2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）第五章 一元函数的导数及其应用知识总结

第五章一元函数的导数及其应用

一、思维导图

二、知识记诵

知识点一：平均变化率问题

1.变化率

事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值"。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比

值；

2.平均变化率

一般地，函数f(x)在区间国,X』上的平均变化率为：/(.一)二」.(土)

々一%

要点诠释：

①本质：如果函数的自变量的“增量”为Ar,且以=々一西，相应的函数值的“增量”为由,

△y=f(x2)-/(%)),则函数/(x)从X,到x2的平均变化率为生=/㈢二3

Avx2-x.

②函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.

即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从匕秒到t2秒的

平均变化率即为tl秒到t2秒这段时间的平均速度.

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动,

就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率

求函数的平均变化率通常用“两步”法：

①作差：求出Ay=/（工2）-/（苍）和AX=X2-XI

②作商：对所求得的差作商，即包=八&）二/⑻。

Axx2-xt

要点诠释：

1.Ax是芭的一个“增量”，可用％+Ar代替4.同样刈=/（＞2）一/（西）。

2.LX是一个整体符号，而不是工与x相乘。

3.求函数平均变化率时注意，/,两者都可正、可负，但的值不能为零，.）的值可以为零。

若函数y=.f（x）为常函数，则y=0.

知识点二：导数的概念

定义：函数/（幻在x=/处瞬时变化率是lim包=lim"。+"）-/（尤0）,我们称它为函数

°AxAi。Ar

y=/（x）在x=x0处的导数,记作广（%）或y'|即

/,（X。Alim包+©）"9）

-0Ax-oM

要点诠释：

①增量Ar可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。Axf0的意义：Ax与0之间距离要多近

有多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数。

②Arf0时:Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数。

即存在一个常数与包=/（%+©）一”区）无限接近。

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率。

知识点三：求导数的方法：

求导数值的一般步骤：

①求函数的增量：Ay=/（%+-）—八%）；

②求平均变化率："=/（/+&）­/（/）；

AxAx

③求极限，得导数：/'(/Alim包=lim也也巨

Ai。Zkr加T°AX

也可称为三步法求导数。

知识点四：基本初等函数的导数公式

(1)f(x)=C(C为常数),/'(x)=O

(2)f(x)=xn(n为有理数)，f\x)=n-xn-l

(3)/(x)=sinx,f*(x)=cosx

(4)/(x)=cosx,f\x)=-sinx

(5)f(x)=ex,f\x)=ex

(6)f\x)=ax,f*(x)=ax-Ina

(7)/(%)=lnx,f\x)^-

x

(8)/(x)=log„X,/'(x)=—log(,^,这样的形式。

X

要点诠释：

1.常数函数的导数为0,即C'=0(C为常数).其儿何意义是曲线/(x)=C(C为常数)在任意点

处的切线平行于X轴.

2.有理数基函数的导数等于塞指数n与自变量的(n-1)次累的乘积，即(x")'=«yi(neQ).

特别地(一)=-2,(~^)'=。

3.正弦函数的导数等于余弦函数，即(sinx)'=cosx.

4.余弦函数的导数等于负的正弦函数，即(cosX)'=-sinx.

5.指数函数的导数：(优)'=a”na,(ex),=ex.

6.对数函数的导数：(log“x)'=Uog“e,(lnx)'=-.

XX

有时也把(log"x)'=』log"记作：(log"x)'="—

xxma

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可.

知识点五：函数的和、差、积、商的导数

运算法则：

(!)和差的导数："(X)土g(x)]'=1(X)土g'(x)

(2)积的导数："(x>g(x)r=/(x)g(x)+/(x)g'(x)

(3)商的导数：[*»]'=

r~7~\-|2(g(x)#O)

g(x)[g(x)]

要点诠释：

1.上述法则也可以简记为：

(i)和(或差)的导数：(〃±u)'="'士u’,

推广：(〃[±〃2±±〃“)'=〃；±〃'2±—U\i'

(ii)积的导数：(M-V),=M,V+MV,,

特别地：(cuy=cu1(c为常数地

(出)商的导数：(：)=胃券”工0),

两函数商的求导法则的特例

/(X)/'(x)g(x)-/(x)g'(x)

(g(x)HO)，

g(x)g"x)

当"X)=1时，[卷]」弋谓明一黑3”)皿

这是一个函数倒数的求导法则.

2.两函数积与商求导公式的说明

(1)类比：(uv)'=u'v+uv',(vWO),注意差异，加以区分.

,、4誓(UYHMYu'v+uv'/,、

(2)注意：-iL-——；—(vWO).

IvJV'IvJV2

3.求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将

函数先化简(可能化去了商或积)，然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量.

知识点六：复合函数的求导法则

1.复合函数的概念

对于函数丁=令“=w(x),则丁=_/'(")是中间变量U的函数，〃=°(x)是自变量X的函数，

则函数y=/@(x)]是自变量X的复合函数.

要点诠释：常把〃=o(x)称为“内层”，)，=/(〃)称为“外层”o

2.复合函数的导数

设函数〃=°(x)在点x处可导，u,x~(p\x),函数y=/(«)在点x的对应点u处也可导y'“=/'(«),

则复合函数y=在点X处可导，并且=或写作=/'(“)j'(x).

3.掌握复合函数的求导方法

(1)分层：将复合函数y=/[°(x)]分出内层、外层。

(2)各层求导：对内层〃=e(x),外层y=/(“)分别求导。得到e'(x),f\u)

(3)求积并回代：求出两导数的积：f\u)-(p\x),然后将“用°(x)替换，即可得到

y=/[Q(x)]的导数。

要点诠释：1.整个过程可简记为分层一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，

可以相应地多次用中间变量。

2.选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导

后，要把中间变量转换成自变量的函数。

知识点七、有关切线问题

直线与曲线相切，我们要抓住三点：

①切点在切线上

②切点在曲线上

③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。

要点诠释：

通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。

知识点八、有关函数单调性的问题

设函数y=/(x)在区间(a,b)内可导，

(1)如果恒有/'(x)>0,则函数/(x)在(a,b)内为增函数；

(2)如果恒有1(x)<0,则函数/(x)在(a,b)内为减函数；

(3)如果恒有1(x)=0,则函数/(x)在(a,b)内为常数函数。

要点诠释：

(1)若函数/(九)在区间(a,b)内单调递增，则/'(无)》0,若函数/(尤)在(a,b)内单调递减,

fJ/'(x)<0o

(2)/(幻20或尸(x)WO恒成立，求参数值的范围的方法：

①分离参数法：加2g(x)或加Wg(x)。

②若不能隔离参数，就是求含参函数/(乂〃?)的最小值/(苍⑼min,使

(或是求含参函数/(x,〃z)的最大值/(X,/")m*x,使)/u,m)max<0)

知识点九、函数极值、最值的问题

1.函数极值的问题

①确定函数的定义域；

②求导数/(X);

③求方程((x)=0的根；

④检查了'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右

正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点诠释：

(1)先求出定义域

(2)一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；

若由负变正，则该点为极小值点。

注意：无定义的点不用在表中列出

(3)依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。

2.函数最值的问题

若函数y=/(x)在闭区间口,句有定义，在开区间也力)内有导数，则求函数y=/(x)在［凡切上的最

大值和最小值的步骤如下：

(1)求函数/(x)在(a,加内的导数尸(x)；

(2)求方程尸")=0在(a,份内的根;

(3)求在(风力内使尸(x)=0的所有点的函数值和/(幻在闭区间端点处的函数值/(«),八6)：

(4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y=/(x)在闭区间［a,句上的最大值，最小者为函数

y=/(x)在闭区间［a,句上的最小值.

要点诠释：

①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的

函数值进行比较即可。

②若〃幻在开区间3口)内可导，且有唯一的极大(小)值，则这一极大(小)值即为最大(小)值.

知识点十、优化问题

在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用

导数来解决。我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有

关函数最大值、最小值的实际问题。

利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：

(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系

式y=f(x)；

(2)求函数的导数(x),解方程F'(x)=0；

(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值.

要点诠释

1.解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定

函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究

相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.

利用导数解决优化问题的基本思路：

2.得出变量之间的关系y=/（x）后，必须由实际意义确定自变量x的取值范围；

3.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使尸（x）=0的情形，如果函数在这点有极大

（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值.

4.在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去.

三、能力培养

专题一导数的概念、运算及几何意义

有关导数的概念、运算及几何意义是导数部分的重要考点.导数的四则运算是导数运算的基础知识，

要掌握运用初等函数的导数公式、导数的四则运算与复合函数的求导法则，其中先化简再求导是导数运算

的基本原则.运用导数的几何意义.不仅可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的

切线方程，而且可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形的面积等问题.导数的几何意义是

近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，多以选择题、填空题的形式出现，而在解答

题中往往涉及函数的单调性、最值等问题，所以要掌握好此部分的知识.

例1已知函数y=/（x）的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=/（x）的图像如图所示，则该函数的图像

是（）

图17

解析：从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x=0时最大，所以函数f(x)的图像的变化

率也先增大后减小，在x=0时变化率最大.A项，在时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，

故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误.B项正确.

答案：B

解后反思：本题的解答过程是根据导数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况，从而得出结论.主

要考查了识图能力、抽象概括能力以及对导数几何意义的准确理解.

例2已知曲线5:〉=3%-^及点尸(2,2).

(1)求过点P的切线方程；

(2)求证：与曲线S切于点(%,%)(与工0)的切线与S至少有两个交点.

分析：(1)首先可设出切点(%,%),代入曲线S的方程，然后对y=3x-V求导，联立方程求解.

(2)利用导数的几何意义建立关于(%,%)的方程组求解.

(1)解：设切点为(%,%),则%=3x°-

又因为y=3-3/,所以切线的斜率k=至匚=3-3x：,整理，得3%-片=(玉-2)(3-3片).

%-2

所以(%-1)[(%-1)2-刃=0,解得/=1或/=1±6,相应的斜率％=0或4=-9±66，

所以切线方程为y=2或丫=(-9±6我。-2)+2.公众招：自我提升之家-分与

(2)证明：与曲线S切于点5，%)@/0)的切线方程可设为y—%=(3-3x：)(x—%),

与曲线S的方程联立，消去y,得3x-d-%=3(l-x：)(x-x0),即。-X0)2(*+2/)=0,解得x=x。或

x=一2天）.

因此，与曲线S切于点(%,%)(%HO)的切线与S至少有两个交点.

解后反思：求“在某点处”的切线和求“过某点”的切线需注意：

(1)求“在某点处”的切线，说明此点一定是切点，求导得出曲线在这一点处的斜率，即可得切线方程.

(2)求“过某点”的切线，需设出切点坐标，根据题目中的条件列出等式，求出切点，从而得出切线方程.

(3)求切线方程时，不要忽略斜率k不存在(即直线与x轴垂直)的情况.

专题二利用导数判断函数的单调性

利用导数的符号判断函数的单调性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化

规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想.这部分内容要注意的是：

(1)函数在某一区间上/(x)>0(f,(x)<0)是函数f(x)在这一区间上为增(减)函数的充分不必要条件；

(2)若求函数/(x)的增(减)区间，只要解不等式/6)>0(,/(幻<0)即可；

(3)若已知函数/(x)在区间口向上是增(减)函数，求多数的取值范围，则需/(x)2O(f(x)4O)在

区间■，句上恒成立.

这部分内容是近几年高考的要点和热点之一，往往在解答题中出现，并且题目中常常出现参数，需对

参数进行分类讨论，因此难度较大.

例3设函数f(x)=e'+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a力满足/(a)=0,/®=0,则()

A.g(a)<O<f(b)B./0)<O<g(«)C.0<g(a)<f(b)D./0)<g(a)<O

解析：因为/(x)=e*+l>0,所以f(x)是增函数.

因为g(x)的定义域是(0,内>),所以g(x)=L+2x>0，

X

所以g(x)是(0,*»)上的增函数.

因为/(0)=一1<0,f(l)=e-l>0,所以0<a<l.

因为g(l)=-2<0,g(2)=ln2+l>0,所以1<万<2,

所以/(b)>0,g[a)<0,故g(a)</S).

答案：A

解后反思：本题考查利用导数研究函数的单调性等知识，同时考查了分析问题，解决问题的能力以及

运算能力，难度较大.

例4已知函数/'(X)=丁-ar-1.

(1)若/(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围:

(2)是否存在实数“，使/(x)在(-1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

分析：研究函数的单调性，可通过判断导数的符号来解决.因为涉及参数a,所以要分类讨论.

解：(1)由已知，得/'*)=3/-a.因为/(x)在(TO,+oo)上单调递增，

所以/(x)=3/-a20在(-oo,-Kc)上恒成立，即a43/对*右R恒成立.

因为3/20,所以只需

又因为当a=0时，/(%)=3/20,/(》)=1-1在/?上单调递增，所以a40.

故实数a的取值范围是a40.

(2)由f(x)=3/一。<0在(-1,1)内恒成立.得.一3)在内恒成立.

因为—所以3f<3,所以只需aN3.

因为当a=3时，/(幻=3，-1),在》€(-1,1)上，/(x)<0,即/(x)在(-1,1)内单调递减，所以a23.

故存在实数“23.使/(x)在(-1,1)内单调递减.

规律总结：利用导数研究函数的单调性比用函数的单调性定义要方便，但应注意/*)>0(或(/(幻<0)

仅是/(x)在某个区间内为增函数(或间函数)的补充条件.在(a/)内可导的函数/(x)在5,份内单调递增

(或递减)的充要条件是f(x)NO(或(f(x)40)在xe(a,勿内恒成立，且在(a,份的任意子区间都不

恒等于0.因此在已知函数/(X)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应先令f(x)20(或(f(x)40)

恒成立.解出参数的取值范围.(一般可用不等式恒成立理论求解).再检验参数的取值能否使/(X)恒等于

0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去；若不恒为0,则解出的参数的取值范围即为所求.

专题三利用导数求函数的极值和最值

导数是求极值和最值的有力工具，函数的极值是一个局部性概念，一般是通过确定函数的定义域，用

方程/(幻=0的根和不可导点的X值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合在每个小

区间上的单调性来求极值；对于函数的最值问题，若,f(x)的图像在［a,以上是一条连续不断的曲线，则它必

有最值.这部分内容在选择题、填空题解答题中都有出现，考查了分析问题和解决问题的能力.

例5设函数的定义域为R,x0(x°wO)是的极大值点，以下结论一定正确的是()

A.VXG/?,/(%)</(x0)B.-x0是f(x)的极小值点

C.-%是-/(x)的极小值点D.-X。是-/(-x)的极小值点

解析：毛(々尸0)是的极大值点，并不是最大值点.故A错误；由于/(-/)的图像与f(x)的图像关

于y轴对称，故-%是-/(x)的极大值点，故B错误；由于-/(x)的图像与/(x)的图像关于x轴对称，故与是

-〃外的极小值点与-%没有关系，故C错误；由于-/(X)的图像与f(x)的图像关于原点对称，故D正确.

答案：D

解后反思：本题以函数的极值为载体，只要考察了函数图像对称变换的知识.在求解与函数有关的题

目时，函数的图像往往至关重要.

例6已知函数f(x)=x-alnx(aeR)

(1)当。=2时，求曲线y=/(x)在点A(1J⑴)处的切线方程；

(2)求函数/(x)的极值.

分析：(1)先确定函数/(x)的定义域，再利用导数求切线斜率及方程.

(2)先求出函数的导数，再讨论字母a的取值以确定单调性，进而求得极值.

解：函数的定义域为(0,位)，f(x)=l-2

X

,2

(1)当a=2时，/(%)=x-21nx,/(x)=1——(x>0).

x

因而了⑴=1J⑴=-1,所以曲线y=/(x)在点A(1J⑴)处的切线方程为y-1=-(x-1),^x+y-2=0.

(2)由f(x)=l-0=^^,x>0,知

XX

①当a40时，f(x)>0,函数/*)为(0,+oo),内的增函数，函数〃幻无极值.

②当〃>0时，令/*)=0.解得x=a.又当x£(0,a)时，/(x)<0;

当xw(a,+oo)时，/(x)>0,

从而函数/(X)在x=a处取得极小值，且极小值为/(a)=a-alna,无极大值.

综上所述，当a40时，函数/(X)无极值.

当a>0时，函数/(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值；

解后反思：本题考查了函数的导数、函数的单调性、极值、不等式等知识.由于含有参数a,故在求极

值时要对。进行分类讨论.

例7.已知函数f(x)=x3+ax2+Z?x+c,过曲线y=/(x)上的点p(l,/(l))的切线方程为y=3x4-1,y=/(x)在

x=-2处有极值求：

(1)f(x)的表达式;

(2)y=f(x)在［-3,1］上的单调区间和最大值.

分析：(1)要求f(x)的表达式，需确定，a,b,c•的值为此利用导数的几何意义写出点P处的切线方程,

结合/(-2)=0求解.

(2)通过解方程不等式f(x)>0,/(x)<0,求出单调区间，从而确定最大值.

解：(1)/(x)=3X2+2ax+b,f(1)=3+la+b.f(\)=a+b+c+\.

所以曲线上点P处切线方程为：y-/(l)=(3+2a+Z?)(x-l),

即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).

因为该切线方程为y=3x+l,所以？+即［2a+”0

又因为y=f\x)在x=-2处有极值，所以/(-2)=0,即-4a+人=-12.

2〃+b=0。=2

所以,c-〃=3，解得＜6=-4,所以/(》)=^+2/-4》+5.

-4〃+〃=—12c=5

(2)/(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).

7

令f(x)=0,=-2,X2=—.

当xe卜3,-2)时，/(x)>0;当了七,2,|j时，f(x)<0;当xe(g，l时，./"«>0；

所以f(x)在［-3,1］上的单调增区间是［-3,-2)和弓,1,单调减区间是,2,|).

因为f(―2)=13J0=||,/(-3)=8./(1)=4.

所以/(x)在区间［-3,1］上的最大值为13.

解后反思：本题考查了导数的几何意义、求导公式、求函数单调性、最值的方法以及待定系数法、对

运算能力有一定的要求。

专题四用导数解决不等式恒成立的问题

不等式恒成立问题是近几年高考中的热点问题，常作为压轴题出现，交汇函数、方程、不等式和数列

等知识有效地考查数学思维能力.

不等式恒成立的问题一般都可以转化成函数的最值问题，而导数以其本身所具备的一般性和有效性，

在求解函数最值时，有着无可替代的作用。

例8证明：当xw［O,l］时，｝x4sinx4x.

分析：利用构造函数法，分别判断sinx与立x,sinx与x的大小关系.

2

证明：记尸(x)=sinx-正x,则F(x)=cosx-—.

22

当xw(O,为时，F'(x)>0,尸(x)在［。，工］上是增函数.

4［_4_

当xY,l)时，F'(x)<0,尸(x)在巴1］上是减函数.

4|_4_

又因为尸(0)=0,尸(1)>0,

所以当xe［0,1］时，尸(x)>0,BPsinx>1x.记H(x)=sinx-x,

则当xe(0,l)时，H'(x)=cosx-l<0,所以H(x)在［0,1］上是减函数.

故"(x)4"(0)=0.即sinx4x.

综上所述，^~x<sinx<x.xe［0,l］

规律总结：要证明不等式f(x)>g(x).则可构造函数0(x)=/(x)-g(x).只需证明e(x)>0.由此转化成求

9(x)最小值问题，并借助于导数解决问题.

例9已知函数/")=匕胆"21).

x

(1)试判断函数/(X)的单调性，并说明理由.

(2)若/(x)N—”恒成立求实数%的取值范围.

x+1

分析：(1)利用导数求解即可，在求解中不要忽略条件XN1,

(2)由分离常数法，得-卜土DQ+M冷恒成立.故只需利用函数思想和导数法求得『(x+D(l+lnx)

xLxJmin

解：⑴八幻=一堂.

X

因为xNl.所以Inx3O.所以f(x)40,故/(x)在[1,+8)内单调递减.

(2)因为当xNl时，/。)2—仁恒成立.所以空地士型2%恒成立.

X+1X

即攵<"(X+1)(1+Inx)-

-*Jmin

记g(x)=^kt^,贝1Jg(x)=[(x+1)(1+Inx)]x—(x+1)(1+Inx)_%-Inx

X

再令h(x)=x-\nx,则h(x)=l--.

x

因为xNl,所以/?(x)20,所以近尤)在［1,用］内单调递增.

所以[/J(x)]mjn=h(l)=1,即(x-lnx)min=1>0.

所