2023年九年级中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用(含解析)

2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用

一、单选题

1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（-2,0）,与x轴夹角为

30°,将小ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=-（k力0）上,

x

则k的值为（）

2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE平分NBAD,分别

交BC,BD于点E,P,连接OE,ZADC=60°,AB=-BC=2,则下列结论：

2

①NCAD=30°；@OE=^AD；③S平行四边形ABCD=AB-AC；④BD=2百；

⑤SABEP=SAAPO；其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

3.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距

离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。若

NBAC=a,则此车的速度为（）

A.5tana米/秒B.80tana米/秒

con

C.二^米/秒D.-^―米/秒

tanatana

二'填空题

4.如图，在ABC中，AD是BC上的高，tanB^cosZDAC，若sinC=—,

13

3c=12,则AD的长.

5.某人沿着坡角为a的斜坡前进80m,则他上升的最大高度是m.

6.如图，建筑物BC上有一旗杆AB,点D到BC的距离为20m,在点D处观察旗杆

顶部A的仰角为52。，观察底部B的仰角为45。，则旗杆的高度为m.(精确

到0.1m,参考数据：sin520®0.79,to«52°®1.28,夜a1.41，6Hl.73

三、综合题

7.在RtAACB中，NC=90。，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与

AB、AC分别交于点D、E,且NCBE=NA.

(1)求证：BE是。O的切线；

(2)连接DE,求证：AAEBS/XEDB；

(3)若点F为AE的中点，连接OF交AD于点G,若AO=5,

3

sinZCBE=-,求OG的长.

8.如图(1)放置两个全等的含有30。角的直角三角板ABC与

DEF(NB=NE=30。)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动

(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线

上，如图(2),AB与DF、DE分别交于点p、M,AC与DE交于点

Q,其中AC=DF=^3，设三角板ABC移动时间为x秒.

(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示的面积;

(2)计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

9.已知AB是。。的切线，切点为B点，AO交。。于点C,点D在AB上且

(1)求证：DC为。。的切线；

(2)当AD=2BD,CD=2时，求AO的长.

10.脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如

图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直

线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°,此时地面上C

点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D

时，又测得屋檐E点的仰角为60°,房屋的顶层横梁EF=12m,

EFHCB,AB交EF于点G(点C,D,B在同一水平线上).(参考数据：

sin35°®0.6,cos35°®0.8,tan35°®0.7,^3«1.7)

(1)求屋顶到横梁的距离AG；

(2)求房屋的高AB(结果精确到1根).

11.如图，直线y=mx+n(m^Q)与双曲线y=，左H0)交于A、B两点，直线

X

AB与坐标轴分别交于C、D两点，连接,若。4=2而，

tanZAOC=-，点B(-3,b).

3

(1)分别求出直线AB与双曲线的解析式;

⑵连接03,求SAOB.

12.如图，某港口。位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港

口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12

海里.

(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处,且相距30海里.如果知道

“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天’号沿哪个方向航行吗？说明理由.

(2)若“远航”号沿北偏东60。方向航行，经过两个小时后位于尸处，此时船上有一

名乘客需要紧急回到了)石海岸线上，若他从方处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80

海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.

13.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上

走到P处再测得点C的仰角为45°,已知04=100米，山坡坡度i=l:2,且

O、AB在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.

(I)求电视塔oc的高度；(计算结果保留根号形式)

(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0」米，参考数据：

72=1.41，百=1.73)

14.我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高

度.如图，运载火箭海面发射站点M与岸边雷达站N处在同一水平高度。当火箭到达

点A处时，测得点A距离发射站点M的垂直高度为9千米，雷达站M测得A处的仰

角为37。，火箭继续垂直上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角为

70°,根据下面提供的参考数据计算下列问题：

(参考数据：sin70°»0.94,cos70°~0.34,tan70°~275,sin37tM).6,cos37°~0.80,

tan37°~0.75)

(1)求火箭海面发射站点M与岸边雷达站N的距离

(2)求火箭所在点B处距发射站点M处的高度

15.如图，在，A3CD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点、E，F，

所与AC相交于点。，连接A产，CE.

(1)求证：四边形尸是菱形;

(2)已知sinNACF=15,CF=5,AB=6,请你写出sinB的值.

5

16.如图，在，ABCD中，对角线AC,BD交于点O,OA=OB,过点B作BE_LAC

于点E.

(1)求证：ABCD是矩形;

氏

(2)若AD=2后,cosZABE=学7，求AC的长.

17.如图，,ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，BE=DF,连结AE,CF。

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若四边形AECF为菱形，ZAFC=120°,BE=CE=4,求ABCD的面积。

18.如图，ABC的外接。的圆心在AC边上，以CB为边作=

BD边交AC延长于点D,点E为0C中点，连接BE并延长交O。于点F,连接AF.

⑵若BD=3#＞，04=3,求AF的长.

19.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫

做美角.

AA

(2)在(1)的条件下，若。的半径为5.

①求BD的长.

②如图2,在四边形ABCD中，若C4平分ZBCD,贝UBC+CD的最大

值是.

(3)在(1)的条件下，如图3,若AC是)0的直径，请用等式表示线段

AB，BC,CD之间的数量关系，并说明理由.

20.如图，在AABC中，AB=4拒，N3=45°,ZC=60°.

(1)求8c边上的高线长.

(2)点E为线段的中点，点尸在边AC上，连结E尸，沿E尸将△AEF折叠得

到仆PEF.

①如图2,当点P落在3c上时，求/AEP的度数.

②如图3,连结AP,当时，求AP的长.

21.如图，已知二次函数y=N-2x+加的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,

直线AC交二次函数图象的对称轴于点。，若点C为A。的中点.

(2)若二次函数图象上有一点Q,使得tan/43Q=3,求点Q的坐标；

(3)对于(2)中的。点，在二次函数图象上是否存在点P,使得

△QBPs△COA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.已知:如图，在ABC中，AB=6,AC=9,tanZABC=242-过点

B作BMAC,动点p在射线BM上(点P不与B重合)，联结PA并

延长到点Q,使ZAQC=ZABP.

(1)求ABC的面积;

(2)设BP=x,AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出%的取值

范围；

(3)连接PC,如果PQC是直角三角形，求BP的长.

23.如图，在矩形ABCD中，AE±BD于点E,交BC边于点F.AG

平分ZDAF交BD于点G,并经过CD边的中点H.

(1)求证：BG=AB.

(2)求tanZHFC的值.

(3)若CF=延~,试在BD上找一点M(不与B，D重合)，使直

5

线MC经过四边形DEFH一边的中点，求所有满足条件的BM的值.

24.在AABC中，AB=BC=2,NABC=120。，将△ABC绕点B顺时针旋转角a(0。

<a<90°)WAAIBCI,AiB交AC于点E,AiCi分别交AC、BC于D、F两点.

(1)如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段EAi与FC有怎样的数量关系？

并证明你的结论；

(2)如图2,当a=30。时，试判断四边形BCiDA的形状，并说明理由；

(3)在(2)的情况下，求ED的长.

25.已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=gx+2与x轴交于点A,与y轴

交于点B,抛物线y=—；x?+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)直接写出点A和点B的坐标

(2)求抛物线的解析式

(3)D为直线AB上方抛物线上一动点

①连接DO交AB于点E,若DE：OE=3:4,求点D的坐标

②是否存在点D,使得ZDBA的度数恰好是ZBAC的2倍，如果存在，求点

D的坐标，如果不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：根据翻折图形可得：AC=AO=2,ZCAO=60°,

:.CF=ACsin6Q°=s/3,AF=-AC=1,OF=1,

2

•••点C的坐标为卜1,6),

则k的值为JL

故答案为：D

【分析】根据翻折图形可得：AC=A0=2,ZCAO=60°,过点C作CF，x轴于R根

据直角三角形的性质以及勾股定理得出C的坐标，最后根据反比例函数解析式解答即

可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：•••平行四边形ABCD,

/.ZABE=ZADC=60°,AD〃BC,

ZDAE=ZAEB,ZACB=ZDAC

「AE平分/BAD,

，NBAE=NDAE,

.*.ZBAE=ZAEB

/.AB=BE

VBC=BE+EC,AB=-BC

2

.,.BE=AE=CE

/•AABC是直角三角形，

/.ZACB=ZDAC=30°,故①正确;

VOA=OC,BE=CE,

AOE是公ABC的中位线，

11

・・OE——AB——BE

22f

11

,.,BE=—BC=-AD

22

•*.OE=—x—AD=—AD,故②）正确；

•/△ABC是直角三角形，

二.S平行四边形ABCD二AB・AC,故③）正确；

・・,在R3ABC中，ZACB=30°,AB=-BC=2

2

・・・BC=4,

AC=BCcosNACB=4x@=2逝

2

.-.OC=|AC=73

在R3OCD中，

OB=s/oC2+CD2=J网Z+22=币

.•.BD=2OB=2A/7，故④正确；

VOA=OC,

••SAAOE-'SACOE,

〈BE=CE

SABOE=SACOE,

••SABOE-SAAOE,BPSABOE-SAOEF=S△AOE-SAOEF,

SABEP=SAAPO,故⑤正确；

・.・正确结论的序号为①②③④⑤

故答案为：D.

【分析】利用平行四边形的性质可得到NABE=/ADC=60。，AD^BC,再利用平行

线的性质及角平分线的性质可证得NBAE=NAEB,由此可得到AB=BE,结合已知条

件可推出BE=AE=CE,从而可证得△ABC是直角三角形，就可求出NCAD的度数，

可对①作出判断；再利用三角形的中位线定理可得到OE和BE的数量关系，由此可

得到OE和AD的数量关系，可对②作出判断；平行四边形的面积公式可对③作出判

断；再求出OE的长，利用解直角三角形求出AC的长，即可得到OC的长，在

R3OBD中，利用勾股定理求出OD的长，继而可求出BD的长，可对④作出判断;

然后根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可以得到SABOE=SAAOE,即可

推出SABEP=SAAPO，可对⑤作出判断，综上所述可得正确结论的个数。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：在RtAABC中，

BC=ACtanZBAC=20tana

・・,小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒，

，此车的速度为2°3。=5tana.

4

故答案为：A.

【分析】利用解直角三角形求出BC的长，再利用速度=路程+时间，即可求解。

4.【答案】8

【解析】【解答】在RtAADC中，sinC=—=—

AC13

设AD=12x,贝ljAC=13x,

•#-DC=siAC2-AD2=5x，

12

cosZDAC=sinC=—

13

12

tanB=—

13

*»AD12

在RtAABD中，tanB=-----=一

BD13

而AD=12x,

・・・BD=13x,

13x+5x=12,

解得x=；

3

/.AD=12x=8.

故答案为：8.

【分析】利用正弦、余弦和正切的定义解直角三角形，求解即可作答。

5.【答案】8Osz7za

【解析】【解答】解：如图，在RtzkABC中，

NA=a,AB=80m,

.•.BC=AB・sinA=80sina(m),

・••他上升的最大高度是80sinam,

故答案为：80sina.

【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

6.【答案】5.6

【解析】【解答】解：由题意得：ACXCD,

R3ADC中，DC=20米，NADO52。，贝I」AC=DCtanNADC=20xl.28=25.6米，

RSBDC中，DC=20米，NBDO45。，则BC=DCtanNBDC=20xl=20米，

・・・AB=AC-BO5.6米，

故答案为：5.6；

【分析】在R3ADC中，利用AODCtanNADC求出AC,在RsBDC中，利用

BODCtanNBDC求出BC,根据AB=AC-BC即可求解.

7.【答案】(1)证明：如图，连接OE,

VOA=OE,

AZCBE=ZA=ZAEO.

VZC=90°,

・・・NCBE+NCEB=90。，

AZAEO+ZCEB=90°,

・•・ZOEB=90°,

，BE是。0的切线.

(2)解：由(1)可得NOED+NDEB=90。.

VZAED=90°,即/OED+NAEO=90°,

.•./AEO=NDEB=NA.

VZEBA=ZDBE,

/.△AEB^AEDB.

（3）解：由点F为AE的中点可知OF垂直平分弦AE,即G为AE的中点,

•；0为AD的中点，

AOG=-DE.

2

sii匹DEDE

在RtAAED中,

AD2AO~~LO

3

sinZA=sinZCBE=—

5

.DE_3

"IF-?

DE—6，

OG=—x6=3.

2

【解析】【分析】（1）连接OE,由同圆半径相等结合题意可得NCBE=NA=NAEO,

再由NCBE+NCEB=90。，即可推出NAEO+NCEB=90。，即求出NOEB=90。，故BE

是。。的切线.（2）由（1）可得NOED+NDEB=90。.再由NOED+NAEO=90。，即可证

明NAEO=NDEB=NA.即证明△AEBs^EDB.（3）由点F为的中点可知OF垂

直平分弦AE,即G为AE的中点，再由。为AD的中点可知0G为ADE中位

1DFDF3

线，即0G=-DE.最后由sinNCBE=sinNA=—=—=-,即可求出DE的

2AD105

长，即求出OG的长.

8.【答案】（1）解：因为Rt_ABC中ZB=30°AZA=60°

NE=30°NEQC=ZAQM=60°

AMQ为等边三角形

过点M作MN±AQ,垂足为点N.

D

在RtABC中，AC=b,3C=ACtanA=3

二EF=BC=3

根据题意可知CF=x

：.CE=EF—CF=3—x

Ce=CE-tanE=y-(3-x)

AQ=AC-CQ=j3-^-(3-x)=^-x

：.AM^AQ=^-x

而MN=AM-sinA=—x

2

・01ACST1V3162

,,S——AQ,MN——x—x—x——x

MAAQn223212

(2)解：由(1)知BF=CE=3—x

PF=BFtanB=^-(3-x)

•••S重叠=SABC—S^-SBPF=^ACBC-^AQMN-^BFPF

--x3xV3-—X2--(3-X)—(3-x)

21223

=-^X2+A/3X=-^(X-2)2+73

所以当x=2时，重叠部分面积最大，最大面积是如

【解析】【分析】(1)解直角三角形ABC求得EF=BC=3,设CF=x,可求

AQ=^-x,MN=-x,根据三角形面积公式即可求出结论；

32

（）根据“重叠=”列出函数关系式，通过配方求解即可.

2SsABC-SAMQ-sBPF

9.【答案】（1）证明：连接OB、OD,

VAB是。O的切线，JZOBD=90°

VOB=OC,OD=OD,BD=CD,

・•・△OBD^AOCD(SSS),

.,.ZOCD=ZOBD=90°,

1•DC是。O的切线；

(2)解：・.・DB=DC,AD=2BD,CD=2,

・・・DB=2,ADM,

・・・AB=BD+AD=6,AD=2CD,

VCDXOC,ADC±AC,

・・・NA=30。，

AO=AB：cosA=6：=4.

2

【解析】【分析】（1）连接OB、OD,由切线的性质可得NOBD=90。，证明

△OBD^AOCD（SSS）,可得NOCD=NOBD=90。，根据切线的判定即证；

（2）由题意可求出AD=2CD,从而求出NA=30。，由AO=AB：cosA即可求出结论.

10.【答案】（1）解：•.•房屋的侧面示意图是轴对称图形，AB所在直线是对称轴,

EF//CB,

：.AG±EF,EG=-EF=6,ZAEG^ZACB=35°.

2

在RtAAGE中，ZAGE=90°ZAEG=35°,

VtanZAEG=—EG=6,tan350»0.7

EG

AAG=6tan35°«42（米）

答：屋顶到横梁的距离AG约是4.2米.

（2）解：过点E作EHLCB于点H,设EH=x,

在RtAEDH中，NEHD=90。,ZEDH=60°，

FHx

VtanZEDH=——：.DH=

DHtan60°

在RtAECH中，Z£HC=90°,NECH=35°,

FHx

VtanZECH=——CH=

CHtan35°

：CH—DH=CD=8，

•-x

*"tan35°tan60°'

Vtan35°«0.7,百5sl.7,

解得xa9.52.

二AB=AG+5G=4.2+9.52=13.72。14（米）

答：房屋的高AB约是14米.

【解析】【分析】（1）EF//CB可得ZAEG=ZACB=35°,在RtAAGE中由

AQ

tanZAEG=—即可求AG；（2）设EH=x，利用三角函数由x表示DH、CH,

EG

由DH-CH=8列方程即可求解.

1L【答案】（1）解：如图，作AE±x轴于点E

4/71

tanZA(9C=—=—,

OE3

设AE-x,OE—3x,

贝UOA=ylAE-+OE2=V1O%=2V1O，

:.x=2,

点A的坐标为（-6,2）

代入y=±,得：左=—12，

X

12

则反比例函数解析式为y=—-，

x

当x=-3时，y=4,

.••点B的坐标为(-3,4),

-6m+n=2

将点A(—6,2)、3(—3,4)代入y=mx+n，得：

-3m+n=4

一2

m~—

解得：＜3,

n=6

2

直线AB的解析式为y=-x+6；

3

2

(2)解：在直线y=—x+6中，

3

当x=0时，y=6,即点0(0,6),

2

当y=0时，-x+6=0,解得x=-9,即点C(-9,0),

•・UAOB-uCOD°AOC°BOD

=—x9x6——x9x2——x6x3

222

=9.

AE1

【解析】【分析】(1)作AEJ_x轴于点E,由tanZAOC=----二—,设AE=x、OE

OE3

=3x,结合0A=2M利用勾股定理求得x的值，即可得出点A的坐标，从而求得

反比例函数解析式，进一步求得点B的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析

式；

(2)先求得直线AB与x、y轴的交点C,D坐标，再根据

SAOB=SCOD-SAOC-SBOD可得答案一

12.【答案】(1)解：04=16x1.5=24,03=12x1.5=18,AB=30,

.-.O^+OB-=AB2,

AOB是直角三角形，

:.ZAOB^90°,

,“远航”号沿东北方向航行，

\ZAON=45°,

•.ZBON=90°—45°=45°,

.•“海天”号沿西北方向航行；

(2)解：过点F作FD1PE于D,

ZNOF=60°,

ZFOD=90°-60°=30°,

.-.FD=-OF=-x32=16,

22

.•.16+80=0.2(小时)，

0.2<0.5,

•••能在半小时内回到海岸线.

【解析】【分析】(1)由题意可得OA=16xl.5=24,OB=12xl.5=18,AB=30,结合勾股

定理逆定理知△AOB是直角三角形且NAOB=90。，根据余角的性质求出NBON的度

数，据此解答；

(2)过点F作FDLPE于D,则OF=16x2=32,ZFOD=30°,根据含30。角的直角

三角形的性质可得FD=-OF=16,利用FD的值除以速度求出时间，然后与0.5进行比

2

较即可判断.

13.【答案】(1)解：在RtOAC中，ZOAC=60°,04=100,

tanZ<MC=—,

OA

OC=OA-tanZOAC=100xtan60°=100百，

答：电视塔OC的高度为100小米；

(2)解：如图，过点P作PFA.OC,垂足为F,过点P作PBLOA,垂足为

B,

则四边形PBOF是矩形，

:.PF=OB（矩形对边相等）.

由z=l:2,设PB=x米，贝ijAB=2x,

.-.PF=0B=100+2x,CF=100A/3-%,

在RtPCF中，由NCPF=45。,

/.APCF是的等腰直角三角形，

PF=CF,即100+2x=100百-x>

100A/3-100

/.X=----------------------•

3

即pB=ioo^-ioo%243米，

3

答：此人所在位置点P的铅直高度约为24.3米.

【解析】【分析】（1）根据RtOAC、NQ4c=60°,04=100,由三角函数可以

求解出电视塔OC的高度；（2）构造矩形PBOF,把求人所在位置点P的铅直高度

转化成求矩形OF的边长，通过假设PB的长度，得到含未知数的方程式进而求解

14.【答案】（1）解：•.•在RAM中，AM=9,ZANM=37°

(2)解：:在RABMN中,ZBNM=70°

/.BM=MN.tan70°=12tan70°

；.BM=33

【解析】【分析】（1）在RAM中，由AM的长及/ANM的度数，利用解直角三角

形，就可求出MN的长。

（2）利用仰角的定义可知NBNM的度数，再利用解直角三角形，就可求出BM的

长。

15.【答案】（1）解：方法一：•.•四边形A3CD是平行四边形,

ADBC

，ZEAC=ZACF,ZAEF=Z.CFE.

又：所垂直平分AC,

AOA^OC.EA=EC.

AAOE0ACOF.

：.OE=OF.

.••四边形AECF是平行四边形.

•；EA=EC

.••四边形AECF是菱形.

方法二*,:四边形A3CD是平行四边形,

ADBC.

：.ZEAC=ZACF,ZAEF=ZCFE.

又：E尸垂直平分AC,

AOA^OC.EF±AC.

：.AAOE0ACOF.

：.OE=OF.

.♦•四边形AECF是平行四边形.

•；EFLAC,

.••四边形AECF是菱形.

方法三：...E尸垂直平分AC,

AOA=OC,EA=EC,FA=FC.

■：四边形A3CD是平行四边形，

/.ADBC.

：.ZEAC=ZACF,ZAEF=ZCFE.

：.AAOE0ACOF.

：.AE=CF.

EA=EC=FC=FA

.••四边形AEb是菱形.

(2)解：如图，过A作AF/，5c于//,

H卜.

四边形尸是菱形.

:.AC±EF,OE=OF,OA=OC,

CF=5,sinZACF=—,

5

—,则OF=&EF=2底

CF5

;.OC=CF-cosNACF=5又当~=2底AC=4底

-ACEF=CFAH,

2

AB63

【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得OA=OC,EA=EC,再证明AAOE

^ACOF,得至！JOE=OF,则四边形AECF是平行四边形，然后由EAEC,即可得出结

论;

(2)过4作AH,3c于根据sinNACE=@,CF=5,A3=6,求出

5

OF=y/5,EF=2底,再求出AH的长，最后利用正弦的定义求解即可。

16.【答案】（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形

.\OA=OC,OB=OD

X'/OA=OB,

.\OA=OB=OC=OD,

，AC=BD,

OABCD是矩形

（2）解：•.♦四边形ABCD是矩形,

.\ZBAD=ZADC=90o,

.,.ZBAC+ZCAD=90°,

VBEXAC,

.\ZBAC+ZABE=90°,

/.ZCAD=ZABE,

AD2J5

在RtAACD中，AD=2,cosZCAD=——=cosZABE=

AC5

，AC=5

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA=OC,OB=OD,求得AC=BD,

于是得到结论；

（2）根据矩形的性质得到NBAD=NADC=90。，求得/CAD=NABE,解直角三角形

即可得出结论。

17.【答案】（1）解：在.ABCD中，AD=BC,AD〃:BC。

VBE=DF,；.AF=CE。

又：AF〃CE,

.••四边形AECF为平行四边形

（2）解：•.,四边形AECF为平行四边形，AZAEC=ZAFC=120°

四边形AECF为菱形,：.AE=CE

VZAEC=120°,

.,,ZAEB=60°.

；BE=CE=AE,

AABE为等边三角形。

过点A作AHLBC,垂足为H,

VBC=2BE=8,

....ABCD面积为8x2百=1673

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等可证得AD=BC,AD〃:BC,结

合已知条件可得到AF=CE,然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

可证得结论。

（2）利用菱形的和平行四边形的性质，可证得BE=CE=AE,可得△ABE是等边三角

形，过点A作AHLBC,垂足为H,利用解直角三角形求出AH的长，从而可得到BC

的长，然后利用平行四边形的面积公式可求解。

18.【答案】（1）证明：如图，连接0B,

FD

\//"6、、、、\/

AV-------------~/B

「AC为。。的直径，

，NABC=90°,

.•.ZBAC+ZACB=90°,

VZCBD=ZBAC,

AZCBD+ZACB=90°,

VOB=OC,

/.ZOBC=ZACB,

.•.ZCBD+ZOBC=90°,

.*.ZOBD=90o,

OBLBD,

：OB是。。的半径，

•••BD是OO的切线；

（2）解：,:BD=36，OA=3,

.*.03=04=3,AC=2CM=6,

由（1）知NOBD=90。，

在RtAOBD中，tan/BOC="=型~=5

OB3

.,.ZBOC=60°,

又•:OB=OC=3,

OBC是等边三角形，

/.ZOCB=60°,

•.,点E为OC中点，

BELOC,

即AC_LBF,

「AC是的直径

/.AC垂直平分BF,

，AF=AB,

在R3ABC中，sinZOCB=——,

AC

/.AB^AC-sinZOCB=6xL=3居

2

/•AF=AB=3瓜

【解析】【分析】（1）连接OB,由AC为O。的直径，可推出NBAC+NACB=90。，

由OB=OC,可得NOBC=NACB,从而得出/OBD=NCBD+/OBC=90。，根据切线

的判定定理即证；

（2）由加〃/30。=些=述=6可得/：6（^=60。，从而证AOBC是等边三角

OB3

形，利用等腰三角形扇形合一的性质可得BELOC,由垂径定理可得AC垂直平分

AB

BF,可得AF=AB,在RSABC中，由s沅NOCB=——求出AB,即得结论.

AC

19.【答案】（1）解：由题意得：ZA=-ZC,而ZA+ZC=180，

2

..ZA=60°；

（2）解：①如图1,连接DO并延长交圆于E点，连接BE，

E

图1

贝INE=NA=60。，

DE为直径，DE=10,贝UZDBE=9Q°,

•••BD=EDsinE=5y/3;

②10

（3）解：如图3,延长BC和AD交于点H,

AC是直径，贝ijZABC=ZADC=90°,而ZBAD^60°,

贝（JZH=3Q0,

则CH=2CD,

BHBC+CHBC+2CD°。r-

tan/B7nAATHT==------------=---------------=tan60=J3,

ABABAB

故：BC+2CD=43AB

【解析】【解答】解：⑵②如图2：连接BD,

图2

由（1）得：连NR4£>=60°,ZBCD=120°,

CA平分ZBCD,

:.ZACB^ZACD=60°,

ZABD=ZACD^60°,ZADB=ZACB60°,

则AABD为等边三角形，延长CB到E,使得BE=CD,

又AB=AD,NEBA=/CDA,

:uACD%AEB,

..NE=ZACD=60°,ZEAB^ZDAC,

ZEAC=NEAB+ABAC=ABAC+ZZMC=60°

AACE为等边三角形，

则BC+CD=CE,则AC=CE=BC+CD,

A为定点，而C为弧BD上的动点，AC要最长,

则AC为圆的直径，故BC+CD=AC=直径=10；

故答案为：10；

【分析】（1）利用圆美四边形的定义可证=,再利用圆内接四边形的对角

2

互补，可求出/A的度数；

（2）①连接OD并延长交圆于点E,连接BE,利用同弧所对的圆周角相等，可求出

NE的度数及DE的长，利用圆周角定理可证得NDBE=90。，利用解直角三角形求出

BD的长；

②接BD,利用圆内接四边形的对角互补，可求出NBCD的度数，利用角平分线的定

义和圆周角定理可得到NNABD=/ACD=NADB=NACB=60。，可推出△ABD是等边

三角形，延长CB,使BE=CD,利用SAS证明△ACD且AAEB,利用全等三角形的性

质可证得NE=NACD,ZEBA=ZCDA；再证明△ACE是等边三角形，由此可推出

AC=CE=BC+CD,A为定点，而C为弧BD上的动点，AC要最长即可求出

BC+CD的最大值；

（3）延长BC,AD交于点H,利用圆周角定理可证得NABC=90。，同时可求出

ZBAD=60°,利用30。角所对的直角边等于斜边的一半，可得至l」CH=2CD,利用锐角

三角函数的定义可得到AB,BC,CD之间的数量关系.

20.【答案】（1）解：如图1,过点A作ADLBC于点D,

1

在RtAABD中，AD=ABsin450=4A/2X—=4.

2

（2）解：①如图2,

A

VAAEF^APEF,

，AE=EP.

又：AE=BE,

.\BE=EP,

.•./EPB=NB=45°,

ZAEP=90°.

②如图3,

由（1）可知：在RtAADC中，AC=AD

sin6003

VPF±AC,

.,.ZPFA=90°,

AEF四△PEF,

.•.ZAFE=ZPFE=45°,则/AFE=NB.

又：ZEAF=ZCAB,

/.△EAF^ACAB,

2V2

AFAEnnAF

---=----9即广8百，

ABAC4V2

"V

AF=25/3,

在R3AFP中，AF=PF,则AP=®AF=276.

【解析】【分析】（1）如图1中，过点A作ADLBC于D.解直角三角形求出AD即

可.

（2）①证明BE=EP,可得NEPB=NB=45。解决问题.

②如图3中，由（1）可知：AC=AD,证明AAEFS/^ACB,推出

sin6003

ApAU

—=—,由此求出AF即可解决问题.

ABAC

21.【答案】（1）解：设对称轴交x轴于点E,直线AC交抛物线对称轴于点D,

点C为AD的中点，则点A(-1,0),

将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m=-3,

(2)解：tanZABQ=3,点B(3,0),

则AQ所在的直线为：y=±3(x-3)…②，

联立①②并解得：x=-4或3(舍去)或2,

故点Q(-4,21)或(2,-3)；

(3)解：不存在，理由：

△QBP^ACOA,则NQBP=90。

①当点Q(2,-3)时，

则BP的表达式为：y=-1(x-3)…③，

4413

联立①③并解得：x=3(舍去)或-1,故点P(--,—

此时BP：PQ^OA：AC,故点P不存在；

②当点Q(-4,21)时，

211

同理可得：点P(—-,—),

39

此时BP：PQWOA：OB,故点P不存在；

综上，点P不存在.

【解析】【分析】(1)函数的对称轴为：x=l,点C为AD的中点，则点A(-1,0),

即可求解；(2)tan/ABQ=3,点B(3,0),则AQ所在的直线为：y=±3x(x-3),即

可求解；(3)分点Q(2,-3)、点Q(-4,21)两种情况，分别求解即可.

22.【答案】(1)解：过点A作AH±BC交于点H，

BM|AC,ZPBA=ZBAC=a=ZAQC,

/g]

tanZABC=2^2=tana>则sina=—，cosa=—,

33

设：BH=a,贝I]AH=V8a，贝UAB2=AH2+BH2，

即：36=a2+8a2，解得：a=2,即BH=2，AH=732

CH=VAC2-AH2=2，则BC=BH+CH=9=AC，

AZABC=ZBAC=a,

S=|AH-BC=1X^/32X9=18A/2

(2)解：过点A作AG±PA交于点G,

VZPBA=ZCBA=a,AH±BC,

，BG=BH=2,AG=AH=^32,

PG=x-2,AP=JAG?+PG?=Jx?-4x+36，

ZQAC+ZPAB=180-a,ZPAB+ZAPB=180°-a,

Z.ZQAC=ZAPB,又ZAQC=ZABP,

ABPsCQA,

.ABBP_AP

"CQ-QA-AC，

其中：AB=6，BP=x，QA=y，AP=4x+36AC=9,

CQ=^-,

2AP

9XA/X2-4x+36

y二--------------x>0)

X2-4X+36

(3)解：连接PC,PQC是直角三角形，即ZPCQ=90°

CQ1

cosZPCQ=cosa==-…①,

3i----------------

其中CQ^--,PQ=AP+AQ=y+AP,AP=Vx2-4x+36，

3

把CQ、PA、AP代入①式整理得：5」

x2-4x+36+9x3

解得：x=9,

即BP的长为9.

【解析】【分析】（1）确定/PBA=/BAC=a=/AQC后，用解直角三角形的方法，求

出AH和BC长即可求解；

ABBPAP、

(2)证明AABPs/XCQA,利用,即可求解;

（3）连接PC,APQC是直角三角形，即NPCQ=90。，利用

CQ_1

cos/PQC=cosa

~PQ~3即可求解.

23.【答案】（1）证明：TAG平分NDAF,

AZDAG=ZEAG,

VAE±BD,ZBAD=90°,

JNABE+NBAE=NABE+NADB=90。，

・・・NBAE=NADB,

JNAGB=NDGH=NADB+NDAG=NBAE+NEAG=/BAG,

・・・BG=AB.

(2)解：・・•四边形ABCD是矩形,

•'•AB=CD,AB〃CD,BOAD,

.*.△ABG^AHDG,

.BG_AB

^~DG~~DH'

・・・H是CD的中点，

1

・・・CH=DH二一AB,

2

・・・BG=2DG,

VBG=AB,

3

・・・BD二一AB,

2

AD=^BD2-AB2^—AB,

2

VZABF=ZBAD=90°,ZBAF=ZZADB,

.\AABF^ADAB,

.ABBF

"75一法’

AD5

.\CF=BC-BF=—AB,

10

-AB

CH

.•.tanZHFC=7^T丫=也

CF

—AB

10

(3)解：由(2)