5B.2C.√3D.√2

【答案】C

【解析】如图，在&P0F2中，PF2=R0P=α,0F2=c,所以costPOB=，因为

4POFι+4POB=n，所以COSZPOF1=,又APO心中，由余弦定理可得

COSZPOF=叱=~+,-P第=-巴整理得pF2=¢2+2结合|p&=√6∣p∣,

12C∕rj∙C∕rZCQC3αι0

得c2+3a2=6。2,可得e=W.选C.

3.已知坐标平面xθy中，点F11F2分别为双曲线C9-y2=i(a>0)的左、右焦点，点

M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条箫近线交于点。，且D为MF2的中

点，点I为40MF2的外心，若OTD三点共线，则双曲线C的离心率为()

A.√2B.3C.√5D.5

【答案】C

【解析】因为/为AOMFz的外心，D为MF2中点，所以ID1MF2.

又0,1,D三点共线，所以。。IMF2.

又ODIlMF1，故MFl1MF2.

易得F2到OD的距离为b,即OF2=b,所以MF2=26,

22

又。。1MF2,贝IJOD=√c-b=a,MF1=20D=2a

由双曲线的定义可得：MF2-MF1=2a,即2b—2a=2a,得b=2a

所以e=(=匹F=Ji飞7=后

故选C.

4.已知双曲线圣-^=I(a>O,b>O)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直

线与双曲线

的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2)B.(1,2]C,[2,+∞)D.(2,+∞)

【答案】A

【解析】曲线=1的渐近线方程为y=±-x,由题意可知，渐近线倾斜角的范围为

(0,9，二渐近线的斜率k∈(0,√3),又•：k=纭三,••・与尹<3=*<4nee(1,2).

5.已知F是双曲线C9-，=l(a>0,b>0)的右焦点，。是坐标原点.过F作C的

一条渐近线的垂线，垂良为P,并交y轴于点Q,若∣0Q=3∖0PI,则C的离心率为

【答案】A

22

【解析】易得∖PF∖=b,∖0P∖=α,故IoQl=3a,∖PQ∖=yJ∖0Q∖-∖0P∖=2√2α,

又IOQI2+∖0F∖2=∖QF∖2,故(3α)2+c2=(2√2a+b)2,整理得a=2√2⅛,

故C=√a2+b2=3b,e=;==

6.双曲线E:^-^=l(a>0,h>0)的左焦点为F,过F作X轴垂线交E于点A,过

F作与E的上条渐近线平行的直线交E于点8,且A1B在X轴同侧，若∆FAB=30%

则E的离心率为.

【答案】ɪ

【解析】易得4(一C，?)，又直线FB方程为y=^x+c),与双曲线方程联立得

222一

8(-宁故呢8=F⅛≡-=一百，整理得2c-√3a=h,两边平方得4c2-

'"皿/~—(-C)

4√3ac+3a2=b2=C2—a2,即3c2—4√3ac+4a2=0,即3e2—4√3e÷4=0,即

(V3e-2)2=0,故β=ɪ=ʒɪ.

7.过双曲线C-.^-ξ=l(a>0,b>0)右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P,

与双曲线交于点4若亏=3对，则双曲线C的渐近线方程为()

12

A.y=+-%B.y=±xC.y=±2xD.y=+-x

【答案】A

【解析】易求尸2。1=匕，1。。1=a，故伊2川=［匕，CoS乙4&。=g，sin乙4尸2。=£，

故4(c-9豹=(当/罂，代入双曲线方程并整理得S=?故渐近线方程为y=

+-X.

-2

8.已知双曲线C⅛-⅛=l(ɑ>0,b>0)右支上一点P,经过点P的直线与双曲线C

的两渐近线分别交于4、B两点.若点4、B分别位于第一、四象限，0为坐标原点.当

AP=^PB时∙，LAOB的面积为2b,则双曲线C的实轴长为()

【答案】A

【解析】设4弧等),8(珥一期

由∆AOB的面积为2b得2h=ɪ∣m∙(--^)~∏∙-p∣,即mn=2α,

2Xm+=n----

设P(x,y),由^AP-^PB得：(x-m,y-等)=[(ri-%,-詈-y),所以

(2m-ri)b

代入双曲线方程得幽誓一幽乎=L即9α2=8mn=16«,

9a2