北邮概率统计课件1.1随机试验

北邮概率统计课件1.1随机试验contents目录随机试验概述样本空间与事件概率论基本概念随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理01随机试验概述在一定条件下进行的、其结果具有不确定性的试验。试验结果不能预先确定，但具有多种可能性。试验可以在相同条件下重复进行，且每次试验的可能结果不止一个。随机试验定义随机试验的结果是不确定的，无法预测具体结果。结果的不确定性可重复性多样性在相同条件下，随机试验可以重复进行，且每次试验的结果具有统计规律性。随机试验的可能结果通常有多种，且每种结果出现的概率一般不相等。030201随机试验特点古典概型几何概型泊松概型其他概型随机试验分类01020304试验中所有可能结果有限，且每个基本事件发生的可能性相同。试验结果可以无限多，但具有某种几何度量性质，如长度、面积或体积等。描述单位时间内随机事件发生的次数，适用于事件之间互相独立且发生概率较小的情况。包括马尔可夫链、随机过程等更为复杂的随机试验模型。02样本空间与事件样本空间定义随机试验中所有可能结果组成的集合，记作S。样本空间中的每一个元素，即每一个可能的结果，记作ω。样本空间中只包含有限个样本点。样本空间中包含无限个样本点。样本空间样本点有限样本空间无限样本空间对立事件两个事件互为补集，即它们的并集是全集，且没有公共的样本点。互斥事件两个事件没有公共的样本点。不可能事件不包含任何样本点的事件，记作∅。事件样本空间的子集，即某些样本点组成的集合。必然事件包含样本空间中所有样本点的事件，记作S。事件定义及性质01事件的包含关系如果事件A的每一个样本点都是事件B的样本点，则称事件A包含于事件B。02事件的相等关系如果事件A和事件B互相包含，则称事件A和事件B相等。03事件的并运算两个事件所有样本点的集合，记作A∪B。04事件的交运算两个事件公共的样本点的集合，记作A∩B。05事件的差运算属于事件A但不属于事件B的样本点的集合，记作A−B。06事件的对立运算事件A的对立事件，即不属于事件A的所有样本点的集合，记作A¯。事件间关系与运算03概率论基本概念描述某一事件发生的可能性大小的数值。概率的直观定义非负性、规范性、可加性。概率的性质满足非负性、规范性和可列可加性的函数称为概率。概率的公理化定义概率定义及性质

条件概率与独立性条件概率的定义在某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。事件的独立性如果两个事件的发生互不影响，则称这两个事件是独立的。多个事件的独立性如果一组事件中任意多个事件的发生都不影响其他事件的发生，则称这组事件是相互独立的。如果事件组满足完备事件组，且都是样本空间的一个划分，则对任一事件B，全概率公式表达为P(B)=∑P(A)P(B|A)。全概率公式在全概率公式的假定之下，贝叶斯公式将条件概率P(A|B)表达为P(A)P(B|A)/∑P(A)P(B|A)。贝叶斯公式用于在已知一些相关条件下，更新某一假设的概率。贝叶斯公式的应用全概率公式与贝叶斯公式04随机变量及其分布设随机试验的样本空间为S，如果对于每一个样本点e∈S，都有一个实数X(e)与之对应，则称X=X(e)为随机变量。随机变量的定义随机变量具有可测性、单值性和对应关系的确定性。随机变量的性质随机变量定义及性质123如果随机变量X的所有可能取值是有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的定义离散型随机变量的分布律可以用分布列来表示，即列出X的所有可能取值及对应的概率P{X=x}。离散型随机变量的分布律二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量的分布离散型随机变量及其分布律03常见连续型随机变量的分布均匀分布、指数分布、正态分布等。01连续型随机变量的定义如果随机变量X的分布函数F(x)是连续函数，则称X为连续型随机变量。02连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度函数f(x)是F(x)的导数，即f(x)=F'(x)。f(x)具有非负性和规范性。连续型随机变量及其概率密度05随机变量的数字特征方差衡量随机变量取值的离散程度，即各数值与其平均数差值的平方和的平均数。数学期望描述随机变量取值的“平均水平”，是随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和。性质数学期望具有线性性质，方差具有可加性。数学期望与方差协方差衡量两个随机变量的总体误差，即两个随机变量各自偏离其期望值的程度。相关系数衡量两个随机变量之间线性相关程度的量，取值范围为[-1,1]。性质协方差和相关系数都具有对称性，且相关系数是协方差的标准化形式。协方差与相关系数描述随机变量分布形态的量，如一阶原点矩为数学期望，二阶中心矩为方差。矩描述多个随机变量之间相关关系的矩阵，其中每个元素表示两个随机变量之间的协方差。协方差矩阵协方差矩阵是对称矩阵，且对于多元正态分布，其协方差矩阵描述了分布的形态。性质矩与协方差矩阵06大数定律与中心极限定理种类包括伯努利大数定律、辛钦大数定律等。应用在保险、金融、质量控制等领域有广泛应用，如通过大量历史数据预测未来风险。含义大数定律是描述随机现象平均结果稳定性的定理，即当试验次数足够多时，随机事件的频率趋于一个稳定值。大数定律含义01中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。种类02包括独立同分布的中心极限定理、德