中考数学必背知识手册锐角三角函数（公式、定理、结论图表）

知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）

、思维导图

r、知识梳理：

考点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,ZA所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也叫做NB的邻边,

NB所对的边AC记为b,叫做/B的对边，也是/A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

/朗勺对边a

锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记作sinA,即SinA

斜边=1

/解］邻边b

锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作CoSA,即COSA=

斜边

锐角A的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA,即tanA=幺乌=q.

/瑚邻边b

I=Ilffl•°/期对边bDNB的邻边adNB的对边b

同理SmB=-----=-；cosB=—―V—=—;tanB=

斜z边C斜边CNB的邻边a

要点诠释：

⑴正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比

值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

（2）sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成C。$•力，

tan*A,不能理解成Sin与/A,COS与NA,tan与NA的乘积.书写时习惯上省略NA的角的记号“N”，

但对三个大写字母表示成的角（如NAEF）,其正切应写成“tan/AEF"，不能写成“tanAEF"：另外，（Sm4/、

（cos/尸、（tan4）2常写成sin'4、CoSJ力、tan，A.

⑶任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

（4）由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<ZA<90o之间变化时，0<sm1<l,0<COS√1<1>tanA>O.

典例1：（2022•扬州）在Z∖48C中,ZC=90o,a、b、C分别为/4、N8、NC的对边,若例=αc,则Sig

的值为近二L.

-2—

【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可.

【解答】解：在ANBC中，∕C=90°,

Λc2=a2+ft2,

・“2=",

.22.

・・c-a+αc,

等式两边同时除以IC得:

S=A÷ι,

ac

令3∙=x,则有工="1,

CX

∙.x2+x-1=0,

解得：X]=近二1,X2=土叵（舍去），

22

当X=近二！时，x≠0,

2

.∙.χ=返二工是原分式方程的解，

2

sinJ=包=在1-1..

C2

故答案为：近二L

2

【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键.

考点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：

0o30°45°60°90o

三角函鼠

ɪ√2

sinQ01

~22

√3√2J_

cosa10

222

√3

tana01√3不存在

3

要点诠释：

（1）通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：

如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若Sme=立，则锐角6=45..

2

（2）仔细研究表中数值的规律会发现：

Sin0°、汕如、sin45s`sin60o'sin90°的值依次为0、、1,而CoS0°、CO$300、

222

cos450'cos6T、COS90°的值的顺序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律

可以总结为：

当角度在0°<ZA<90o之间变化时，

①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）

②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.

典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）

A.2B.1C.亚D.亚

23

【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：tan45°的值等于1,

故选：B.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

考点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在RtZXABC中，ZC=90o.

BC

⑴互余关系.Gnj=Co式90°-Z4)=cos6,cosA=sιn(9Q*-ZΛ)-SinB.

(2)平方关系：Sinj½+COSj^4=1；

1

⑶倒数关系：tan∕τan(9b∙4)=］或tan力=益了；

tan√4=-------

⑷商数关系:cos√4.

要点诠释:

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算

时巧用这些关系式可使运算简便.

考点四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在RtAABC中，∕C=90°,ZA./B、/C所对的边分别为a、b、c,则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

②锐角之间的关系：NA+NB=90°.

③边角之间的关系：

SlnH=—COSH=-tanH=

._ba_b

sιn8=-COSHn=-tanH=一

c,c,a.

ell,

=一独l=-Cn

@22,h为斜边上的高.

要点诠释:

⑴直角三角形中有一个元素为定值（直角为90°）,是已知的值.

⑵这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.

⑶对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

考点五、解直角三角形的常见类型及解法

和解法

三角形类铲已知条件解法步骤

由tanA=2求NA,

b

两直角边（a,b）ZB=90o-ZA,

c=+3

两

边由SInJ4=2求NA,

c

斜边，一直角边（如c,a）ZB=90o-ZA,

RtAABC

Bb=

ZB=90o-ZA,

锐角、邻边

b

（如NA,b）

A乙-----------------1Ca-btanAcos>4

o一直角边f

和一锐角

边NB=90°-ZA,

锐角、对边

a,a

（如∕A,a）c=——b=--------

sinA,tanA

角

ZB=90o-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

α=csιrM,b=ccos√4

要点诠释:

1.在遇到解直角三角形的实际问题时∙，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是

已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

典例3：(2022•丹东)如图，N8是OO的直径，点E在G)O上，连接NE和8E,BC平分N4BE交G)O于

点C,过点C作CDJLSE,交BE的延长线于点。，连接CE.

(1)请判断直线S与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若SinNECQ=3,CE=5,求。。的半径.

5

【分析】(1)结论：8是。。的切线，证明OCLS即可；

(2)设。∕=OC=r,设NE交OC于点/证明四边形COEJ是矩形，推出CD=E/=4,CJ=DE=3,

再利用勾股定理构建方程求解.

【解答】解：(1)结论：CO是。。的切线.

理由：连接OU

YOC=OB,

：.NoCB=NOBC,

；BC平分N4BD,

：.NOBC=/CBE,

"OCB=NCBE,

.∖OC∕∕BD,

'：CDlBD,

：.CDLOC,

=OC是半径，

.∙.CD是。。的切线：

(2)设O∕=OC=r,设/E交OC于点/

•；AB是直径，

.β.ZAEB=90o,

VOC±Z)C,CDlDB,

ΛZD=ZDCJ=ZDEJ=90°,

・•・四边形CQ£/是矩形，

ΛZC∕E=90o,CD=EJ,CJ=DE,

.'.OClAEf

LAJ=EJ,

YsinNECD=迈=旦，CE=5,

CE5

:∙DE=3,CQ=4,

：.AJ=EJ=CD=4,CJ=DE=3,

在RtAV。中,r2=(r-3)2+42,

・L25

6

二。。的半径为空.

6

【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型

考点六、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化

归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几

何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问

题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

⑴坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母&表示.

i=⅛=tana

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离’的比叫做坡度，用字母］表示，则I,如图,

坡度通常写成J=A:/的形式.

在水平线下方的叫做俯角,

如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向

PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

①

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标

方向线OA,OB,0C,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：

东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是

北偏西45°∙

要点诠释：

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画

出它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

例如:

3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图,

进而根据条件选择合适的方法求解.

典例4：(2022•黑龙江)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5：12的山坡上走1300

米，此时小明看山顶的角度为60°,山高为()米

A.600-250√5B.600√3-250C.350+350我D.500√3

【分析】设EF=5x米，根据坡度的概念用X表示出8凡根据勾股定理求出X,根据正切的定义列出方

程，解方程得到答案.

【解答】解：设EF=5x米，

；斜坡BE的坡度为5：12,

即=⑵米，

由勾股定理得：(5x)2+(IZv)2=(1300)2,

解得：x=100,

则EF=500米，BF=1200米,

由题意可知，四边形。CFE为矩形,

.∙.OC=EF=500米，DE=CF,

在Rt△/£>E中，tanN∕EO=9，

DE

则DE=―坦k=近/。，

tan603

在RtZ∖∕C8中，tan/NBC=

BC

.500+AD

解得：^D=600√3-750,

山高NC=NZ)+OC=600√^-750+500=(600√3-250)米,

故选：B.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高

典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物Z点处测得乙建筑物。点的俯角α为45°,

C点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6加，则甲建筑物的高

度AB为16m.

(sin5804≈0.85,cos58o≡≡0.53,tan580F.60,结果保留整数).

【分析】过点。作。EL48于点E,W∣JBE=CD=6m,ZADE=45o,ZACB=58°,在Rt中,

NADE=45°,'&AE=xm,则。E=X邛，BC=xm,AB=AE+BE=（6+.r）m,在RtZ∖48C中，IanZACB

=tan58o=姻•旦邑-1.60,解得X=I0,进而可得出答案.

BCX

【解答】解：过点。作DEL力8于点E,如图.

则5E=8=6w,ZADE^450,N4C8=58°,

在Rt△/£>E中，∕ZOE=45°,

设/E=XM,贝∣Jf>E=xm,

：.BC=XnI,AB=AE+BE=（6÷x）〃?，

在RtZ∖4BC中，

tanZ∕4C5=tan58°=胆«1.60,

BCX

解得X=I0,

.∖AB=∖6ιn.

故答案为：16.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键

典例6：（2022∙资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道45进行实地测量.如图

所示，他在地面上点C处测得隧道一端点Z在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100JE米后到达

点。，此时测得点力在他的东北方向上，端点8在他的北偏西60°方向上，（点/、B、C、。在同一平面

内）

（1）求点。与点力的距离；

（2）求隧道N8的长度.（结果保留根号）

BA

D∖<ς<<~J

弋邠

C∣

【分析】⑴根据方位角图，易知4CZ)=60°,∕ZDC=90°,解Rt△/£)C即可求解；

(2)过点。作3E_L/18于点E.分别解Rt△/£)£：,RtZ∖8OE求出/E和8E,即可求出隧道/8的长.

【解答】解；(1)由题意可知：∕ZCO=15°+45°=60°,N49C=180°-45°-45°=90°,

在Rt△/£>C中，

AD=DC×tanZACD=10C√3×tan60°=100√3×√3=300(米)，

答：点D与点A的距离为300米.

(2)过点。作。EL/I8于点E,

ΛZADE=45°，ZBDE=60°,

在Rt△/£>£：中，

ΛDE=AE=AD×sinZADE=300×sin45°=300>^y-=150√2(米)，

在RtABDE中，

∙∙.BE=DE×tanZBDE=15C√2×tan60°=150√2×√3=150√6(米)，

AAB=AE+BE=(150√2+150√6)(米)，

答：隧道/8的长为(150√^+150√^)米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值

是解题的关键.

考点七、解直角三角形相关的知识

如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2-,

⑵两锐角之间的关系：ZA+ZB=90o；

⑶边与角之间的关系：sinA=cosB=-,cosA=cosB=-,cosA=sinB=-,

ccc

,a1

tanA=—=------.

btanB

(4)如图，若直角三角形ABe中，CDLAB于点D,设CD=h,AD=q,DB=p,则

由4CBDSI∆ABC,得a?=pc；

由^CADS