中考数学解题技巧 72构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题

构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）存在；点P坐标为（﹣1，−23）或（-65（3）存在，CQ最小值为37−【解析】（1）∵直线y=﹣13∴点A坐标为（﹣3，0），又∵直线x=﹣1为对称轴，∴点C坐标为（1，0），∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；（2）存在；由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），设点P的坐标为（a，﹣13①当△AOB∽△ADP时，ADAO=DP解得：a=﹣1；点P坐标为（﹣1，−2②当△AOB∽△APD时，过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，∴PE2=AE•ED，∴（﹣13a﹣1）2解得a1=﹣3（舍去），a2=﹣65∴点P坐标为（﹣65，﹣3（3）存在，CQ最小值为37−如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣12∵tan∠AFD=2，∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，此时CE=12∵⊙E半径为52∴CQ最小值为37−2、如图，直线y=﹣34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣38x（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣38x2+34x+3；（2）y=﹣18m2+12m，PQ与OQ的比值的最大值为12【解析】（1）在y=﹣34∴点A（4，0）、B（0，3），把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣38−3解得：b=∴抛物线解析式为y=﹣38x2+3（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，则△PEQ∽△OBQ，∴PQOQ∵PQOQ∴y=13∵P（m，﹣38m2+34m+3）、E（m，﹣则PE=（﹣38m2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=﹣38m∴y=13（﹣38m2+32m）=﹣18m2+12∵0＜m＜3，∴当m=2时，y最大值=12∴PQ与OQ的比值的最大值为12（3）如图，由抛物线y=﹣38x2+3∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，则∠ODC=12∴sin∠ODC=sin∠OMN=NOMO又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，MN=OM2−∴点M（﹣1，﹣3），根据对称性，另一点（﹣1，3）也符合题意；综上所述，点M的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣3）．3、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.【解析】解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为；（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）∵对称轴x=1，∴b-2a，，①a＞0时，当x=2时，，当x=0或x=2，∴函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；（3）①当时，则，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.②当时，则.思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.4、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析【解析】解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，可得a＝﹣1，b＝5，∴y＝﹣x2+5x+6；（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，∵C（0，6），∴C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx＋b将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得解得：∴直线BC'的解析式为y＝x+1，将x＝代入，解得y=∴M（，）；（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；故存在5个满足条件的P点．5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝23PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）y＝16x2﹣43x﹣8，y＝512x+53；（2）P（5，−212），m的最小值为219；（3）D1（【解析】解（1）∵y＝ax2+bx﹣8与y轴的交点为C，令x＝0，y＝﹣8，∴点C（0，﹣8），∴OC＝8，∵OC＝2OA，OB＝3OA，∴OA＝4，OB＝12，∴A（﹣4，0）B（12，0），将点A代入直线解析式可得0＝﹣4k+53解得k＝512∴y＝512x+5将点A和点B代入抛物线中，0=16a解得a＝16，b＝﹣4∴y＝16x2﹣4（2）设点P的坐标为（p，16p2﹣43p﹣8），﹣∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∴点Q（8﹣p，16p2﹣4∴PQ＝2p﹣8，∵PK＝23PQ，∴PK＝43p﹣163，如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，512P+5∴PM＝512P+53﹣（16p2﹣43p﹣8）＝﹣16p2∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′，∴∠HPM＝∠MAH′，∵直线解析式为y＝512x+53，，令x＝0，y＝∴OE＝53∵OA＝4，根据勾股定理得∴AE＝133∴cos∠EAO＝OAAE＝12∴cos∠HPM＝PHPM＝PH﹣1∴PH＝﹣213p2+2113p+∵I＝132∴I＝132（﹣213p2+2113p+11613）﹣∴当p＝5时，I取最大值此时点P（5，﹣212∴PQ＝2，PK＝43，如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，使∠PID＝60°，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ，∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD，∴△IPQ≌△FPD（SAS），∴DF＝IQ，∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小，过点D作DN垂直于KP，∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°，∴∠PDN＝30°，∵DP＝PQ＝2，∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝3，在△KDN中，KN＝53，DN＝1，根据勾股定理得KD＝219，∴m的最小值为219；（3）设NM与x轴交于点J，∵AM＝13，cos∠MAJ＝1213∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，∵OA＝4，∴OJ＝8，∴M（8，5），当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，∴N（8，﹣8），MN＝13，在△AJN中，根据勾股定理得AN＝413，∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，①当N′落在AN的垂直平分线上时，tan∠MNA＝128＝3∴tan∠MGJ＝32∵MJ＝5，∴JG＝103，根据勾股定理得MG＝5∵MD1为∠GMJ的角平分线，∴MGMJ∴D1J＝513∴D1（31−513∵MD4也为角平分线，∴∠D1MD4＝90°，根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4，∴JD4＝513∴D4（31+513②当AN＝AN′时，D2与点A重合，∴D2（﹣4，0），∵MD3为角平分线，∴MJMN∴JD3＝103∴D3（343综上所述D1（31−5132，0），D2（﹣4，0），D3（3436、如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．【答案】（1）；（2）y＝2x2﹣9x+8；（3）k＝．【思路引导】（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH═﹣m，tan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．【解析】（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（m，0）、（n，0），∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n），过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（m+n），则MH＝|yM|＝﹣a（﹣m）（﹣n）＝，AH＝xM﹣xA＝﹣mtan∠BAM＝＝a（n﹣m）＝，化简得：a（n﹣m）＝…②，将（1，1）代入y＝a（x﹣m）（x﹣n）并化简得：a（5﹣m﹣n）＝1…③，联立①②③并解得：m＝，n＝，a＝2，则抛物线的表达式为y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝a（x2﹣mx﹣nx+mn）＝2x2﹣9x+8；（3）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（m，n），n＝m2﹣5m+5，而点C（1，1），则k＝＝m﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，化简得：3m2﹣18m+19＝0，解得：m＝3+（不合题意的值已舍去），k＝m﹣4＝．【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．7、如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．【答案】（1）；（2）围成的三角形面积为：．【解析】（1）如图1，当x＝0时，y＝3．当y＝0时，．∴，，∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且设D（a，），则E（）∴DE＝a﹣∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，∵PQ⊥BC，∴PQB＝60°，∴AQ＝PQ，∴＝，将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．当Q运动到Q′时，有＝DM，过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，DN＝Dy＝，AN＝∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝＝DM＝．（2）第一种情况：如图2，NH＝r＝，QH＝＝，OQ＝2r＝3，QN＝QH﹣NH＝，QB＝3，QP＝，PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18．第二种情况，如图3，QH＝，HN＝r＝，QB＝3+3，QP＝，PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，；第三种情况，如图4，ON＝，OM＝，MQ＝OM﹣r＝，第四种情况，如图5，OB＝，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣0N＝，．第五种情况，如图6，MN＝BN＝OBsin15°＝ON＝OBcos15°＝，OM＝ON+MN＝，HM＝OM﹣r＝，；第六种情况，如图7，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣ON＝，；综上所述，围成的三角形面积为：；．8、如图，抛物线y＝﹣12x2（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+5（2）d＝24m2﹣5【解析】（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C，∴B（5，0），C（0，5），把B、C坐标代入y＝﹣12x2+bx+c得到：c解得b=∴二次函数的解析式为y＝﹣12x2+3（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．∵P（m，﹣12m2+3∵PF∥AB，∴点F的纵坐标为﹣12m2+3则有﹣12m2+3∴x＝12m2﹣3∴PF＝12m2﹣32m﹣m＝12∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF，∴△PEF是等腰直角三角形，∴d＝PE＝22PF＝24m2﹣（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．∵∠PCB+∠POB＝180°，∴O、B、C、P四点共圆，∴∠CPB＝∠COB＝90°，∴PH＝12BC＝5∵P（m，﹣12m2+32m+5），H（52∴（m﹣52）2+（﹣12m2+32m+5﹣5整理得：m（m﹣5）（m2﹣m﹣2）＝0，解得m＝0或5或﹣1或2，∵P在第二象限，∴m＝﹣1，∴d＝24m2﹣5249、在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图，直线：是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为.（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.【答案】(1)①④;(2);(3)或【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；故答案为：①④；(2)存在，理由如下：连接，过点作轴于点，如图，在Rt△DGO中，，∵⊙O的半径为，∴点D在⊙O上．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．设直线OD的解析式为，将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，∵DH⊥OD，∴设直线DH的解析式为，将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，∴直线DH的解析式为，∴“隔离直线”的