06 模块六　函数、导数与不等式 【正文】听课手册

微专题20函数的图象与性质的应用微点1函数图象与函数解析式例1(1)函数f(x)=(2x-2-x A B C D(2)[2023·天津和平区三模]函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是 ()A.f(x)=1-2B.f(x)=xC.f(x)=1-2D.f(x)=1-1[听课笔记]

【规律提炼】函数解析式与函数图象的判断问题函数图象或函数解析式问题,要落脚到它们都是函数的一种表达形式,从定义域、值域、单调性、周期性、对称性、图象是否过定点等入手解决.自测题1.[2023·长沙三模]函数f(x)=x(sinx-sin2x)的部分图象大致为 () A B C D2.[2021·浙江卷]已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是 (A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-1C.y=f(x)g(x) D.y=g微点2函数性质的应用角度1函数的奇偶性与单调性例2(1)[2023·山东泰安二模]已知奇函数f(x)在R上是减函数,g(x)=xf(x),若a=g(-log25.1),b=g(3),c=g(20.8),则a,b,c的大小关系为 ()A.a<b<c B.c<b<aC.b<c<a D.b<a<c(2)[2020·全国卷Ⅱ]若2x-2y<3-x-3-y,则 ()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0[听课笔记]

自测题1.[2023·台州二模]已知定义在R上的函数f(x)同时满足:①f(-x)=f(x);②对任意x1,x2∈(0,1),f(x1)-f(x2)x1-x2A.f(x)=x2B.f(x)=1C.f(x)=cos4xD.f(x)=ln(1-|x|)2.若f(x)=ln12x-1+m+n为奇函数,则fA.3 B.2C.ln3 D.ln23.[2023·天津河西区二模]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,记a=f1313,b=flog372,c=f(log135),则aA.c>b>a B.a>b>cC.b>a>c D.c>a>b4.[2023·潍坊三模]已知函数f(x)=ex+1-e1-x,实数a满足不等式f(2a)+f(a-1)>0,则a的取值范围是.

角度2函数的奇偶性、对称性与周期性例3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x-4)=f(-x),且y=f(3x-1)为奇函数,则下列说法一定正确的是 ()A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称B.函数f(x)的周期为2C.函数f(x)的图象关于点-1D.f(2023)=0(2)(多选题)[2023·厦门模拟]已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=2,f(x)+g(x-2)=2,则 ()A.f(0)=0 B.g(1)=0 C.∑i=1nf(i)=0 D.∑i=1n[听课笔记]

【规律提炼】(1)奇偶性与单调性相结合,主要的作用是转化,把不在一个单调区间上的自变量利用奇偶性转化到同一个单调区间上去.(2)奇偶性的本质就是对称性,奇偶性与对称性和周期性的结合,就是利用它们自己的关系,相互转化.自测题1.(多选题)[2023·长沙二模]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,则 ()A.f(x)的图象关于直线x=-1对称B.f(x+4)=f(x)C.f-12D.∑n=12023f(n2.(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 ()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点3.若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0+1)+f(x0)=0成立,写出一个满足上述条件的函数f(x)=.

1.[2023·新课标Ⅱ卷]若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1为偶函数,则A.-1 B.0 C.12 D.2.[2023·北京卷]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ()A.f(x)=-lnx B.f(x)=1C.f(x)=-1x D.f(x)=3|x-13.[2023·天津卷]函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 ()A.f(x)=5B.f(x)=5sinC.f(x)=5D.f(x)=5cos4.[2022·新高考全国Ⅱ卷]若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑k=122f(k)=(A.-3 B.-2C.0 D.15.(多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2+x)均为偶函数,则A.f(0)=0B.g-12C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)6.[2023·全国甲卷]若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数,则

微专题21基本初等函数与函数模型微点1基本初等函数的图象与性质例1(1)[2022·全国甲卷]已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ()A.a>0>b B.a>b>0C.b>a>0 D.b>0>a(2)[2023·湖北孝感二模]已知函数y=1x的图象与函数y=ex+1和y=lnx-1的图象分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=[听课笔记]

【规律提炼】比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决,可以根据题干或者选项的提示,构造适合题目的函数.自测题1.[2023·武汉华师一附中5月模拟]已知正数a,b,c满足2022a=2023,2023b=2022,c=ln2,下列说法正确的是 ()A.logac>logbc B.logca>logcbC.ac<bc D.ca<cb2.(多选题)[2023·邯郸一模]已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则 ()A.f(x)的定义域是(-6,4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)D.f(x)在[0,4]上单调递增微点2函数模型例2(1)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgpp0,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2(2)如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,那么至少需要块这样的玻璃重叠起来,才能使通过它们的光线强度为原来强度的12以下.(lg2≈0.301,lg3≈0.[听课笔记]

【规律提炼】构造函数模型,通过解方程或者利用导数研究函数的单调性来解决问题,关键是构造合适的函数模型.自测题1.将边长为1的正六边形进行如下操作:第一次操作,在每条边上,以边长的13为长度作正六边形,保留新作的六个小正六边形,删除其余部分;第二次操作,将上一次操作剩余的正六边形进行同第一次一样的操作,并以此方法继续下去.如图所示,若要使保留下来的所有小正六边形的面积之和小于10-3,则至少需要操作的次数为(lg2≈0.30,lg3≈0.48) ()A.17 B.18 C.19 D.202.[2022·北京卷]在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 ()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态1.[2023·天津卷]若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 ()A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c2.[2023·新课标Ⅰ卷]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)3.[2022·北京卷]已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有 (A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=14.[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259) (A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.65.[2023·全国甲卷]已知函数f(x)=e-(x-1)2,记a=f22,b=f32,A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b6.[2023·北京卷]已知函数f(x)=4x+log2x,则f12=

微专题22不等式微点1不等式的性质及应用例1(1)[2023·北京东城区模拟]若实数a,b满足a2>b2>0,则下列不等式中成立的是 ()A.a>b B.2a>2bC.a>|b| D.log2a2>log2b2(2)(多选题)[2023·吉林模拟]已知实数a,b,c,d满足0<a<b,c<d<0,则下列不等式一定成立的是 ()A.ca<cb B.acC.a-cb-c>a-db-[听课笔记]

【规律提炼】利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件.比较大小的题目,常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.自测题[2023·北京朝阳区一模]若a>0>b,则 ()A.a3>b3 B.|a|>|b|C.1a<1b D.ln(a-b)>微点2基本不等式例2(1)[2023·淄博模拟]若x,y是正数,则x+12y2+yA.3 B.72 C.4 D.(2)(多选题)[2023·湖北天门模拟]已知x>0,y>0且x+2y=2,则下列结论中正确的是 ()A.4x+1y有最小值3+B.lnx+lny可以取到0C.(x+1)(y+2)有最大值49D.x2+4y2有最小值2[听课笔记]

自测题1.[2023·菏泽一模]设实数x,y满足x+y=1,y>0,x>0,则2x+xy的最小值为 (A.22-2 B.22+2C.2-1 D.2+12.[2023·南京模拟]设x>0,y>0,且x-1y2=16yx,则当x+1y取得最小值时,x2A.8 B.12C.16 D.163.[2023·潍坊模拟]已知a>0,b>0,a≥1a+2b,b≥1b+2a,则a+b微点3基本不等式与其他知识综合应用例3(1)[2023·阳泉三模]若直线xa+yb=1经过点Mcosα,sinαA.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1C.1a2+1b2≤1 D.1(2)[2023·莆田模拟]在各项均为正数的等比数列{an}中,若存在两项am,an(m,n∈N*),使得am·an=4a1,且a3=a2+2a1,则1m+9A.114 B.83 C.103 [听课笔记]

自测题1.[2023·营口二模]已知直线l1:a2x+y+2=0与直线l2:bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为 ()A.5 B.4 C.2 D.12.[2023·宁波模拟]非零实数a,b,c满足bca,acb,abc成等差数列,则a2+2A.22 B.32+C.3 D.3+22【规律提炼】1.运用基本不等式,首先要注意基本不等式的结构特征,不符合基本不等式结构特征的,可以考虑变形后运用基本不等式,要树立整体意识,关注“1”的替换,关注等号成立的条件.2.在运用基本不等式的过程中,若两次或多次运用基本不等式,注意验证两次或多次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同,只有相同时,代数式才能取到计算出的最值,否则取不到.3.基本不等式经常与其他知识相结合,譬如立体几何、解析几何、函数最值、数列、平面向量等,主要用来解决最值问题.1.[2021·天津卷]设a∈R,则“a>6”是“a2>36”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.[2021·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是 ()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-xD.y=lnx+43.(多选题)[2020·全国新高考Ⅰ卷]已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ()A.a2+b2≥1B.2a-b>1C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤24.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷]若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 ()A.x+y<1 B.x+y≥-2C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤25.[2021·天津卷]已知a>0,b>0,则1a+ab2+b

微专题23利用导数研究函数性质微点1切线问题例1(1)[2023·哈尔滨三中五模]已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),若直线y=kx+b为曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线,则b= ()A.12 B.1-lnC.2-ln2 D.-ln2(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷]曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,.

[听课笔记]

【规律提炼】(1)曲线的切线问题,主要关注导数的几何意义,注意区分“在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别.(2)两条曲线的公切线问题,一般的处理方法是分别假设各自的切线,利用两条切线重合列方程(组)求解,对运算求解能力要求较高.自测题1.[2023·潍坊三模]若P为函数f(x)=12ex-3x图象上的一个动点,以P为切点作曲线y=f(x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是 (A.0,2π3 C.2π3,π D.2.若曲线y=lnx+1与曲线y=x2+x+3a有公切线,则实数a的取值范围为 ()A.2ln2B.1C.2ln2D.1微点2单调性问题例2(1)[2023·深圳二模]已知ε>0,x,y∈-π4,π4,且ex+εsiny=eysinx,A.cosx<cosy B.cosx>cosyC.sinx<siny D.sinx>siny(2)[2023·全国乙卷]设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是.

[听课笔记]

自测题1.(多选题)[2023·华南师大附中模拟]已知函数f(x)=(x-1)lnx,且f(ea)>f(b),则下列结论一定正确的是 ()A.若a>0,则a-b>0B.若a>0,则ea-b>0C.若a<0,则ea+b>2D.若a<0,则a-lnb<02.[2023·昆明一模]若函数f(x)=2x+ncosx在定义域R上不单调,则正整数n的最小值是.

微点3极值与最值例3(1)[2023·郑州三模]已知函数f(x)=exx-ax+alnx,若f(x)≥0在定义域内恒成立,则实数a的取值范围为 (A.(-∞,e2] B.[e2,+∞)C.(-∞,e] D.(-∞,1](2)(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷]若函数f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值,则(A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0[听课笔记]

自测题1.[2022·全国甲卷]当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2,则f'(2)= ()A.-1 B.-1C.12 D.2.[2023·烟台二模]若函数f(x)=lnx+12x2+ax有两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)≤-5,则 (A.a≥42 B.a≥22C.a≤-22 D.a≤-423.[2023·娄底三模]若对任意的0<x1<x2≤a,x2x1x1x2-eex1.[2023·全国甲卷]曲线y=exx+1在点1,e2A.y=e4x B.y=eC.y=e4x+e4 D.y=e2.[2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ()A.e2 B.eC.e-1 D.e-23.[2022·新高考全国Ⅰ卷]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

4.[2023·新课标Ⅱ卷](1)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x;(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

微专题24恒成立问题与不等式的证明微点1恒成立与能成立问题例1[2023·广东六校联考]已知函数f(x)=a((1)当a=1时,证明:f(x)≤lnx;(2)已知x-1lnx>lnxf(x)对任意x∈例2[2023·扬州模拟]已知函数f(x)=asinx-ln(1+x)(a∈R).(1)若a=-1,求证:当x>0时,f(x)+2x>0恒成立;(2)当a≥1时,对任意x∈0,k2,都有f(x)≥0,求整数【规律提炼】恒成立与能成立问题,一般情况下转化为求函数最值问题,利用函数的单调性解决函数的最值问题,利用导数解决函数的单调性问题.含有参数的恒成立和能成立问题,分类讨论和分离参数也是常用的方法,利用端点效应寻找思路也是一种解题方法.自测题1.设函数f(x)=ex-ax,x≥0,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax-1.(1)当a=0时,证明:函数f(x)只有一个零点;(2)若存在x∈R,使不等式f(x)<-e-1成立,求a的取值范围.微点2不等式的证明角度1指、对不等式的证明例3[2023·潍坊一模]已知函数f(x)=ex-1lnx,g(x)=x2-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x∈(0,2)时,f(x)≤g(x)恒成立.角度2数列不等式的证明例4已知函数f(x)=alnx-2(x-1(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(2)设n∈N*,证明:2-12+1+3-23+2自测题已知函数f(x)=lnx-ax+2(a>0).(1)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明:1+11×2×1+12×3×…×1+1n(n【规律提炼】解决不等式的证明问题时,将变量移到不等式的一边,另一边为0的形式比较常见,转化为函数的最值问题.[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;(3)设n∈N*,证明:112+1+122+2+…+

微专题25导数中的切线、放缩与构造微点1指数、对数切线不等式的直接应用例1[2023·河北承德模拟]已知a=e17,b=log89,c=log78,则 ()A.b>c>a B.c>a>bC.a>b>c D.a>c>b[听课笔记]

【规律提炼】放缩法常用来比较大小,指数、对数的切线放缩是常用的放缩法之一.(1)ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立;(2)ex≥ex,当且仅当x=1时,等号成立;(3)lnx≤x-1,当且仅当x=1时,等号成立;(4)lnx≤1ex,当且仅当x=e时,等号成立自测题[2023·湖北十堰模拟]若a=e0.2,b=1.2,c=ln3.2,则 ()A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.b>a>c微点2指数切线不等式变形的应用例2(1)[2023·长沙一中一模]已知实数a,b,c满足ea+c+be-c+1≤a+lnb+3(其中e为自然对数的底数),则a+b-c的最小值是.

(2)[2023·湖南九校联考]已知不等式ex≥alna(x-1)e(a>0)恒成立[听课笔记]

【规律提炼】(1)在不等式的证明中,当不能直接利用指数、对数切线不等式进行放缩时,可先将不等式进行变形,常见的不等式如下:①ex-1≥x;②ln(x+1)≤x;③lnx≥1-1x;④当x>0且x≠1时,2xx+1<x<(2)当函数中同时出现ex与lnx时,通常使用同构来进行求解,例如将axex-ln(ax)-x变形得到ex+ln(ax)-[x+ln(ax)],从而构造函数w(x)=ex-x求解.自测题[2023·沈阳二模]已知实数a>0,函数f(x)=1+ln(ax),g(x)=ex-a.(1)若不等式f(x)≤x恒成立,求a的取值范围;(2)若不等式f(x)≤x·g(x)恒成立,求a的取值范围.微点3指对均值不等式例3已知函数f(x)=1x-x+aln(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1自测题已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2(1)求a,b的值;(2)如果当x>0且x≠1时,f(x)>lnxx-1+kx恒成立微点4利用三角不等式放缩例4[2023·山东潍坊模拟]设a=sin0.2,b=0.2cos0.1,c=2sin0.1,则 ()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<b<a[听课笔记]

自测题[2023·山东日照模拟]已知a=12023,b=tane120232023,c=sine12024A.c<a<b B.a<c<bC.b<a<c D.a<b<c[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+32

一、泰勒公式(1)泰勒公式,也称泰勒展开式,主要是用于求某一复杂函数在某点的函数值,如果一个函数足够平滑,即若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]内具有n阶导数,且在开区间(a,b)上存在n+1阶导数,则对任意x∈[a,b],有f(x)=f(x0)0!+f'(x0)1!(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)我们更多地是用泰勒公式在x0=0的特殊形式:f(x)=f(0)0!+f'(0)1!x+f″(0)2(2)泰勒展开式常常用于放缩法比较大小,常用的泰勒展开式如下:①ex=1+x+x22!+…+xnn②sinx=x-x33!+x55!-…+(-1)m-1x③cosx=1-x22!+x44!-x66!+…+(-1)④ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)n-1xn⑤11-x=1+x+x2+…+xn+o(x二、泰勒展开式及其推论(1)当0<x<1时,1+x<ex<1+x+x2+…+xn+…=11-x,则ln(1+x)<x<ln11-(2)lnx≥1-1x(3)ln(x+1)≥1-1x+1=1[2022·新高考全国Ⅰ卷]设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则 ()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b[听课笔记]

2已知函数f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,求实数m的值;(2)当m≥1时,证明:f(x)>g(x)-x3.自测题1.已知a=27,b=ln1.4,c=e0.2-1,则 (A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<a2.[2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥12x3+1,求a的取值范围

微专题26零点问题微点1分段函数零点例1[2023·安庆二模]已知函数f(x)=x|lnx|,x>0,-xex,x<0,若函数g(x)=f(x)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-1]∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪[1,+∞)[听课笔记]

自测题1.[2023·天津红桥区二模]若函数f(x)=log0.5x,0<x≤1,-x2+4x-32.[2023·淄博一模]已知函数f(x)=|x+2|+1,x≤0,lnx,x>0,若存在实数a<b<c,满足f(a)=f(b)=f(c),则af微点2零点个数问题例2[2023·南开中学质检]已知函数f(x)=(x+1)lnx+(a-2)x+2,a∈R.(1)当a≥0时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:函数f(x)存在唯一零点.自测题[2023·济宁一模]已知函数f(x)=(x-3)ex-ea2(x2-4x(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当0<a<2时,讨论函数f(x)的零点个数.微点3与零点有关的求参与证明问题例3[2023·青岛二模]已知函数f(x)=lnx-ax-1x,(1)讨论f(x)极值点的个数.(2)若f(x)恰有三个零点t1,t2,t3(t1<t2<t3)和两个极值点x1,x2(x1<x2).(i)证明:f(x1)+f(x2)=0;(ii)若m<n,且mlnm=nlnn,证明:(1-m)e-自测题已知x1,x2是方程ex-ax=ln(ax)-x的两个实根,且x1<x2.(1)求实数a的取值范围;(2)已知f(x)=ax,g(x)=ln(1+x)-cosx+2,若存在正实数x3,使得f(x1)=g(x3)成立,证明:x1<x3.【规律提炼】1.函数零点的个数问题,要能转化为函数图象与x轴的交点个数或者两个函数图象的交点个数问题,数形结合解决问题;2.对于零点存在问题,可利用放缩法或者分类讨论法恰当地找到一正一负两个函数值;3.对于与零点有关的不等式证明问题,一般解法是构造函数,借助于函数的单调性解决问题.1.[2023·天津卷]若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为.

2.[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

在求解函数问题时,很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点,但所述情形都难以求出其准确值,导致解题过程将无法继续进行,但可这样尝试求解:先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如,图象连续不断的函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点处的函数值异号时就可证明存在唯一的零点),这时可设出其零点是x0,因为x0不易求出(有时是可以求出但无需求出),所以把零点x0叫作隐零点,若x0容易求出,就叫作显零点,而后解答就可继续进行.技巧一虚设零点例1已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:(1)f'(x)在区间-1,(2)f(x)有且仅有2个零点.技巧二隐零点代换——构造单变量函数例2[2023·秦皇岛二模]已知函数f(x)=aex-x+lna-2.(1)若x=0是f(x)的一个极值点,求f(x)的最小值;(2)若函数g(x)=f(x)+x-ln(x+2)有两个零点,求a的取值范围.自测题1.[2023·重庆一中模拟]已知函数f(x)=xex+ln(x+1)-asinx(a>2).(1)证明:f(x)在区间0,π(2)记f(x)在区间0,π2上的极值点为m,f(x)在区间[0,π]上的零点的和为n,请比较2m与2.[2023·湖南娄底模拟]已知函数f(x)=ex+a-ln(x+1)-a(a∈R).(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;(2)求证:f(x)有唯一的极值点x0,且f(x)≥1.技巧三隐零点估计例3[2023·菏泽一模]已知函数f(x)=mex-x2-x+2.(1)若函数f(x)在R上单调递增,求m的取值范围;(2)若m<0,且f(x)有两个零点x1,x2,证明:|x1-x2|<3+m3自测题[2023·日照一模]已知函数f(x)=ex-a,g(x)=lnx+a(a∈R).(1)若直线y=x是曲线y=g(x)的切线,函数F(x)=f(x),x≤1,g(x),x>1,若存在x1<x2,使得F(x1)+F(x2(2)设G(x)=f(x)-g(x),若|G(x)|=b恰有三个不等实根,证明:a-1a<b<2a-2

1.偏移问题常作为压轴题出现,题型复杂多变,解决此类问题,需先理解此类问题的实质,巧妙消元、消参、构造函数,利用函数的性质解决