广西壮族自治区2022-2023学年高一年级下册开学考试数学试题（含解析）

广西壮族自治区2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题

（含解析）

一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合Z={x∣3≤x<5},集合8={x∣4<x<6},则4∩8=()

A.(3,6)B.[3,6)C.（4,句D.（4,5）

X2+L%≥0Ez•/八

2.已知函数/（X）=[f(x+3),x<。’则"T=()

A.5B.3C.2D.

3.cos24ocos36o-sin24ocos54o=()

_1_

A.cos120B.-cos120C.D.

2

4.己知"log??,bɪ2^0-4,C=0.52∙I,则“，b,C的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

5.果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度〃与其采摘后时间六天）

满足的函数关系式为〃=若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为5%,采摘后10天,

这种水果失去的新鲜度为10%.则采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是（）后

A.第12天B.第13天C.第15天D.第18天

6.已知函数/（x）=2sin（ox+e）［0>O,∣s∣<5）其图象与直线V=I的相邻两个交点的距离

分别为。和与，若/（T=1，则°的值为（）

ππππ

A.7B.7c.TD.^3

7.函数N=InH-e1的部分图象是（）

8.定义在R上的奇函数/U),在(-叱0)上单调递增，且/⑴=0,则满足切(X-1)20的X的

取值范围是()

A.[-l,0]U[l,2]B.(-∞,l]u[2,+∞)

C.[-l,l]u[3,÷^)D.[-l,l]∪[2,+∞)

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某同学用二分法求函数/(x)=2'+3x-7的零点时，计算出如下结果：/(1.5)≈0.33,

/(1.25)≈-0.87,ʃ(l.375)≈-0.28,/(1.4375)≈0.02,/(1.40625)^-0.13.下列说法正确

的有()

A./(x)的零点在区间(1.375,1.40625)内B∙/(x)的零点在区间(1.25,1.4375)内

C.精确到0.1的近似值为1.4D.精确到0.1的近似值为1.5

10.已知函数/(x)=M的图象经过点(3,2),则()

A./(x)的图象经过点(2,4)B./(x)的图象关于原点对称

C.f(x)在(0,+oo)上单调递增D.f(%)在(0,+oo)内的值域为(0,+oo)

11.以下说法正确的有()

A.实数χ>y>o是成立的充要条件

Xʃ

B.H≤(q)对a,3€A恒成立

C.命题FX∈R,使得f+χ+ι≥o”的否定是“Vx∈R,使得f+χ+ι<0"

21ʌ

D.若一+—=Lx>Oj>O,则x+2y的最小值是8

Xy

则cos(£+?J的可能值为(

12.已知sin(α-P)COSQ-cos(α-P)Sina=一,)

A.一迪_V2

B.

1010

√27√2

rD.

10lo^

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=Jl-Iog2X的定义域为

14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题,

如图所示，弧田是由弧ZB和弦43所围成的图中阴影部分•若弧田所在圆的半径为1,圆心

角为胃，则此弧田的面积为.

15.若TXoe(O,+B),zlx>$+i，，是假命题，则实数4的取值范围是.

-X2—2x÷l,x≤0、

16.已知函数/(x)=II,方程/(z')=Q有四个不同的解不，巧，不，匕，

∣lθgθ,54X>U

Z\16

⅛xl<x2<x,<x4,贝1JX4，(X|+X2)+-----T的最大值是______.

¾∙χ4

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

及演算步骤.

17.已知函数/(χ)=∕-l(a>0,且"1)满足/⑴+/(2)=-]∙

9

⑴求”的值；

⑵解不等式/(力>2.

TT4

18.已知一<α<π,sina=—.

25

⑴求Sin

(2)若角β的终边上有一点P(7,1),求tan(α+2/?).

19.某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1

米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底

面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为X米，写出泳池的总造价/(x),

问泳池的长为多少米时，可使总造价/(x)最低，并求出泳池的最低造价.

X

20.已知/(x)=2+log3X,x∈[l,9],g(x)=(∕(x))2+/(d).

(1)求g(x)的定义域；

(2)求g(x)的最大值以及g(x)取得最大值时X的值.

21∙设函数/(χ)是定义在R上的增函数，对于任意XjwR都有/(χ+y)=∕(χ)+G(y).

⑴证明/(χ)是奇函数；

⑵解不等式?(χ2)-∕(x)>“(3x)∙

22.已知函数/(x)=4Sin与cos∙ψ+l,其中常数3>0.

Jr3τr

(l)y=∕(χ)在号上单调递增，求⑷的取值范围；

⑵若。<4,将函数y=∕(x)图象向左平移W个单位,得到函数y=g(x)的图象,且过PeI)

若函数g(x)在区间[α,可(。，SR且“<b)满足：y=g(x)在句上至少含30个零点,

在所有满足上述条件的可中，求b-α的最小值.

答案解析

1.D

【分析】根据交集的概念求解即可.

【详解】因为∕=[3,5),8=(4,6),

所以ZcB=(4,5),

故选：D.

2.A

【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代相应的对应关系

χ2

,,c/∖[+19^≥O

【详解】因为/X=八

l∕(x+3),x<n0

所以/(T)="2)=22+1=5

故选：A

3.D

【分析】由已知条件利用诱导公式，余弦的两角和差公式求解即可.

【详解】cos24ocos36°-sin24ocos54o

=cos24ocos36o-sin24osin36o

=cos(24o+36o)

=cos60

ɪ

=2,

故选：D.

4.C

【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数y=bg2%在(0,y)上单调递增，≡3>2,则α=log23>logz2=l,

6=2-O∙4=0.5OS函数N=O.5"在R上单调递减，0<0.4<2.1,则05/<0.5°,<0.5°=1，即

c<b<∖,

所以a,b,C的大小关系为c<b<α.

故选：C.

5.C

【分析】根据题设条件先求出〃?、a,从而得到力据此可求失去20%新鲜度对应

40

的时间.

5%=ma5

【详解】由题可得

10%=∕n∙α1°

a5=2

解得,1,

m=——

I40

故故/7='-・23,

a-z40

1L

由20%=」--25可得，1=15.

40

故选：C.

6.A

【分析】根据/(χ)的图象与直线F=I的相邻两个交点的距离可求出函数的周期，从而可求

出。的值，再根据/国=1,可求出夕=7.

【详解】因为/⑴的图象与直线V=I的相邻两个交点的距离分别为。和笄，

2π

所以其周期为",即时="，因为0>0，所以0=2,所以/(》)=2$皿2》+夕)，

又∕∏=1,所以sin(彳→s)=:,又∣9∣若，所以0=a.

故选：A.

7.B

【分析】判断函数的奇偶性，可排除A,C;判断函数在(0,+8)上的单调性，可排除D,由此

可得答案.

【详解】Vex-e^x≠0,/.X≠-X,.∙.xeR,且XW0.

令G(X)=In卜X-e-1(x∈R,⅛x≠0),

则G(-X)=In卜T-ex∣=ln∣eγ-e^γ∣,.,.G(T)=G(X),

G(X)=InH-e1为偶函数，

其图象关于y轴对称,故排除A,C;

令H(X)=e'-eτ(x>θ),函数"(x)=e*-[在区间(0,+e)上单调递增，

e

二函数y=In∣e-r-e-v∣在区间(0,+8)上单调递增，排除D,

故选:B.

8.B

【分析】由题意可得/'(0)=0,/(-D=O,/(x)在(0,+∞)递增，分别讨论X=O,X=I,x>l,

O<x<l,x<0,结合/(x)的单调性，可得X的范围.

【详解】函数/(X)是定义在R上的奇函数，在区间(-8,0)上单调递增，且/(1)=0,

可得/(0)=0,/(-1)=0,/(X)在(O,E)递增，

若X=O时，若(X-I)…。成立;若X=I,则力(X-I)...0成立；

若x>l,即x-l>O,可得/(χ-l)…O=/(1),即有X-L..1,可得x..2；

若x<0,则x-l<O,/(x-11,0=/(-1),可得X-L-1,解得x<0；

若O<x<l,则x-l<O,/(x-l)...O=/(-l),可得X-L..-1,解得O<x<l.

综上可得，X的取值范围是(Y>,U∪[2,+∞).

故选：B.

9.BC

【分析】根据二分法基本原理判断即可.

【详解】解：易知/(x)是增函数，因为/(1.375)"-0.28<0,/(1.4375)≈0.02>0,所以零

点在(1.375,1.4375)内，所以A错误，B正确，

又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4,所以C正确，D错误.

故选：BC.

10.BD

【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据募函数的性质判断.

【详解】将点(别的坐标代入/(x)=x°,可得α=T,则/(X)=；,/(x)的图象不经过

点(2,4),A错误./(x)在(0,+8)上单调递减，C错误.根据反比例函数的图象与性质可得B,

D正确.

故选：BD.

H.BCD

【分析】利用不等式的性质及充分条件必要条件的定义可判断A,根据不等式的性质，可判

断B,由特称命题的否定可判断C,由基本不等式可判断D.

【详解】对A：由实数x>y>0可推出一，而由一推不出x>y>0,如x<0,y>0,

XyXy

故实数X>y>0是L<工成立的充分不必要条件，故错误；

Xy

对B：由M≤(-[,可得/+/≥2M即(4-6)220,对α,SR恒成立，故正确；

对C：命题“*eR,使得f+x+iwo”的否定是“VxeR,使得f+χ+ι<o"

故正确;

对D：∖*2+Ll,x>0,y>0,二x+2y=(x+2y)(Z+口=4+包+±24+2J肛d=8,

XyIXy)XyNXy

4vX

当且仅当-L=一即x=4∕=2时取等号，故正确.

Xy

故选：BCD.

12.BD

【分析】根据两角差的正弦公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.

3

【详解】因为sin(α-夕)cosα-cos(α-∕)sinα=丁

333

所以sin(α-β-a)=-=>sin(-/?)=-=>siny?=,

所以当S在第三象限时，有CoS夕=一Jl一sin2夕=一J-K=--，

所以cos!β-3f*-I=cosβcosπ--sinβsin-π^=

k4)44525210

当β在第四象限时，有cosβ=JI-Sin2=_9__4

25~5

fJT∖IπTTπT4√23√27√2

所以CoS/7+-=cosβcos----sin/Jsin-=—X-----1——×=--------

V4J4444525210

故选：BD

13.(0,2]

【分析】根据定义域的求法：/α)=^J(g(x)≥0)(〃为偶数)、

/(x)TOgag3(g(x)>0)∙

fx>Ofx>O

【详解】由题意得II、八n∖∕°nθ<x42

[l-log2x≥0[0<x≤2

常见函数定义域的求法：

/(X)=Vg(X)(g(x)20)(〃为偶数)

/(x)=logug(x)(g(x)>0)

需So)

14.7L-Jl

34

【分析】根据题意所求面积为+a5=S倒-邑“加，再根据扇形和三角形面积公式，进行求解即

可.

【详解】易知小。8为等腰三角形，腰长为1,底角为看，∣∕8∣=√L

所以SMO8=1∣∕B∣∙p川sin/=ʃ'

Z64

弧田的面积即图中阴影部分面积，根据扇形面积及三角形面积可得：

所以S阴影=%-SMOB=3•夸•,一¥=A

故答案为.工-3

34

15.2<2；

【分析1利用命题为假命题，得到其命题得否定为真命题，即χ2-4χ+i20在Xe(O,+8)上

恒成立，分离参数，利用基本题不等式求出最小值，即可得出结论.

【详解】∙.∙-3xo∈(O,+∞),为c>f+ι”是假命题,

/.Vx∈(0,÷∞),x2+1≥Λx,为真命题,

即44X+L在Xe(O,+8)上恒成立，

X

当Xe(O,+8)时，X+-!->2,当且仅当x=l时，等号成立，

X

所以2≤2.

故答案为.2≤2

本题考查由存在性命题的真假求参数的取值范围，利用等价转换思想，转化恒成立问题，应

用基本不等式求最值是解题的关键，考查的是计算能力，是中档题.

16.4

【分析】画出/(x)的图象，数形结合分析参数。的的取值范围，再根据对称性与函数的解析

/、16

式判断4/小3/4中的定量关系化简X4∙(X+X2)+-----7，再求最值即可.

“3**4

-x2~2x+l,x≤O

【详解】画出“X)=卜,的图象：

,∣⅝o,5MX>0n

因为方程/(x)=α有四个不同的解A，X3，匕，

故/(x)的图象与N=α有四个不同的交点,

由图，/(0)=1,/(-1)=2,故α的取值范围是[1,2).

由图可知，^^=-1=>XI+X2=-2,

l

lɪθgo.sX3∣=lɪθgo.s%|，故Iog05匕=-l0g心Zn‰(¾)=θ>故g=L

\16CI6

z+

故工4，(王÷X2)7^^T=-25+-.

工3∙X4X4

又当α=l时，-Iog05X4=1=>x4=2.

当α=2时，-Iog05x4=2=>X4=4,故匕42,4).

又了=-2乙+一在x,e[2,4)时为减函数，

X4

故当七=2时，了=-2乙+3取最大值为ax=-2X2+；=4.

X42

故4.

17.(1)|

⑵{χ∣χ<-l}

【分析】(1)根据/(X)解析式及题中所给数据，代入即可得。值

(2)由(1)可得/(χ)解析式，代入不等式，根据指数的运算性质即单调性，即可得答案.

【详解】(1)因为〃1)+/(2)=-?

9

、1414

所以〃一1+/一1=一彳，整理得9/+9々一4=0,解得或。=一§(舍)

(2)由(1)可得/"(χ)=d-1,

所以/(x)>2,即为(；)-1>2,整理可得3一>3,

因为y=3，为单调递增函数，

所以一x>l,解得x<-l,

所以不等式/(x)>2的解集为{x∣x<T}

18.(1)4+3G

10

(2)-1

4

【分析】(1)由条件求得cosα,将所求式展开计算

(2)由条件求得tana与tan力，再由二倍角与两角和的正切公式计算

4π,3

【详解】(1)Sina=W一<α<π,贝m(lJcosɑ=一一

25

4+36

10

(2)••・角夕终边上一点P(7,l),.∙.tan∕?=]

2tanβ_7

贝IJtan2/3=

l-tan2∕7^24

4

由(1)可得tana=--,

3

tan(a+2夕)=空些坦丝二

1-tanatan2β4

19./(x)=800×fx+-

+12000,(x∈(0,+8)),泳池的长设计为15米时，可使总造价最低,

最低总造价为36000元.

【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解.

【详解】因为泳池的长为X米，则宽为出米.

X

则总造价/(x)=400x(2x+2x—

+100×-+60×200(Λ∙∈(0,+∞)',

X

整理得至U∕(x)=800x∣x+^∙+12000≥1600×15+l2000=36000(x∈(O,+∞)),

当且仅当χ=15时等号成立.

故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元.

20.(1)[1,3]

(2)x=3时，函数g(x)取得最大值13

1<X<9

【分析】(1)要使g(x)有意义，必须满足，一^，解不等式即可得到g(x)的定义域.

1≤x≤9

(2)根据(1)中所求g(x)的定义域，将logs'看成整体求出其范围是0≤logs'G，然后

将g(x)看成关于IogjX的二次函数求出最大值即可.

【详解】(1)Y/U)的定义域为[L9],

l<x2<9

要使函数g(x)=(∕(x)2+Xχ2)有意义，必须满足,

l≤x≤9

Λl<x≤3,即g(x)的定义域为口,3].

(2)由/(x)=2+log3X得，

222

g(x)=(∕(X))+/(V)=(2+lo&X)+2+log√=(log，+6logx+<=(log3x+3)-3.

：g(x)的定义域为[1,3],即l≤x≤3,

/.0≤Iog3x<∖,

.∙.l0g3X=l时,即X=3时,函数g(x)取得最大值.

故g(x)n≡=g⑶=13.

21.(1)证明见解析

(2)(-∞,0)U(5,+∞)

【分析】(1)对χ,y赋值，利用奇函数的定义进行证明;

(2)先化简目标式为/(r)>∕(5x),结合函数单调性可求答案.

【详解】⑴证明:令χ=o,则由/(χ+y)=∕(χ)+∕(y),得/(y)="o)+∕(y),即/(0)=0；

令y=-χ,贝IJ由/(χ+y)=∕(χ)+∕(y),得/(o)=o=∕'(χ)+∕(-χ),

即得/(r)=-∕(χ),故/(χ)是奇函数.

(2)∣∕(X2)-∕(X)>^∕(3X),所以/(χ2)-2∕(x)>“3x),贝∣J/(f)>2∕(x)+/(3x),

即/(χ2)>∕(x)+∕(x)+∕(3x),

因为/(χ+y)=∕(χ)+/G)，

所以/(x)+∕(x)+∕'(3x)=∕(5x),所以/(χ2)>∕'(5x),

又因为函数/(X)是增函数，所以∕>5χ,所以x<0或x>5.

所以X的解集为(-∞,0)U(5,+8).

2

22.(l)O<(W≤y