《理论力学》第九章质点动力

《理论力学》第九章质点动力CATALOGUE目录质点动力学基本概念牛顿运动定律及其应用质点运动方程建立与求解动量定理和动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律能量守恒定律和机械能守恒定律非惯性系中质点动力学问题质点动力学在日常生活和工程实际中应用01质点动力学基本概念质点是指有质量但不存在体积与形状的点，是物理学中一个理想化的模型。质点定义质点只有质量，没有大小和形状，因此无法考虑其转动和变形等运动形式。质点性质质点定义及性质动力学主要研究质点和质点系的运动规律，包括运动学和动力学两个方面。动力学的基本任务是确定物体的运动状态随时间的变化规律，以及导致这种变化的作用力。动力学研究对象与任务研究任务研究对象基本假设动力学基于牛顿运动定律，假设物体的运动状态变化与其所受的力成正比，且与质量成反比。基本原理动力学的基本原理包括牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律、动能定理和机械能守恒定律等。动力学基本假设与原理在直角坐标系中，用质点的坐标随时间的变化来描述其运动轨迹。直角坐标系描述法自然坐标系描述法相对运动描述法在自然坐标系中，用质点沿轨迹的切线方向和法线方向的运动来描述其运动状态。当观察同一个质点相对于不同参考系的运动时，需要用相对运动描述法来描述其运动状态。030201质点运动描述方法02牛顿运动定律及其应用

牛顿第一定律（惯性定律）定律内容一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。惯性概念物体具有保持原有运动状态不变的性质，这种性质叫做惯性。惯性是物体的一种固有属性，一切物体都有惯性。适用范围牛顿第一定律只适用于惯性参考系，不适用于非惯性参考系。物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。定律内容F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。数学表达式牛顿第二定律适用于宏观、低速运动的物体，不适用于微观、高速运动的物体。适用范围牛顿第二定律（加速度定律）说明作用力和反作用力是相互的，它们同时产生、同时消失、同时变化。作用力和反作用力必须作用在不同的物体上。定律内容两个物体之间的作用力和反作用力，作用在相互作用的两个物体上，大小相等，方向相反，作用在同一直线上。适用范围牛顿第三定律适用于任何物体之间的相互作用，不论物体的运动状态如何。牛顿第三定律（作用与反作用定律）牛顿运动定律适用于宏观、低速运动的物体，在惯性参考系中成立。适用范围在微观、高速运动领域以及非惯性参考系中，牛顿运动定律不再适用，需要引入相对论和量子力学等更高级的理论来描述物体的运动规律。此外，牛顿运动定律也无法解释一些量子现象和相对论效应。限制牛顿运动定律适用范围及限制03质点运动方程建立与求解基于牛顿第二定律，通过受力分析建立质点运动方程。牛顿第二定律利用拉格朗日方程，从系统能量角度描述质点运动。拉格朗日方程通过哈密顿原理，考虑系统的虚位移和实位移之间的关系，建立质点运动方程。哈密顿原理运动方程建立方法123对于可分离变量的微分方程，通过分离变量并积分求解。分离变量法对于一阶线性微分方程，通过常数变易法求解通解。常数变易法对于某些特殊形式的微分方程，如二阶常系数线性微分方程，可利用特殊函数（如三角函数、指数函数等）求解。特殊函数法微分方程求解技巧初始位置与速度根据题目描述或实际情境，确定质点的初始位置和速度。受力情况分析分析质点在整个运动过程中的受力情况，特别是初始时刻的受力情况。边界条件考虑质点运动的边界条件，如碰撞、约束等，以确定初始条件。初始条件确定问题抛体运动碰撞问题约束运动综合性问题典型问题分析与解答01020304分析抛体运动的受力、运动轨迹和速度变化，求解相关参数。分析碰撞过程中的动量守恒、能量损失等，求解碰撞后的速度和运动状态。分析质点在约束条件下的运动情况，如圆周运动、简谐振动等，求解相关运动参数。针对涉及多种运动形式和受力情况的综合性问题，进行综合分析并求解。04动量定理和动量守恒定律动量定义动量是描述物体运动状态的物理量，等于物体的质量与速度的乘积，方向与速度方向相同。动量性质动量是矢量，具有叠加性，即几个物体同时作用在一个物体上时的总动量等于各个物体单独作用时动量的矢量和。动量定义及性质动量定理表述及证明动量定理表述物体动量的增量等于它所受合外力的冲量，即Ft=mv2-mv1，其中F为合外力，t为时间，mv2和mv1分别为物体的末动量和初动量。动量定理证明根据牛顿第二定律F=ma和运动学公式v=u+at，可以推导出动量定理。03某一方向上的动量守恒当系统所受外力在某个方向上的投影之和为零时，系统在该方向上动量守恒。01系统不受外力或所受外力之和为零当系统不受外力或所受外力之和为零时，系统总动量保持不变，即动量守恒。02系统内力远大于外力当系统内力远大于外力时，可以忽略外力的影响，认为系统动量近似守恒。动量守恒条件判断在弹性碰撞中，系统动量和机械能均守恒，可以根据动量守恒和机械能守恒列出方程组求解。弹性碰撞在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒但机械能不守恒，此时碰撞后两物体以共同速度运动，可以根据动量守恒列出方程求解。完全非弹性碰撞在爆炸与反冲问题中，系统内力远大于外力，可以认为系统动量守恒，根据动量守恒列出方程求解。爆炸与反冲碰撞问题中动量守恒应用05角动量定理和角动量守恒定律角动量定义质点对某一定点的角动量等于其位置矢量与动量的外积，或者等于其速度矢量与转动惯量的外积。角动量性质角动量是矢量，其方向与位置矢量、动量所构成的平面垂直，且符合右手定则；角动量的大小与转动半径、动量的大小以及二者间的夹角有关。角动量定义及性质质点系对某一点（或某一轴）的角动量对时间的变化率等于作用于该质点系上的所有外力对该点（或该轴）的力矩的矢量和。角动量定理表述通过牛顿第二定律和动量定理，结合角动量的定义，可以推导出角动量定理。角动量定理证明角动量定理表述及证明VS当系统所受合外力矩为零时，系统角动量守恒。系统内力矩远大于外力矩在某些情况下，系统内力矩远大于外力矩，此时可以近似认为系统角动量守恒。系统所受合外力矩为零角动量守恒条件判断人造地球卫星人造地球卫星绕地球转动时，由于所受外力矩很小，可以认为其角动量守恒，从而计算出其轨道半径、周期等参数。陀螺效应陀螺在高速旋转时，由于角动量守恒，其轴会保持在一个相对固定的方向，这种现象被称为陀螺效应。刚体定轴转动刚体绕定轴转动时，若所受外力矩的矢量和为零，则刚体的角动量守恒。刚体绕定轴转动时角动量守恒应用06能量守恒定律和机械能守恒定律描述力对物体作用的空间累积效应，是标量，只有大小，没有方向。功物体具有做功的本领，表示物体运动状态所对应的物理量，是状态量。能功是能量转化的量度，做功必然伴随能量的转化，且做功的多少决定了能量转化的多少。区别与联系功和能概念辨析在一个孤立系统中，不论发生何种变化或过程，各种形式能量的总量保持不变。基于热力学第一定律和相对性原理，通过逻辑推理和数学演绎可得出能量守恒定律。表述证明能量守恒定律表述及证明系统只有重力或弹力做功01在此条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但总机械能保持不变。系统不受外力或所受外力之和为零02此时系统内部没有能量输入或输出，机械能守恒。注意03当系统内有除重力或弹力以外的力做功时，机械能可能不守恒。机械能守恒条件判断在单摆运动中，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒。单摆运动在忽略空气阻力的抛体运动中，物体只受重力作用，机械能守恒。抛体运动在完全弹性碰撞中，由于无能量损失，系统的机械能守恒；而在非弹性碰撞中，由于存在能量损失，机械能不守恒。碰撞问题在弹簧振子振动过程中，只有系统内弹力做功，系统机械能守恒。弹簧振子典型问题中机械能守恒应用07非惯性系中质点动力学问题非惯性系概念及特点相对于惯性参照系（简称惯性系）发生加速运动的参照系称为非惯性系。非惯性系定义在非惯性系中，牛顿运动定律不成立，需要引入惯性力才能使牛顿运动定律的形式保持不变。非惯性系特点惯性力引入为了在非惯性系中沿用牛顿运动定律的形式，需要假想一个与物体质量成正比的力，这个力称为惯性力。惯性力性质惯性力是一种假想力，它的大小与物体质量成正比，方向与物体加速度的方向相反。惯性力引入及性质运动方程建立在非惯性系中，质点的运动方程需要考虑惯性力的影响，根据牛顿第二定律可以建立质点的运动方程。要点一要点二方程求解通过求解质点的运动方程，可以得到质点在非惯性系中的运动规律，如速度、加速度等。非惯性系中质点运动方程建立地球自转对地球上物体运动的影响。分析：地球自转会导致地球上物体受到惯性离心力的作用，从而影响物体的运动轨迹。解答：可以通过建立物体的运动方程，并考虑惯性离心力的影响来求解物体的运动轨迹。汽车转弯时乘客感受到的侧向力。分析：汽车转弯时，乘客会感受到一个指向弯道内侧的侧向力，这是由于乘客相对于地面做圆周运动而产生的向心加速度导致的。解答：可以通过分析乘客的运动状态，结合牛顿第二定律求解出乘客受到的侧向力大小和方向。电梯加速上升时乘客感受到的超重现象。分析：电梯加速上升时，乘客会感受到一个向上的超重力，这是由于电梯加速运动导致乘客受到一个向上的惯性力作用。解答：可以通过分析电梯和乘客的运动状态，结合牛顿第二定律求解出乘客受到的超重力大小和方向。典型问题一典型问题二典型问题三典型问题分析与解答08质点动力学在日常生活和工程实际中应用跳跃运动研究跳跃过程中力的产生、传递和消失，以及身体各部分的协调运动。球类运动分析球类运动中球的受力情况、运动轨迹和速度变化，以及球员的动作和力量对球的影响。投掷运动分析投掷过程中力的大小、方向和作用点，以及物体在空中运动的轨迹和落地点的预测。体育运动中力学原理分析分析汽车在行驶过程中受到的各种力，如驱动力、制动力、侧向力等，以及这些力对汽车稳定性和安全性的影响。汽车行驶稳定性研究火车在行驶过程中轮轨之间的相互作用力，以及这些力对火车稳定性和乘坐舒适性的影响。火车行驶稳定性分析船舶在航行过程中受到的水流力、风力等外部力，以及船舶自身的重力和浮力等内部力，评估船舶的稳定性和安全性。船舶航行稳定性交通工具行驶稳定性评估航空航天领域应用举例火箭发射分析火箭发射过程中受到的推力和重力等力，以及这些力对火箭飞行轨迹和速度的影响。卫星轨道研究卫星在轨道上受到的地心引力和其他天体的引力等力，以及这些力对卫星轨道