2023年高考数学大题练习（新高考） 18 古典概型与统计 含解析

专题18古典概型与统计

一、解答题

1.(2022年全国新高考II卷数学试题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某

种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人

口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间140,50),求此人患这种疾病的概

率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确

到0.0001).

【答案】(1)47.9岁;

(2)0.89；

(3)0.0014.

【分析】

(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设A={人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式

P(A)=I-P(A)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

(1)

平均年龄±=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).

(2)

设A={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},所以

P(A)=I-P(A)=1-(0.001+0.002+0.∞6+0.002)×10=1-0.11=0.89.

(3)

设B=‘'任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由己知得：

P(B)=I6%=0.16,P(C)=O.1%=0.001,P(BIe)=O.023χ10=0.23.

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

P(ClB)=迺=P(C)P⑻C)=0.001x0.23=O(Xn4375≈0.0014

P(B)P(B)0.16

2.(内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学2022届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题)

某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才

能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果

一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调

查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得

分(百分制)，制成如下表格：

分段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

人数510a304+510

(1)①求表中α的值，并估算该门学科这次考试的平均分(同一组数据用该组区间的中点值

代表)

②在［40,50),［50,60),［60,70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行

教学调研,学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查,求这2人均来自［60,

70)的概率；

(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为P(O<P<D,每次考

实践操作合格的概率均为方，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且

每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求。的取值范围.

ɔ

【答案】⑴①a=20,平均分74；②5

⑵切

【分析】

(1)①利用样本总量为100求出α=20,从而估计出平均分，②利用分层抽样得到［40,50),

［50,60),［60,70)分别抽取1人，2人，4人，利用列举法求出占典概型的概率；

(2)求出小明考试的考试次数的可能取值及相应的概率，得到考试次数的期望值，列出不

等式，求出。的取值范围.

⑴

①由题意得：5+10+a+30+α+5+10=100,解得：a=20,

j^×(45×5+55×10+65×20+75×30+85×25+95×10)=74,

②[40,50),[50,60),[60,70)频率之比为1:2:4,抽取7个学生进行教学调研，

故[40,50),[50,60),[60,70)分别抽取1Λ,2A，4人,

设抽取的[40,50)的学生为A,150,60)的学生为B,C,|60,70)的学生为α,b,c,d,

这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有

(ΛB),(ΛC),(A0),(Λ⅛),(Λc),(ΛJ),(B,C),(B,α),(B,⅛),(B,c),(B,J),

(CM),(C,b),(C,c'),(C∕),(α,b),(α,c),(α,4)0c),(6,d),(c,α),

共有21种情况,其中这2人均来自[60,70)的情况有(α,b),(a,c),(α,d),(4c),e∕),(c,d),

共6种情况，

所以这2人均来自[60,70)的概率为卷=,.

(2)

1O3

小明考试的次数为2次的概率为:p+(l-P)-=P2-]p+l,

考试次数为3次的概率为(I-P)0χg+gp=p-gp2,

考试次数为4次的概率为(I-P)PX；=；p-；P),

考试次数的期望值为2(p2-∣∙p+l)+31p-gp2)+4(jp-3p2)=-∣∙p2+2p+2,

351

所以-2,+2p+2≥∕,解得：]≤p≤l,

因为°<P<ι,所以g≤p<l.

即P的取值范围是ɪ,ɪ].

3.(黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022届高三第三次模拟考试数学(文科)试题)某经销

商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐(每筐1kg),得分

数据如下：17,23,29,31,34,40,46,50,51,51,58,62,62,68,71,78,79,80,

85,95.根据以往的大数据认定:得分在区间(0,25],(25,50],(50,75],(75,100]内的分

别对应四级、三级、二级、一级.

(1)试求这20筐水果得分的平均数.

(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售；

方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售;

方案2：分等级出售.

不同等级水果的售价如下表所示：

等级一级二级三级四级

售价（万元/吨）21.81.41.2

请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由.

【答案】⑴55.5

（2）采用方案1较好；理由见解析

【分析】

（1）利用平均数公式进行求解；（2）分别计算出方案1与方案2的平均数，比较后得到答

案.

（1）这20筐水果得分的平均数为

17+23+29+31+34+40+46+50+51+51+58+62+62+68+71+78+79+80+85+95UUU

=55.3

20

（2）方案1：由于得分的平均数55.5«50,75］,

所以可以估计这批水果的销售单价为1.8万元/吨.

方案2：设这批水果售价的平均值为嚏万元/吨，由已知数据得，

得分在（0,25］内的有17,23,共2个，所以估计四级水果所占比例为康，

得分在（25,50］内的有29,31,34,40,46,50,共6个，所以估计三级水果所占比例为得，

得分在（50,75］内的有51,51,58,62,62,68,71,共7个，所以估计二级水果所占比例

呜，

得分在（75,100］内的有78,79,80,85,95,共5个，所以估计•级水果所占比例为：，

1731

贝IJjf=2χ-+1.8x-—∙bl.4×-+1.2×-~=1.67（万兀/吨）.

42010IO

所以从经销商的角度考虑，采用方案1的售价较高，所以采用方案1较好.

4.（吉林省吉林市普通中学2022届高三下学期第四次调研测试文科数学试题）为了切实维

护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在

行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们

竞赛成绩分布如下：

成绩X人数

[40,50)2

[50,60)a

[60,70)22

[70,80)h

[80,90)28

[90,100]a

(1)求”,〃的值，并补全频率分布直方图；

(2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数输和方差S?(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表)；

⑶以频率估计概率，若P(x≥1-s)e(0.8,0.9],社区获得“反诈先进社区”称号，若

P(x≥1τ)e(θ.9,l],社区获得“反诈先锋社区”称号，试判断该社区可获得哪种称号(S为

竞赛成绩标准差)？

【答案】(1)。=4；6=40,图见解析

(2)75,I(K)

(3)该社区可获得“反诈先进社区”称号

【分析】

(1)根据频率分布直方图与频率分布表求出。、力的值，从而补全频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图中平均数与方差公式计算可得；

(3)根据频率分布直方图求出P(x≥i-s)=P(X≥65),即可判断：

(1)

解：由题可知：〃=0.004x10x100=4,〃=IOO—(2+4+22+40+28+4)=40,

所以IOO名居民竞赛成绩在［70,80)组内频率/组距为高70=0.040,

补全频率分布直方图如下：

(2)

解：估计该社区居民竞赛成绩的平均数

-242240284

X=45X------F55X-----F65×------F75×------F85×------H95×-----=75

100100100100100100

估计该社区居民竞赛成绩的方差

2222

s=(45-75)×^+(55-75)×-^-+(65-75)×-

1,100v,100v,100

+(75-75)2×-+(85-75)2×^+(95-75)2×-^-=100

1,100v,100v,100

(3)

解：由(1)可得S=J面=10,

所以P(XNji-S)=P(XN65)=1-P(X<65)=1-(0.002x10+0.004x10+0.022x5)=0.83

∙.∙0.83e(0.8,0.9］所以该社区可获得“反诈先进社区”称号.

5.(四川省泸州市泸县第二中学教育集团2022届高考仿真考试(四)数学(文)试题)为

了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济'’的举措.某市城管委

对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、

饰品等，各类商贩所占比例如图.

果蔬类15%

玩具类10%

饰品类5%

苴他类

(1)该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问

询.如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？

(2)为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了

统计（单位：元），所得频率分布直方图如下.

（i）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表）；

（ii）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至

多有一天超过250元的概率.

【答案】（1）小吃类商贩40家，果蔬类商贩15家

_..14

⑵（i）152.5兀（ii）—

【分析】

（1）先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后根据百分比计算出小吃类和果蔬类

商贩各多少家：

（2）（i）根据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均

数；

（ii）根据频率分布直方图，计算出日收入超过200元的天数及日收入在200-250,250-3∞

的天数，然后利用古典概型的计算方法计算概率.

（1）

由题意知I,小吃类所占比例为1-25%-15%-10%-5%-5%=40%,

按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩IOoX40%=40（家），

果蔬类商贩100*15%=15（家）.

（2）

（i）该果蔬经营点的日平均收入为

（75×0.002+125×0.009+175×0.006+225×0.002+275×0.00ɪ）×50=152.5π.

（ii）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为：（0.002+0.001）x50=0.15,0.15×40=6

天,其中超过25。元的有2天，记日收入超过250元的2天为％,a2,其余4天为白，b1,

4,4随机抽取两天的所有可能情况为：（49），（q，A），（4也），（4也），（4也）,（%，4），

（%也），（α2,⅛）,（%也）,（4也）,（⅛ι,⅛）,（々也），（b2,bi）,（⅛2,⅛）,（4也）共15种,

其中至多有一天超过250元的对立事件为：（4，%）共1种.

114

所以这两天的11收入至少有一天超过250元的概率为I-百=百.

6.（河南省安阳市2022届高三下学期高考模拟试题文科数学试题）某省会城市为了积极倡

导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共

交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”

等便民服务措施.为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交

车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：

（1）求相的值和这1200名乘客年龄的中位数；

（2）现在从年龄分布在［20,40）人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行

问卷调查，求这2人中至少有一人年龄在［20,30）的概率.

【答案】（l）%=0∙02,中位数为与；

⑵焉

【分析】

（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出〃?，再根据中

位数计算公式计算可得;

（2）根据分层抽样求出［20,30）、［30,40）的人数,分别记作A、B、。、b、J用列举法

列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得;

(1)

解：依题意可得(0.005+0.015+m+0.03+0.015+0.01+0.005)χl0=l,解得m=0.02,

因为(0.005+0.015+0.02)χl0=0.4<0.5.所以中位数为于［30,40),

设中位数为X,则(0∙005+0.015+0.02)χl0+(x-30)x0.03=0.5,解得X=与，故这1200

名乘客年龄的中位数为等;

⑵

解：从年龄分布在［20,40）人中用分层抽样的方法抽取5人，则［20,30）中抽取5x面翳石=2

人，记作A、B,

130,40）中抽取5χ0ofj03=3人,记作。、b、C

则从这5人中抽取2人进行问卷调查有（AB）,（A,α）,（As）,（Ac）,（氏“），（B,b）,（B,c）,

(a,b),(α,c),(4c)共10个基本事件;

满足这2人中至少有人年龄在［20,30）的有（A,3）,（AM）,（4力），（AC）,（氏。），（民与,

（民C）共7个基本事件,

所以满足这2人中至少有一人年龄在［20,30）的概率P=A7

7.（北京市一零一中学2022届高三下学期三模数学试题）作为北京副中心，通州区的建设

不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因

此，通州区的发展备受嘱目.2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》

显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长17.4%,下面给

出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一.又根据通州区统计局

2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年

增长12.2%.

图一20U-20I6年全社会固定资产投资及增长率图二2011-2017年全社会固定资产投资及增长率

（亿元）

1000217939.9-I25.0

900800.8I

800:^X16.7687.7■ruM'20.0

700506.1.590.8.6.4

60015.0

500

4∞10.0

300

2005.0

100

0.0

201120122013201420152016

・全社会固定资产投资—增长率

⑴在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补

全折线图;

⑵通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为17.2%,现从2011~2017这7年中随机选取

2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于17.2%的年份的个数“，求X的分布列及

数学期望;

⑶设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为看,平均数为元，比较和与与工

的大小（只需写出结论）.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

(3)XQ<X

【解析】

【分析】

(1)根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2%”补

全折线图

(2)根据题意写出X的取值并计算对应的概率，写出分布列即可

(3)根据题意分别计算毛，，直接写出答案即可

(1)

图二2011-2017年全社会固定资产投资及增长率

(亿元)1054.5,

100099

900k力人SOOSII]

800

700

600

500

400

300

200

IOO

0

r2∣0112ι012∏201320T142015T2016ι20i17

・全社会固定资产投资-→-增长率

(2)

依题意，X的可能取值为0,1,2

C22C1C14C21

P(X=O)=涓=；P(X=I)=,=；P(X=2)=-i=-

//∙y/

.∙.x的分布列为：

XO12

24

Pɪ

777

.∙.x的数学期望E(X)=OX2+1X±+2X'=9

7777

(3)Λ⅛<Λ

8.(广东省潮州市瓷都中学2022届高三下学期第三次模拟数学试题)2020年，我国已经实

现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行

产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100

个脐橙进行测重，其质量分布在区间[200,500](单位：克)，统计质量的数据作出其频率分

布直方图如图所示.

(1)按分层抽样的方法从质量落在［250,300),［300,350)的脐橙中随机抽取5个，再从这5个

脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，己知该村的脐橙种

植地上大约还有IoOooO个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：人所有脐橙均以7元/千

克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选

择收益较好的方案.

(参考数据：225X0.05+275×0.16+325×0.24+375×0.3+425X0.2+475X0.05=354.5)

7

【答案】(1)记；

(2)选择方案2,理由见解析.

【解析】

【分析】

(I)求由质量落在［250,300),［300,350)的脐橙频率比，确定分层抽样落在［250,300)有2

个，质量落在［300,350)有3个，利用超几何分布的概率公式求出2个脐橙质量至少有一个

小于300克的概率；(2)计算出这IOO个脐橙的平均质量，从而计算出A方案的收益，再

根据频率求出低于350克的脐橙个数和不低于350克的脐橙个数，求出方案B的收益，比

较得到结论.

(I)质量落在［250,300),［300,350)的脐橙的频率分别为0.0032×50=0.16,0.0048×50=0.24,

其中0.16:0.24=2:3,

所以用分层抽样的方法抽取的5个脐橙中，质量落在［250,300)有2个，质量落在［300,350)

有3个，则从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为

C；C；+G_7

—--To

(2)设这100个脐橙的平均质量为1,则

x=(225×0.001+275×0.0032+325×0.0048+375X0.006+425X0.004+475×0.∞l)×50=354.5

A方案：设收益为",则憎=IOoooOX354.5x0.007=2.4815*105(元)：

B方案:设收益为W2，以频率代表概率,

则低于350克的脐橙个数为(().001+0.0032+0.0048)x50xl(XXXX)=45(XX),

不低于350克的脐橙个数为(0.006+0.004+0.001)*50x100000=55000,

所以叫=45000X2+55000×3=255000

因为“<叱，所以该村选择收益较好的方案B.

9.(河南省开封市部分学校2022届高考考前押题文科数学试题)2022年2月20日，北京

冬奥会在国家体育场"鸟巢”落下帷幕，中国代表团创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办

推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.某学校组织了一次冰雪

运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩分成［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］(成绩均在区间［50,100］上)共五组并制成如下频率分布直方

图.学校决定对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶.

(1)试求参赛学生成绩的众数及受奖励的分数线的估计值；

(2)从受奖励的15名学生中按上述成绩分组并利用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人,

试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率.

【答案】(1)众数为75,受奖励分数的估计值为85

⑵I

【分析】

(I)根据频率分布直方图众数求法，可得众数；先求得成绩在［90,100］的人数，分析可得

受奖励分数线在［80,90)内，且设为X,根据题意，列出方程，即可得答案.

(2)由⑴可得成绩在［85,90)的人数为9,成绩在［90,100］的人数为6,利用分层抽样,

分别求得两层人数，且记作A，&，4，B,,B2,分别列出总可能情况和满足条件情况，

根据古典概型概率公式，即可得答案.

(I)

由频率分布直方图估计众数为75,

竞赛成绩在［90,100］的人数为0.006χIOxIOO=6,

竞赛成绩在［80,90）的人数为0.018x10x100=18,故受奖励分数线在［80,90）内.

设受奖励分数为X,则（90-x）x0∙018+0.006χl0=0.15,

解得x=85,故受奖励分数的估计值为85.

（2）

由（1）知，受奖励的15人，成绩在［85,90）的人数为9,成绩在［90,100］的人数为6,

利用分层抽样，UJ知成绩在［85,90）的抽取3人，记作A，4,A3,成绩在［90,100］的抽取2

人，记作用，B2,

现从这5人中抽取2人,所有的可能情况有（A,4）,（A，可），（44）,（4，员），（4,4），

（）B）,（）（闯,（，）共种,

4,4,（A2,2Λ,B1,A4510

满足条件的情况有（4,4），（4也）,（4，4），（4，员），（4,线），（4也）共6种,

故所求的概率为P=郎=|.

10.（山东省日照市2022届高三下学期5月校际联合考试（三模）数学试题）《黄帝内经》

中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相

关数据表明，入睡时间越晚，深度睡眠时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，

对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：

组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比

I[0,51)0.1%9.2%

2[51,66)11.1%47.4%

3[66,76)34.6%31.6%

4[76,90)48.6%11.8%

5[90,l∞]5.6%0.0%

注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群.

（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别

在第几组？

（2）据统计，睡眠指数得分在区间［76,90）内的人群中，早睡人群约占80%.从睡眠指数得分

在区间［76,90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的

分布列与数学期望E（X）.

【答案】(1)分别在第3组，第2组

12

(2)分布列见解析，E(X)=y

【分析】

(1)根据百分位数的定义，结合题意给的表格与数据直接得出结果：

(2)利用二项分布求概率公式分别求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3),

进而列出分布列，结合数学期望的计算公式计算即可.

(1)

早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，

晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.

(2)

X的所有可能取值为0，1,2,3.

p(x=。)=嘿J©唱，P(XT=嘿)'(步哉，

P(x=2)=咱图噎,P(X=3)=G削J喂,

所以随机变量X的分布列为：

X1234

1124864

P

125125125125

所以随机变量X的数学期望为

E(X)=Ox」-+IX旦+2x曳+3χ史=12

I7125125125125T

U.(河南省许平汝联盟2021-2022学年高三下学期核心模拟卷(中)文科数学(三)试题)

2021年10月1日是中华人民共和国成立72周年.某校举行了爱国知识竞赛，为了解本次竞

赛成绩情况，随机抽取了100名学生的成绩(满分100分，最低分不低于50分)进行统计,

得出频率分布直方图如图所示：

（1）求实数，〃的值，并估计这IOO名学生的成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作

代表）；

⑵若用分层抽样的方法在［70,80）,［80,90）,［90,100］这三组中抽取6人担任爱国知识宣传

员，再从这6人中随机选出2人负责整理爱国知识相关材料，求这2人中至少有1人来自

［80,90）组的概率.

【答案】（1）加=0.014,平均数是84.2分；

⑵I

【分析】

（1）利用直方图的性质及平均数的求法即得；

（2）利用分层抽样的概念及古典概型的概率公式即得.

（I）

由题意知，（0.004+0.012+m+0.028+0.042）xl0=l,

解得加=0.014,

Λx=0.04×55+0.12×65+0.14×75+0.28×85+0.42×95=84.2（分）.

估计这100名学生的成绩的平均数是84.2分.

（2）

由题知［70,80）组有IOOXO.14=14人，［80,90）组有IooXO.28=28人，［90,100］组有

l∞×0.42=42Λ,

利用分层抽样抽取6名学生,则在［70,80）,［80,90）,［90,100］组中抽取的人数分别为:

⅛xl4=lλ>色x28=2人，色x42=3人,

8484

即在［70,80）,［80,90）,［90,100］组中抽取的人数分别为1人、2人、3人,

记［70,80）组的1位同学为A,［80,90）组的2位同学为用、B2,［90,100］组的3位同学为G、

则从6位同学中抽2位同学有(A,q)，(A,为)，(Ac),(A,G),(Ag),(β,,C,),

(BI,B2),

(B-C),O,),(β,C),(BC),(CC),(CC),(C,C),共15种可

12(BPC3),22v3p2p323

能，

其中［80,90)组中至少有1人入选的有(ABJ,(AB2),(B1,B2),(Bl,C,),(β,,C2),(β,,C3),

(B2,C,),(B2,C2),(B2,C,),共9种,

Q7

所以这2人中至少有1人来自［80,90)组的概率为P=V=I

12.(贵州省普通高等学校招生2022届高三适应性测试数学(文)试题)北京冬奥会期间,

志愿者团队“∕¾∕dCas/从所有参加冬奥会的运动健儿中分别抽取男女运动员各100人的年

龄进行统计分析(抽取的运动员年龄均在区间［16,40］内)，经统计得出女运动员的年龄频

率分布直方图(图1)和男运动员的年龄扇形分布图(图2).回答下列问题：

10%10%

■[16,20)

S[20,24)

30%□[24,28)

@[28,32)

□[32,36)

目[36,40)

20%

图2

⑴求图1中的α值；

(2)利用图2,估计参赛男运动员的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(3)用分层抽样方法在年龄区间为［16,24)周岁的女运动员中抽取5人，男运动员中抽取4

人；记这9人中年龄区间在［20,24)周岁的运动员有〃?人，再从这，"人中抽取2人，求这

2人是异性的概率.

【答案】(I)0.0500

(2)26.8周岁

⑶I

【分析】

(I)由各组的频率和为1,列方程可求出。的值，

(2)直接利用平均数公式求解即可，

(3)先由题意结合分层抽样的定义求出加=6,然后利用列举法求解概率

(1)

依题意，4(t∕+0.0750+0.0750+0.0250÷0.0125+0.0125)=1,

解得α=0.0500.

(2)

用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，由图2可知：年龄区间为[16,20),[20,

24),[24,28),[28,32),[32,36),[36,40]的频率分别为：0.1,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1

所以参赛男运动员的平均年龄估值为：

18x0.1+22x0.3+26x0.2+30x0.2+34x0.1+38x0.1=26.8

即男运动员的平均年龄估值为26.8周岁.

(3)

由图1可知；年龄区间为[16,20)周岁的女运动员有0.05x4x100=20人，年龄区间为[20,

24)周岁的女运动员有0.0750x4x100=30人，

由图2可知：年龄区间为[16,20)和[20,24)周岁的男运动员分别有10人和30人，

故用分层抽样女运动员年龄在区间[16,20)和[20,24)应分别抽取2人和3人，男运动员

年龄在区间[16,20)和[20,24)应分别抽取1人和3人.

所以抽取的9人中年龄在[20,24)的有6人，故,”=6

记这6人中年龄在[20,24)周岁的3名女运动员分别为α,b,c,3名男运动员分别为1,2,

3,从6人中抽取2人的基本事件如下：

(a,b),(«>c),(a,I),(“，2),(a,3),(⅛,c),(b,I),(b,2),(⅛,3),(c,I),

(c,2),(c,3),(1,2),(1,3),(2,3),共15种.

记抽取2人是异性的事件为A,事件4包含基本事件有：

(a,1),(«,2),(α,3),(.b,1),(⅛,2),(⅛,3),(c,1),(c,2),(c,3)共9种所

Q3

以P(A)=W=M

13.(江西省上饶市六校2022届高三第二次联考数学(文)试题)在迎接2022年北京冬季

奥运会期间，某校开展了“冰雪答题王"冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学

生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

⑴求4的值；

（2）从比赛成绩在［50,60）和［80,90）两个分数段内按照分层抽样随机抽取7名学生，再从这7

名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生恰好来自不同分数段的概率.

【答案】（l）α=0.025

⑵史

21

【分析】

（1）利用频率和为1可直接求得结果；

（2）根据分层抽样原则可确定［50,60）中应抽取2人，［80,90）中应抽取5人；列举出7名学

生中随机抽取两名学生所有的基本事件和两名学生恰好来自不同分数段的基本事件，由古典

概型概率公式可得结果.

（1）（0.∞5+0.010+0.020+0.030+（a+0.010）×10=l,.∙.a=0.025.

（2）比赛成绩在［50,60）和［80,90）的频率之比为0.1:0.25=2:5,

二［50,60）中应抽取2人，记为A&［80,90）中应抽取5人，记为。也c,d,e；

从7名学生中随机抽取两名学生有：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Be,Bd,

Be,ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共21个基本事件：

其中两名学生恰好来自不同分数段的情况有Aα,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Be,Bd,

Be,共10个基本事件；

两名学生恰好来自不同分数段的概率P=郎.

14.（广西柳州市2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题）某政府部门为促进党风建

设,拟对政府部门的服务质量进行量化考核,每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分,

最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下

几组：第一组［o,20),第二组［20,40),第三组［40,60),第四组［60,80),第五组［80,100］,

得到频率分布直方图如图所示.

鲜

0.0175

0.0150

0.0125

0.0100

0.0075

0.0050

0.0025

20406080IOO分数

⑴估计所打分数的众数，平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

⑵该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之

后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.

【答案】(1)众数为70,平均数为65；

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图与众数、平均数的计算方法依次计算即可；

(2)先求出6人中第一、二组抽到的人数，求出样本空间的样本点个数和事件“2人来自不同

的组”包含的样本点个数，代入概率公式计算即可.

(1)

由频率分布直方图可知，

义=

众数为70

2

5个组的频率分别为005,0.1,0.2,0.35,0.3,

所以平均数为

10×0.05+30×0.1+50×0.2+70×0.35+90×0.3=65：

(2)

由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.1,

则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人，

所以按分层抽样的方法抽到的6人中，

第一组抽2人，记为八的；第二组抽4人，记为伉、瓦、4、仇,

则Ω={α,02,aibi,axb2,alb3,a^,a2bl,a2b2,a2bi,a2b4,blb2,blbi,他，她，她，她}，

设事件A为抽到的2人来着不同的组，

则A=[albt,aib2,atb,,aib4,a2bl,a2b2,a2b3,a2b4],所以P(A)=—.

15.（2022.陕西.西安市临潼区铁路中学高一期末）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，

各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取

一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生

660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的

高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.

分组频数频率

[6,6.5)50.10

[6.5,7)80.16

[7,7.5)X0.14

[7.5,8)12y

[8,8.5)100.20

[8.5,9]z

合计501

（1）求该校学生总数及频率分布表中实数无，V,z的值；

（2）已知日睡眠时间在区间［6,6.5）的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2

人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.

【答案】（1）1800人，X=7,y=0.24,z=8

（2）1

【分析】

150150-50-45

（1）设该校学生总数为"，根据题意由求解;

n660

（2）利用古典概型的概率求解.

（ɪ）

解：设该校学生总数为〃,

,,...150150-50-45

由题0r意解得〃=1800,

，该校学生总数为18（）（）人.

x7

由题意为=0∙14,解得χ=7,y=点=0.24,

z=50-（5-8-x-12-10）=8.

（2）

记”选中的2人恰好为一男一女”为事件A,

记5名高二学生中女生为斗心，男生为M∣,Λ√2,M3,

从中任选2人有以下情况：（耳,Eb（M,Mj,（耳,％）（片,%），（6，必），（乙，区），（凡，％），

（M，M）,（M，M），（M，M）,基本事件共有10个，

其中事件A包含的基本事件有6个，

所以选中的2人恰好为一男一女的概率为

16∙（2022∙江苏常州.高一期末）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问

50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其

中样本数据分组区间［40,50）,［50,60）...........［80,90）、［90,100］.

频率

0.028

0.022

0.018

O405060708090100分数

（1）求频率分布直方图中。的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；

（2）从评分在［40,60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在［50,60）的概率；

（3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点

的值作代表）

【答案］⑴”0.006,概率为0.68.

(3)76.2

【解析】

【分析】

（I）利用频率之和为1列出方程，求出α=0.006,并计算出不低于70分的频率作为概率

的估计值；（2）利用列举法求解古典概型的概率；（3）同一组中的数据以这组数据的中间值

作代表计算出平均数.

(1)

由题意得:10(0.(X)4+a+0.022+0.028+0.022+0.018)=1,

解得：α=0.006,

由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为0.28+0.22+0.18=0.68,

因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68.

(2)

评分在［40,50)的人数为2人，设为A,B,在［50,60)的人数为3人，'设为a,b,c,

从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件，

分别为(AB),(A,a),(A,b),(4,c),(B,α),(B,b),(B,c),(O,b),(q,c),(b,c),

记事件A为“2人评分都在［50,60)”，A包含3个基本事件，分别为(α,6),(a,c),0,C),

所以P(A)端,

因此2人评分都在［50,60)的概率为2.

(3)

这50名学生对个性化作业评分的平均数为：

45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2.

17.(2022•江苏省江浦高级中学高一期末)为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织

了高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩(总分