（聚焦典型）高三数学一轮复习《正弦定理和余弦定理》理 新人教B版

[第23讲正弦定理和余弦定理](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·山西大学附中检测]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosBA.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)2．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c.若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，则cosB＝()A.eq\f(\r(5),3)B.eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(5),6)3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形4．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么C等于()A．120°B．105°C．90°D．75°eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为eq\f(1,2)，那么b为()A．1＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C.eq\f(3＋\r(3),3)D．2＋eq\r(3)6．[2013·湖北卷]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶47．[2013·大连检测]在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)8．[2013·哈师大检测]在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，则c＝()A.eq\f(14,5)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,13)D.eq\f(56,65)10．[2013·安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab>c2，则C<eq\f(π,3)；②若a＋b>2c，则C<eq\f(π,3)；③若a3＋b3＝c3，则C<eq\f(π,2)；④若(a＋b)c<2ab，则C>eq\f(π,2)；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>eq\f(π,3).11．在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1，0)，C(1，0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值为________．12．[2013·石家庄检测]在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________．13．[2013·天津检测]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．14．(10分)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．15．(13分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝eq\r(2)，cosA＝－eq\f(\r(2),4).(1)求sinC和b的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,3)))的值．

课时作业(二十三)【基础热身】1．B[解析]∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.又由c＝2a，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－ac,2ac)＝eq\f(5a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).2．B[解析]由正弦定理eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)，又∵a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，∴eq\f(sin2B,\f(\r(5),2)b)＝eq\f(sinB,b)，又∵b≠0，sinB≠0，∴eq\f(2cosB,\f(\r(5),2))＝1，∴cosB＝eq\f(\r(5),4).故选B.3．A[解析]∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,4)<0.所以△ABC是钝角三角形．故选A.4．A[解析]依题意由正弦定理得sinC＝eq\r(3)sinA，又B＝30°，∴sinC＝eq\r(3)sin(150°－C)＝eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(3,2)sinC，即－eq\f(1,2)sinC＝eq\f(\r(3),2)cosC，∴tanC＝－eq\r(3).又0°<C<180°，因此C＝120°.【能力提升】5．C[解析]∵eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)，∴ac＝2，又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝eq\f(3＋\r(3),3).6．D[解析]因为a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因为3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，则3b＝20a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)②，联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－eq\f(15,7)(舍去)，则a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.7．B[解析]先用余弦定理求出边c的长度，再直接解直角三角形．由余弦定理得7＝c2＋22－2×2c×cos60°，解得c＝3，再由BC边上的高构成的直角三角形中，得h＝c×sinB＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故选B.8．C[解析]考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化成边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2<c2，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以△ABC为钝角三角形．故选C.9．A[解析]因为cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，所以sinA＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(12,13)，因为sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(56,65)，由正弦定理知eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(c,\f(56,65))＝eq\f(3,\f(12,13))，解得c＝eq\f(14,5).10．①②③[解析]本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC<ab得2cosC＋1>eq\f(a2＋b2,ab)＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，则cosC>eq\f(1,2)，因为0<C<π，所以C<eq\f(π,3)，故①正确；对于②，由4c2＝4a2＋4b2－8abcosC<a2＋b2＋2ab得ab(8cosC＋2)>3(a2＋b2)，即8cosC＋2>3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥6，则cosC>eq\f(1,2)，因为0<C<π，所以C<eq\f(π,3)，故②正确；对于③，a3＋b3＝c3可变为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(3)＝1，可得0<eq\f(a,c)<1，0<eq\f(b,c)<1，所以1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)，所以c2<a2＋b2，故C<eq\f(π,2)，故③正确；对于④，(a＋b)c<2ab可变为2×eq\f(1,c)>eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，可得eq\r(ab)>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<eq\f(π,2)，④错误；对于⑤，(a2＋b2)c2<2a2b2可变为eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<eq\f(2,c2)，即eq\f(1,c2)>eq\f(1,ab)，所以c2<ab≤eq\f(a2＋b2,2)，所以cosC>eq\f(\f(a2＋b2,2),2ab)≥eq\f(1,2)，所以C<eq\f(π,3)，故⑤错误．故答案为①②③.11．2[解析]由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋BA,AC)＝2.12．4[解析]cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,4)，可得cosB＝eq\f(4＋（c－b）（c＋b）,4c)＝－eq\f(1,4)，eq\f(4＋7（c－b）,c)＝－1，8c－7b＋4＝0，结合b＋c＝7，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4，,c＝3))答案为4.13.eq\f(2π,3)[解析]由已知条件(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，化简得a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2).又C是三角形的内角，则C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).14．解：(1)∵m∥n，∴2sinBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))＝－eq\r(3)cos2B，∴sin2B＝－eq\r(3)cos2B，即tan2B＝－eq\r(3).又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵B＝eq\f(π,3)，b＝2，∴由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)得，a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝cS△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac≤eq\r(3)(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，∴S△ABC的最大值为eq\r(3).15．解：(1)方法一：由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).方法二：由题设可知，2b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc).于是b2＋c2－a2＝bc.所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)方法一：因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→)),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋