高等数学2综合自测题-答案

高等数学综合自测题(I)

一、选择题(3,x5=15,)

1、若2=冲+/,则包+包=(B).

dxdy

A.x+y+2x2B.x+y+3x2

C.2x+y+3x2D.x+y

2、设积分区域D是圆环：l«/+y2<4,则二重积分

J'+)dxdy=(C).

A.^dO^r2drB.「d禧公

JoJoJoJr

C.fd0\r~drD.fd0\rdr

JoJiJOJI

3、曲面积分，dxdy表示的是(C)

A.曲面Z的面积

B.曲面E在xOy面上投影D的面积

C.不是:E的面积，也不是投影D的面积

D.可能不是X的面积

00

4、若级数£%收敛，则级数(D)

n=l

00oo

A.SKI收敛B.f(-1)"明收敛

n=ln=l

00

+%+1

C.1＞必向收敛收敛

n=ln=l2

5、设有直线上口=士=自与直线/,:尸一'=6，则直线乙与/，的夹

1-21[2y+z=3一

角为(C)

二、填空题(5x3=15，)

1、函数z=拈(]4”2.2)的定义域为{(X，y)|y2<4x且。<%2+/<1)；

2、直线T=—=F与xOv面的交点的坐标为(2,20):

3、曲面》2yz+3y2=2甚-8z上点(1,2,-1)处的切平面方程为

-6(x-l)+ll(y-2)+14(z+l)=0.

4、级数£2；(x+l)"的收敛半径为£

ttn2ln(n+l)_2_

5、设D是中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域，则

JJ"'一厂dxdy—1(1—e~a)

D

三、解答下列各题(8x6'=48')

1、求过点(1,0,-1)且与直线/：1—y+2z=°垂直的平面n的方程

\3x+2y-z+5=0

解：S[={1-1,2}S2={3,2-1)

ijk

1=1-12=-3z+lj+5k

32-1

平面方程为：-3(x-l)+7y+5(z+l)=0

2、设z=(l+孙产,求名.

dy

W：z=(l+xyr+y

Inz=(x+y)ln(1+xy)

11

—•z=ln(xy+l)+(%+y)------x

zyl+xy

[「+ln(l+孙)]

Zy=Z，

I1+孙)

(x(x+y)..、)

即包=(1+孙)x+y—_^+1ln(l+孙)

I1+孙)

3、设2=/(必一/2y),其中/具有二阶连续偏导数，求存

oxoy

解：M=2*+MV2

OX

袅=2乂一2琏1+配工"2)+人卜'+孙川+婢(-2%+配"2)

dxdy

*(1+盯)人+2e»(/-/)九—例%

4、求函数/(x,y)=4(兀-丁)-％2-丁2的极值.

解：力(D)=4-2x=0得驻点为：(2<2)

fy(x,y)=-4—2y=0

A=f；=_2C=/；=-2B=/；=0

AC-B2=4>0<A<0

(2,-2)为极大值点,

极大值为/(2-2)=8

5、求解方程x半+y-e*=0,Ml)=e;

ax

解：将方程变形为：?=」y+§

axxx

由一微分方程的求解公式解得：J=-(^+C)

X

将y⑴=6代入通解可得：c=0

所以原方程的解为：y=-e^

X

6、计算卜/+2町)办+(/+力力，其中L为由点O(0,0)到B(1,

1)的曲线弧『嗯.

解:尸(x,y)=x2+2xyQ(x,y)=x2+y4

?=2x=丝=2x

dydx

二积分与路径无关，选择：OA+AB

原式=J.(/+2xy)dx+(x2+y4)dy+L(x2+2xy)dx+(x2+y4)dy

OAAB

3151

小2公+£(1+小=《+(y+t)=1+1+|=f|

J00JJ、

7、将函数/(x)=」—展开成x+4的幕级数.

x+3x+2

]11_]]

解：/(%)=

(元+1)(%+2)x+1x+2—3+(x+4)—2+(x+4)

-1_J___11」丑x+4丫1在x+4)

21x+43ix+42/2J3/3J

23

0011

=E2〃+i3〃+i(x+4)”

n-0

甘H_,,x+4，口，x+4,

其中-1<----<1且-1<-----<1

23

收敛区间为(-6,-2)

8、计算曲面积分JJ^zdxdy,其中X是球面必+/+z?=1外侧在

20的部分.

解：E]：Z=J]_=2_y2:z==_J]_12_y22=2[+22

原式=JJxyyjl-x2-y2dxdy-Jjxyyjl-x2-y2dxdy

=xyyfl-x2-y2dxdy-xyy/l-x2y2dxdy

22

D.一+/♦Dx+y<l

xyx>o,j>o个岸o

=2jjxy^/1-x2-y2dxdy=pcos。sinOdO^r3yll-r2dr

D°°

孙x>0,y>0

1

-15

四、在曲面z=j2+/+4y2上求一点,使它到平面％_2y+3z=l的距离

最近.（8，）

解：设所求点为：（/，打0）

,=I%-2%+3zo-11

.•.<min-V14

、zo=J2+X；+4y；

即为求使/=\(x-2y+3z-1)?取最小值且满足炉+42_z2+2=0,z>0

的点

令E(x,y,z,㈤=—(%-2y+3z-1)2+2(x2+4y2-z2+2)

1231

F=(22+—)x——y+—z—=0

7777

F=(82+—)y-—x-—z+—=0

,7777

F=(-22+—)z+—x-—y--=0

7777

F^x2+4y2-z2+2=0

x=-2y

解得：<z=-3xn

z=6y

五、设圆锥底半径为a,高为h,质量分布均匀，其质量为M,在圆

锥体顶点处有一单位质量的质点，求圆锥对此质点的引力.（8，）

解：设圆锥的密度为P。，由锥体的对称性及质量分布的均匀性知：

工=4=0

所求引力沿z轴的分量如图建立坐标，锥面方程为：z=257K

a

解:设圆锥的密度为A，由锥体的对称性及及质量分布的均匀性知:

F,=Fy=0

锥面方程为：2=2次17

a

所求引力沿Z轴的分量为:

FZGZ

=\\\P^—,_dv=Gp0fd0\dp\h,----———-dz

C(K+y2+z2)3°J。JoJ/(p2+z2)l

22

=17iGp0-+D-yla+h+h]

h

][1I-12

六、证明：jdx[/(x)F(y)dy=][/y(x)dx,其中/(x)在[0,1]上连续.(8，)

证明：交换积分秩序

左边=fdy[f(x)f(y)dx

=£dx£7(x)/(y)dy

则二时；一(f(x)f(y)dy=0

£/(x)dx[ff(y)dy-[f(y)dy=0

①J；/(x@c=0上式显然成立

②ff(y)dy-£f(y)dy=0n：[f(y)dy=ff(y)dy

1r1~|2

所以左边=5£f(x)dx

高等数学综合测试题(II)

一、填空题(5X3，=15，)

1、绕y轴旋转而成的椭球面3/+2y2+3z2=l的曲线是

x=±J.gy2)或z=±7f(1-y2)-

2、二元函数z=3(x+y)-x3—,3的极值点是

3、设。：/+/+z?<1,贝(Jjjje闫dv=2乃.

Q

22244

4、设L是星形线2+广=Q(R>0),则曲线积分£(卢+户)办=理刍.

00

5、幕级数Z"/的收敛半径R=j_.

n-0

二、选择题(5x3=15，)

1、已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=V7,则a,b的夹角为(C)

A.-B.--C.-D.--

2233

2、£dx^Q'/(x,y)dy=(D)

A.£(fy£/(x,y)dxB"于(x,y)dx

c.fdy£/(x,y)dxDJ"于(x,y)dx

3、设「是螺旋线了=近05/,丁=々5抽入2=初上参数1从0到万的一段，则

1

A.—a29(l+b)7iB.a2(l+b)

C.7ia2bD.-tz2(l+Z?)

4、下列级数绝对收敛的是(：C).

81co1

A.口-1尸-B.y(-i)-1—

〃=1"占Inn

001

c.Z(T尸

n-1(2n-l)!n-l

5、设曲面Z上半球面：x2+y2+Z2=7?2(Z>0),曲面Zi是X在第一卦限

中的部分，则有(C)

A.jjxds=4jjxdsB.jjyds=4jjxds

工Xi

C.jjIds=4jjxdsD.jjxyzds=4jjxyzds

XXX1

二、解答下列各题(8x6'=48')

1、设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面4x-y+2z=8垂直,

求平面方程.

平面过原点，设方程为Ax+5y+Cz=0,则有:

4A-B+2C=0(A=B

6A-3B+2C=0^[C=-%B

所以平面方程为：x+y-%z=O

2、z=/(x2y/),f具有二阶连续偏导数，求整.

xdx

解：

导印孙+年曰=2加-勺2

=^yfi+2xjfn2xy+fl2一与]+W/2-3/212XJ+/22

=^yf\+4x2j2/nfn+~^f2fi\+J/22

XXXX

-^yf\+~^f2+4x2j2/nfn+^7/22

XXX

3、在椭球面2/+2/+2Z2=1上求一点，使函数/(X,y,z)=x2+y2+z2沿

A(bb1)到B(2,0,1)的方向导数有最大值.

解：方向导数取得最大值的方向即为梯度方向。

/(X,y,z)的梯度为：gradf(x,y,z)={2x,2y,2z}

已知方向为：7=G={1,-1,0},所以应有：AB//gradf

则有在=M=必n|z=0代入球面方程得：y=±l

1-10[y=-x2

故求得两点满足题目要求：d,-Lo)

2222

4、求方程y+gy=g(l-2x):/的通解；

解：在(Xo，x),z())处与球面相切的平面方程为：

%o(%-%o)+yo(y-yo)+zo(z-zo)=O

BP

n={x0,y0,zQ]

过直线L,.•.有：

ik

n=023=3j-2k={0,3-2}

100

14

Z=±

即有:血=当=强=.x0=0,

03-213

存在两个切点：(。,3,5,-2小1行4)

.••方程为：①3(y-3哈-2(z+24)=0

5、计算“emaxHHdxdy,其中D={(x,y)|0VxV1,0Vy<1}.

D

解：DM+4曾』？

。2={(%，刈(%，丁)£。且V24%)

原式=||eydxdy+jjexdxdy=£dy^ey2/dy

%

=jyjx

办+/Xedx

=xex2dx=ex=e-l

Joo

6、计算jj(x3+az2)dydz+(y3-^ax2)dzdx+(z3+ay2dxdy.,其中Z是

Z='RK的上侧.

解：补充曲面：％2+,24氏2的下侧

P=x3+az2Q=y3+cix2R=z3+ay2

名=3/丝=3/变=3d

dxdydz

，原式=BI3(/+y2+z2)dv-jjay2dxdy

Q♦+y2«R2的下侧

£2R

pd(p^dej3r4sincpdr+jjay2dxdy

。(>(>x2+y2<R2

3

=2JR5+「d01ar3sinOdr=-7?5+〃派

5JoJo54

]

7.将，(x)=展开成x-1的幕级数.

x2-3x+2

解:原式二1-11

(x-l)(x-2)(x-1)1-(x-1)

100

沙-1)』£(%_1尸|%-1|<1

x-1n-0n-0

8”

8、求幕级数的和函数・

con1002w+l

解:=RX(_Dn

%n=Q2n+l

_oo2n+l1

的?(一Fs；(%)=Z(-Dnx2nW<i

2

n=01+x

/.Sr(%)=£]12dx=arctgx

arctgx

.s(%)=

n+\x<1«w0

Ji

S(x)=1x=Q

四、在过点P(1,3,y)的所有平面中，求一平面，使之与三个坐

标面所围四面体的体积最小.(80

解：设平面方程为：-+^+-=1,且P(l,3,y)满足方程，

abc

士c3caby

「・有y=c------nc=---------

abab-b-3a

a2b2y

326ab-b-3a

五、求曲面必+y2+z2=。2在圆柱好+,2=ax(q>0)内的那部分的面积.

(89

解：由对称性知，所求曲面面积A是第一象限上面积A的四倍，A的

22

投影域DXY:x+y<ax(x,y>0)

a

曲面方程z=yja2-x2-y2,故Jl+z：+zj

Ja2_%2_y2

dxdy

71八兀

=4a\(*—2d3\pacos”-4a2j^(sin6>-l)J6>

JoJo

=2加2—4Q2

六、证明函数满足方程e*+W+h?=。，其中r=J/+y2+z2.

rdx1dy2dz1y

du1112xx

小r「26十寸一r

d~u_1112x13x2

而r3r42卜+/+z2r3+r5

同理可得：*=-[+年

ay2r3r5

d2u13z2

=1----

dz2---r3r5

d2ud2ud2u33r2

-----1-----1----=-----1----=i

a2办2&2r3r5

高等数学综合测试题(m)

一、填空题(5X3，=15，)

1、若2=(1,2,3),b=(3,0,-1),贝Uaxb=(-2,10,6).

2、z=Intan土,贝！]—=----------

yx2%

,dxytan—sec—

yy

3、平面x+y+z=l与三个坐标面所围成的立体体积为-

6

4、二次积分『在产’(，+/)力的极坐标形式为

，2acos6°

Pdr.

M0

5、设L是A(0,V2)到B(l,l)的直线段，则曲线积分

%ln(%2+y2-X)dx+yln(%2+—])=.

JfL

二、选择题(5x3=15，)

_2

1、二重极限lim产4=(D)

+y

A.OB.IC.-D.不存在

2

222

2、设D为+,2<>0为常数)，||^a-X-ydxdy=71,则a=(D)

D

D

A1B-fc•旧<

3、设有直线L/x+3y+2z+l=0及平面n：4%_2y+z-2=0,则直线L

⑵-y-10z+3=0

(A)

A.平行于nB.在n上

c.垂直于nD.与ri斜交

00

4、设2＞，，（％一1尸在x=-l处收敛，则它在乂=2处（B）

n=l

A.发散B.绝对收敛

C.条件收敛D.敛散性与%有关

5、设一是锥面2=+I/被平面Z=1所截的有限部分的外侧,

则2

jjxdydz+ydzdx+(z-2z)dxdy_C)

s

3万3

A.--71；B.0；C.-；

22

二、解答下列各题（8x6=48，）

1、求过点M(2,1,3)且与直线U=F=A垂直相交的直线

32—1

方程.

解：设交点为(网),>0,Z。)，则/={/—2，Vo-l,Zo-3}

二^—=口=/nx0=3t-l,y0=2r+l,z0=-t

-3

.•./={3"32,T—3}与{3,2,T}垂直，所以有：t=-

了12624

•I-{r---,---

777

・•.直线方程为三=『=3

d?xdx

2、求解微分方程-rr-2--3x=3r+l.

atat

解：特征方程：方―2X-3=。解得：2；=3,22=-1

3t（

齐次方程的通解为：％=cYe+c2e~

/（r）=3r+l,2=0不是特征根，」.设特解：x=A+Bt

代入原方程比较系数得到：A=|,B=-I

3t-t1

・••原方程的通解为：x=Ge+c2e-t+-

3、设z=/（%，;;）,其中/具有二阶连续偏导数，求言.

ydxdy

dz„„1

解：二=/i+72—

OXy

2

dz,/%、„1I,,%、1z„,1,、

以方=fl2（^）―力=+—力2（T）=+力+一力2）

4、计算JJ包，。，其中D是由直线'=工尤=1和y=。所围成的

DX

区域.

I.1

解:sin%办=-cosX=1-cosl

0

5、计算f3y心—xzdy+yzdz,r是圆周一+/=?z及z=2,

若从z轴正方向看去，圆周为逆时针方向.

f+y2=2z

解:

z=2

设E是平面z=2上被圆周「所围部分的上侧，Z的法向量

n-{costz,cos^,cos/}={0,0,1）

由stokes公式:

000

556

原式=口ds=JJ(—z-3)ds=-11(2+3)dxdy=一2。»

8xdydzZDXy

3y-xz田

00n

X

(的和函数.

En=\n\n+1)

8/00n+1

解：S(%)=Z/,nxS(x)=--

,I=in(n+1)M«(«+1)

00n001

(九S(x))'=X—(xS(%))=£xn~x=---,|x|<1

ZfnM1—%

x1

(xS(x)),=[-----=-ln(l-x)

)1JC

xS(x)=-ln(l-x)dx=-%ln(l-%)+%+ln(l-%)

JO

S(x)=1-ln(l-x)+—ln(l-x)Ixl<1,x0

x

7、计算曲面积分H（x+y）2ds，其中z为立体jY+y2wzW1的边

z

界曲面.

=JJ{x+y)2ds