高等代数第二版课件§2.5行列式按一行(列)展开

高等代数第二版课件§2.5行列式按一行(列)展开目录引言按一行展开按一列展开应用举例总结与思考01引言目的和背景01理解行列式按一行（列）展开的原理和意义。02掌握行列式按一行（列）展开的公式和计算方法。学习行列式在解决线性方程组中的应用。03行列式的定义和性质行列式的定义由n阶方阵A的n!项构成的代数和，记作det(A)或|A|。行列式的性质交换律、结合律、分配律、余子式定理等。02按一行展开定义按一行展开是指将行列式的某一行中的元素替换为其代数余子式，并乘以相应的行标，然后求和。公式D=∑(-1)^j*a[i,j]*A[i,j]，其中i表示行标，j表示列标，a[i,j]表示原行列式中元素的位置，A[i,j]表示代数余子式。定义和公式步骤：选择一行作为主元行，将主元所在的列划去其他行中的元素，得到余子式，然后乘以行标并求和。展开的步骤和示例示例：考虑行列式│abc││def│展开的步骤和示例03按第1行展开，有01│ghi│02│jkl│展开的步骤和示例D=(-1)^1*(│││gh││bc│展开的步骤和示例│jk│)+(-1)^2*(│df│展开的步骤和示例展开的步骤和示例010203│jl│)+(-1)^3*(│de││gi││hf││ki│)展开的步骤和示例注意事项和易错点选择主元行时应尽量选择非零元素多的行，以简化计算。同时，应注意代数余子式的正负号。注意事项在展开过程中，容易忽略代数余子式的正负号，导致计算错误。另外，在划去其他行元素时，应注意不要改变代数余子式的值。易错点03按一列展开定义按一列展开是指将行列式的某一列中的元素进行展开，得到若干个二阶行列式，然后根据二阶行列式的性质进行计算。要点一要点二公式对于$n$阶行列式，按第$k$列展开，得到$n-1$阶行列式，其值为$(-1)^{k+1}a_{1k}M_{1k}+a_{2k}M_{2k}+cdots+a_{nk}M_{nk}$，其中$a_{ik}$是原行列式中第$i$行第$k$列的元素，$M_{ik}$是去掉第$i$行和第$k$列后得到的$n-1$阶行列式。定义和公式123步骤1.确定要展开的列号；2.将该列中的元素按照公式进行展开；展开的步骤和示例0102033.根据二阶行列式的性质计算得到展开后的行列式值。示例：考虑三阶行列式$begin{vmatrix}展开的步骤和示例展开的步骤和示例a&b&cd&e&fg&h&i展开的步骤和示例\end{vmatrix}$按第2列展开，得到二阶行列式$\begin{vmatrix}展开的步骤和示例展开的步骤和示例01b&c02h&i03end{vmatrix}$和展开的步骤和示例$\begin{vmatrix}展开的步骤和示例d&f02g&i03end{vmatrix}$，分别计算得到$be-cf$和$di-fg$，然后相加得到原三阶行列式的值。01VS在按一列展开时，需要注意行列式的符号，特别是当行列式的某一列中含有负号时，展开后的符号需要特别注意。易错点在计算展开后的二阶行列式时，需要注意元素的排列顺序，避免出现计算错误。注意事项注意事项和易错点04应用举例行列式按一行或一列展开可以用来求解线性方程组，通过消元法或代入法简化方程组，提高求解效率。行列式按一行或一列展开后，可以计算系数矩阵的秩，从而判断线性方程组解的个数。求解线性方程组判断方程组解的个数在线性方程组中的应用矩阵求逆行列式按一行或一列展开可以用来计算矩阵的逆，通过计算伴随矩阵和逆矩阵的关系，简化计算过程。矩阵乘法行列式按一行或一列展开可以用来简化矩阵乘法的计算过程，通过分块矩阵的运算性质，提高计算效率。在矩阵运算中的应用行列式按一行或一列展开可以用来判断向量是否线性相关，通过计算向量构成的矩阵的秩，判断向量的线性相关性。向量线性相关性行列式按一行或一列展开可以用来计算向量空间的维数，通过计算向量构成的矩阵的秩，确定向量空间的维数。向量空间维数在向量空间中的应用05总结与思考通过按一行或一列展开，可以将多阶行列式转化为低阶行列式，从而简化计算过程。简化行列式的计算按一行或一列展开可以揭示行列式的内部结构，帮助理解行列式的性质和规律。揭示行列式的结构按一行或一列展开是行列式展开理论的基础，可以进一步推广到更复杂行列式和矩阵的计算中。推广行列式的性质行列式按一行(列)展开的意义计算误差在展开过程中，需要注意计算精度和误差控制，以避免计算错误。符号问题在行列式展开过程中，需要注意符号的变化，以确保结果的正确性。适用范围有限按一行或一列展开主要适用于二阶和三阶行列式，对于高阶行列式可能不适用或计算复杂度较高。行列式按一行(列)展开的局限性和注意事项可以将按一行(列)展开的方法推广到高阶行列式中，通过逐行(列)展开简化高阶行列式的计算。扩展到高阶行列式行列式按一行(列)展开是矩阵计算中的基