2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷（含解析版）

2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）1．（3分）在π，，﹣3，这四个数中，整数是（）A．π B． C．﹣3 D．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）北京故宫占地面积约为720000m2，数据“720000”用科学记数法表示是（）A．7.2×105 B．72×104 C．0.72×106 D．7.2×1064．（3分）下列说法正确的是（）A．|x|＜x B．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0 C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y| D．若|x+1|≤0，则x＝﹣15．（3分）已知b＞a＞0，则分式与的大小关系是（）A．＜ B．＝ C．＞ D．不能确定6．（3分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝﹣kx+k的图象经过第（）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限7．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF9．（3分）小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍 B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10% C．2020年总支出比2019年总支出增加了2% D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同10．（3分）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）＝．12．（3分）已知＝＝，则＝．13．（3分）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是cm2．14．（3分）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有个交点．15．（3分）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．16．（3分）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为．17．（3分）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共间．18．（3分）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算|﹣2|+2sin45°﹣（﹣1）2．（4分）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．21．（5分）解方程：+＝4．22．（6分）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）23．（7分）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm．（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．（1）证明：四边形AECF为矩形；（2）求四边形AECG的面积．25．（7分）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：甲：92，95，96，88，92，98，99，100乙：100，87，92，93，9■，95，97，98由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．26．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．27．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P（1）求证：PC＝PG；（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．28．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）1．（3分）在π，，﹣3，这四个数中，整数是（）A．π B． C．﹣3 D．【分析】根据实数的有关概念解答即可．【解答】解：在π，，﹣3，这四个数中，π是无理数，是分数，是分数，整数是﹣3，故选：C．【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的相关概念是解本题的关键．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项进行判断即可得出答案．【解答】解：A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故B选项符合题意；C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不符合题意；D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练应用相关的概念进行判定是解决本题的关键．3．（3分）北京故宫占地面积约为720000m2，数据“720000”用科学记数法表示是（）A．7.2×105 B．72×104 C．0.72×106 D．7.2×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：720000＝7.2×105，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列说法正确的是（）A．|x|＜x B．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0 C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y| D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1【分析】根据绝对值的定义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论．【解答】解：A、当x＝0时，|x|＝x，故此选项错误，不符合题意；B、∵|x﹣1|≥0，∴当x＝1时，|x﹣1|+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；C、∵x＞1＞y＞﹣1，∴|x|＞1，|y|＜1，∴|x|＞|y|，故此选项错误，不符合题意；D、∵|x+1|≤0，|x+1|≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，故此选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了绝对值，牢记绝对值的定义以及绝对值的非负性是解题的关键．5．（3分）已知b＞a＞0，则分式与的大小关系是（）A．＜ B．＝ C．＞ D．不能确定【分析】利用作差法，与0比较大小，从而得到与的大小．【解答】解：∵﹣＝＝，∵b＞a＞0，∴a﹣b＜0，b＞0，b+1＞0，∴＜0，∴﹣＜0，∴＜，故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，利用作差法比较大小是解题的关键．6．（3分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝﹣kx+k的图象经过第（）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【分析】由反比例函数当x＜0时，y随x的增大而减小，可以判断k＞0；再由一次函数图象的特点可以进一步确定y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，∴﹣k＜0∵y＝﹣kx+k，∴函数图象经过一、二、四象限，故选：B．【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的性质，解答本题的关键是要灵活掌握k在函数图象中的作用，才能正确解题．7．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A． B． C． D．【分析】由所给条件分析几何体从正面看的每一列最多有几个小正方体，从而得到答案．【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，所以主视图为B．故选：B．【点评】本题考查几何体的三视图，能够读懂所给图形，并从所给平面图中还原空间几何体的形状是解题的关键．8．（3分）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（）A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1： C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF【分析】由已知可得△ABE≌△ADF，从而得到∠EAB＝∠DAF，AE＝AF；由∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，可知A不正确；由∠EAF＝90°，AE＝AF，可知△AEF是等腰直角三角形，所以EF＝AE，则B不正确；若AF2＝EH•EF成立，可得EH＝EF，即H是EF的中点，而H不一定是EF的中点，故C不正确；由AB∥CD，由平行线分线段成比例可得EB：BC＝EH：HF，故D正确．【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴∠EAB＝∠DAF，∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，故A不正确；∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴AE：EF＝1：，故B不正确；若AF2＝EH•EF成立，∵AE：EF＝1：，∴EH＝AF，∴EH＝EF，即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，故C不正确；∵AB∥CD，∴EB：BC＝EH：HF，∵BC＝AD，∴EB：AD＝EH：HF，故D正确；故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，三角形的旋转；抓住三角形旋转的本质，旋转前后的三角形全等，得到△AEF是等腰直角三角形是解本题的关键．9．（3分）小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）A．2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍 B．2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10% C．2020年总支出比2019年总支出增加了2% D．2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同【分析】设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．【解答】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，A.2019年教育总支出为0.3a，2020年教育总支出为1.2a×35%＝0.42a，0.42a÷（0.3a）＝1.4，故该项正确，符合题意；B.2019年衣食方面总支出为0.3a，2020年衣食方面总支出为1.2a×40%＝0.48a，（0.48a﹣0.3a）÷0.3a≈60%，故该项错误，不符合题意；C.2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项错误，不符合题意；D.2020年其他方面的支出为1.2ax15%＝0.18a，2019年娱乐方面的支出为0.15a，故该项错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．10．（3分）已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一个整数根；③若＜x＜1，则y＝ax2﹣（a+1）x+1的函数值都是负数；④不存在实数a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①当a＝0时，函数图象与x轴只有一个交点；②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；③分a＞0与a＜0两种情况讨论；④当a＜0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，此时ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立．【解答】解：①当a＝0时，y＝﹣x+1，此时函数图象与x轴交点为（1，0），故①错误；②当a＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1；当a≠0时，ax2﹣（a+1）x+1＝（x﹣1）（ax﹣1）＝0，解得x＝1或x＝，故②正确；③当a＞0时，函数图象开口向上，若＜x＜1，则y＜0；当a＜0时，函数图象开口向下，若＜x＜1，则y＞0；故③错误；④当a≠0时，y＝ax2﹣（a+1）x+1，Δ＝（a﹣1）2≥0，此时ax2﹣（a+1）x+1≤0函数与x至少有一个交点，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；当a＝0时，﹣x+1≤0，不能使ax2﹣（a+1）x+1≤0对任意实数x都成立；故④正确；故选：C．【点评】本题考查函数与方程的关系；由于a是二次项系数，因此a具有特殊性，则对a的特殊的讨论是解题的关键．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）＝2．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．12．（3分）已知＝＝，则＝．【分析】设＝＝＝k，分别求出x、y、z的值，代入所求式子化简即可．【解答】解：设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝＝，故答案为．【点评】本题考查比例的性质，利用比值相等的特点，将已知等式进行转化得到x＝2k，y＝3k，z＝4k是解题的关键．13．（3分）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2．高是5cm．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是18cm2．【分析】设这个圆锥的底面积为Scm2，根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式得到得×S×5＝12×，然后解方程即可．【解答】解：设这个圆锥的底面积为Scm2，根据题意得×S×5＝12×，解得S＝18．故答案为18．【点评】本题考查了圆锥的计算：把圆柱形的橡皮泥捏成圆锥形时体积不变，这是解决问题的关键．14．（3分）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有190个交点．【分析】由所给条件可得n条直线相交最多有个交点，令n＝20即可求解．【解答】解：∵每两条直线相交有一个交点，∴n条直线相交最多有个交点，∴20条直线相交最多有190个交点．故答案为190．【点评】本题考查相交线交点个数问题，直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键．15．（3分）三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为﹣3＜a＜﹣2．【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，∴3＜1﹣a＜1﹣2a，∴a＜﹣2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜﹣2，故答案为﹣3＜a＜﹣2．【点评】本题考查数轴上点的特点，这是第一个隐含的a的范围，再由三角形两边之和大于第三边进一步确定a的取值范围，从而顺利求解．16．（3分）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为．【分析】连接EB，AD，将图中阴影部分面积拼补为△EDO与△AOB面积之和，进一步确定△EDO、△AOB是正三角形，从而求出阴影部分的面积＝×r×r×2，即可求解．【解答】解：连接EB，AD，设⊙O的半径为r，⊙O的面积S＝πr2，弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，∴△EDO、△AOB是正三角形，∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，故答案为：．【点评】本题考查圆与多边形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为等边三角形的面积是解题的关键．17．（3分）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共18间．【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数46，可列方程3x+2y＝46；根据总费用，可列方程（150x+140y）＝1310，求解即可．【解答】解：设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，由题意可得：，解得，∴x+y＝18，∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共18间，故答案为18．【点评】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键．题中五折优惠是易错点，读题需仔细．18．（3分）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是＜l＜．【分析】根据材料，作出△ABC的外角平分线AE，可得到＝＝，从而求得BE＝10，又由∠EAD＝90°，可得点A在以DE为直径的圆上运动，可知DF＜AF＜EF，从而得到AF的取值范围．【解答】解：∵AD是△ABC的内角平分线，∴＝，∵BD＝2，CD＝3，∴＝，作∠BAC的外角平分线AE，与CB的延长线交于点E，∴＝，∴，∴BE＝10，∴DE＝12，∵AD是∠BAC的角平分线，AE是∠BAC外角平分线∴∠EAD＝90°，∴点A在以DE为直径的圆上运动，取BC的中点为F，∴DF＜AF＜EF，∴＜l＜，故答案为：＜l＜．【点评】本题考查三角形内角平分线、外角平分线的性质，由角平分线的性质，确定点A在以DE为直径的圆上运动，从而将AF的取值范围转化为点圆的最值问题是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算|﹣2|+2sin45°﹣（﹣1）2．【分析】根据实数的绝对值、特殊角的三角函数值和有理数的乘方解答即可．【解答】解：原式＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是掌握实数的绝对值的运算方法，熟记特殊角的三角函数值，明确有理数的乘方的运算法则．20．（4分）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．【分析】首先提取公因式2x，再运用平方差公式对x2﹣4进行因式分解．【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）当x＝3时，原式＝2×3×（3+2）×（3﹣2）＝2×3×5×1＝30．【点评】此题考查因式分解的两种常见方法：提取公因式法、公式法，和代数式求值．21．（5分）解方程：+＝4．【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：给分式方程两边同时乘以2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），解得x＝1，检验：把x＝1代入2x﹣3≠0，所以x＝1是原分式方程的解．【点评】本题主要考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解决本题的关键．22．（6分）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）【分析】由已知方位角分别求出∠CBA＝90°，∠CAB＝60°，∠CDB＝∠BCD，得到BD＝BC＝2km，在Rt△ABC中求AC即可．【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠DCB＝67.5°，∴∠BDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，∴AC＝≈2.3km．【点评】本题考查解直角三角形在实际问题中的应用；能够准确的将题中所给的方位角找到，并能求出∠CBA＝90°，∠CDB＝∠BCD是解题的关键．23．（7分）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示甲槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为16cm．（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）【分析】（1）注水过程与函数图像结合，可知折线ECD是乙槽中水位的变化情况，线段AB是甲槽中水位的变化情况；（2）甲、乙水槽水位相同，即是线段ED与线段AB相交的时，分别求出ED与AB的直线解析式，联立求交点即可．【解答】解：（1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水的高度出现变化，∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；∵甲槽的水是匀速外倒，∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系；折线EDC中，在D点表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度16cm；故答案为：乙，甲，16；（2）由图像可知，两个水槽深度相同时，线段ED与线段AB相交，设AB的解析式为y＝kx+b，将点（0，14），（7，0）代入，得解得，，∴y＝﹣2x+14；设ED的解析式为y＝mx+n，将点（0，4），（4，16）代入，得，解得，∴y＝3x+4；联立方程，∴，∴注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．【点评】本题考查一次函数的实际应用，做题时将两个水槽中水的变化情况与函数图像相结合，理解折线EDC与线段AB表示的是哪个水槽水位的变化情况，D点表示的含义，理解函数图像交点表示的含义是正确解题的关键．24．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．（1）证明：四边形AECF为矩形；（2）求四边形AECG的面积．【分析】（1）由已知可得AE＝AB，CF＝CD，能得到AE＝CF，AE∥CF，再由CE⊥AB，即可证明四边形AECF为矩形；（2）由折叠可知B'E＝BE＝2，求得AB'＝1，先证明∠B'＝∠B'GA，能得到AB'＝AG＝1，再由AB'∥CD，得到＝即＝，得到B'G＝1，能得到△AGB'是等边三角形，所求四边形AECG的面积等于直角三角形EB'C与等边三角形AGB'的和．【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点E为线段AB的三等分点（靠近点A），∴AE＝AB，∵点F为线段CD的三等分点（靠近点C），∴CF＝CD，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE⊥AB，∴四边形AECF为矩形；（2）∵AB＝3，∴AE＝CF＝1，BE＝2，∵将△BCE沿CE对折得到△ECB'，∴B'E＝BE＝2，∴AB'＝1，∵DC＝DG＝3，∴∠DGC＝∠DCG，∵BB'∥CD，∴∠DCG＝∠B'，∴∠B'＝∠B'GA，∴AB'＝AG＝1，∴DA＝BC＝B'C＝4，∵AB'∥CD，∴＝，∴＝，∴B'G＝1，∴△AGB'是等边三角形，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，∴EC＝2，∴S四边形AECG＝S△EB'C﹣S△AB'G＝﹣＝．【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定；利用平行线的性质，确定△AGB'是等边三角形是解本题的关键．25．（7分）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：甲：92，95，96，88，92，98，99，100乙：100，87，92，93，9■，95，97，98由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据甲、乙的平均数，确定模糊不清的数所有可能的情况，从中找出“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的情况，进而求出概率；（3）计算出甲、乙的方差即可．【解答】解：（1）甲成绩的平均数为：（88+92+92+95+96+98+99+100）÷8＝95，将甲成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝95.5，因此中位数是95.5，答：甲成绩的平均数为95，中位数是95.5；（2）设模糊不清的数的各位数字为a，则a为0至9的整数，也就是模糊不清的数共10种可能的结果，当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，有95＞，即95＞，解得a＜8，共有8种不同的结果，所以“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率为＝；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，即＝95，解得a＝8，所以甲的方差为：＝[（88﹣95）2+（92﹣95）2×2+（96﹣95）2+（98﹣95）2+（99﹣95）2+（100﹣95）2]＝14.75，乙的方差为：＝[（87﹣95）2+（92﹣95）2+（93﹣95）2+（97﹣95）2+（98﹣95）2×2+（100﹣95）2]＝15.5，∵＜，∴甲的成绩更稳定，所以应选择甲同学参加数学竞赛．【点评】本题考查中位数、平均数、方差以及列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，理解中位数、平均数、方差的意义，掌握中位数、平均数、方差的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键．26．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．【分析】（1）作DH⊥OA于点H，得到△ABO≌△DAH，结合面积比，求出k，b，得到一次函数表达式；（2）联立一次函数和反比例函数，求出点P坐标，由直角三角形PDC和“90°的圆周角所对的弦是直径”得到△CPD外接圆的半径．【解答】解：（1）过点D作DH⊥OA于点H，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∵∠DAH+∠BAO＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，又∵AB＝AD，∠AOB＝∠DHA＝90°，∴△ABO≌△DAH，∴DH＝AO，BO＝AH，对直线y＝kx+b，当x＝0时，y＝b，∴A（0，b），OA＝b，设D（a，），则：DH＝a，OH＝，∵△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．∴OA＝4OH，∴b＝4×，化简得：ab＝16，又∵DH＝AO，即：a＝b，∴a2＝16，解得：a1＝4，a2＝﹣4，∴b＝4，∴A（0，4），D（4，1），把点A（0，4），D（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝．（2）由，得：，∴P（，3），∵正方形ABCD的顶点A（0，4），D（4，1），B（﹣3，0），∴C（1，﹣3），∴PC＝，∵△PCD为直角三角形，且∠PDC＝90°，∴线段PC是△PCD的外接圆直径，∴△PCD外接圆半径为：．【点评】本题考查了正方形的性质、一次函数解析式和90°的圆周角所对的弦是直径，其中通过作辅助线构造全等三角形求出点A、D是这个题目的突破点．27．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P（1）求证：PC＝PG；（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理可知∠GFB＝90°，由切线性质可知∠OCP＝90°，通过导角得到∠FGB＝∠PCG，∠FGB＝∠FGB，∠PCG＝∠PGC，即可证明PC＝PG；（2）连接EC、CD，证明△PCD∽△PEC，再由PC＝PG，即可证明；（3）连接OG，EO，由垂径定理可得OG⊥BC，在Rt△BOG中，求出OB＝5，BG＝2，再证明△FGB∽△GOB，由对应边的比例关系，可求FB＝4，OF＝1，在Rt△EOF中，求出EF＝2，则ED＝4．【解答】解：（1）连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，∴∠GFB＝90°，∴∠FGB＝∠PCG，∵∠FGB＝∠FGB，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG；（2）如图1，连接EC、CD，∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，∴＝，∴∠ECB＝∠BCD，∵PG＝PC，∴∠PCG＝∠PGC，∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，∴∠PCD＝∠E，∴△PCD∽△PEC，∴＝，∴