数学三角函数公式大全

三角函数

1.①与a[0°<«<360°）终边相同的角的集合（角a与角万的终边重合）：物|尸=%x360°+/左ez}

②终边在无轴上的角的集合：物|/=kxl80°,kez}

③终边在y轴上的角的集合：{^|^=fcxl80°+90°,fcez）

④终边在坐标轴上的角的集合：物|尸=左x90。,左wz}

⑤终边在尸轴上的角的集合：物|/=左x180°+45°«ez}

⑥终边在y=—x轴上的角的集合：{m/=Lxl80°-45Fwz}1、2、3、4表示第一■、二、三

四象限一半所在区域

⑦假设角a与角£的终边关于了轴对称，那么角a与角6的关系：a=360°k-j3

⑧假设角a与角£的终边关于y轴对称，那么角a与角£的关系：a=360%+1800-J3

⑨假设角a与角£的终边在一条直线上，那么角a与角£的关系：a=18Q°k+/3

⑩角a与角尸的终边互相垂直，那么角a与角夕的关系：a=360%+>5±90°

2.角度与弧度的互换关系：360°=2乃180°=万1°=0.017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：lrad=M°-57.30°=57°18'.1°=三七0.01745〔rad）

n180

3、弧长公式：/=|。|.广扇形面积公式：s扇形=g⑷

正弦线：MP;余弦线：0M;正切线：AT.

7,三角函数的定义域:

三角函数定义域

f(x)=sinx{x|XG7?}

f(x)=cosx{x|XG2?}

f(x)=tanx|x£R且xwATF+；〃，左wZ；

8、同角三角函数的根本关系式：包吧.ana£2吧

cos。sina

tanacota=lcscasina=1secacosa=116.几个重要结论,

sin2cr+cos2a-1sec2a-tan2a=1esc2<2-cot2a=1

9、诱导公式：

把细土”的三角函数化为“的三角函数，概括为：

2

“奇变偶不变，符号看象限”

,171

(3)右ovx<2,则sinxvxdaxx

三角函数的公式：〔一）根本关系

公式组—

sinx•2.2i

siruv•cscx=1tanjv=sinx+cosJV=1

cosX

cosX22

COSJV•secx=lCOtJV=1+tanx=secjv

sinx

taruv•cotx=l1+cot2^=csc2jv

公式组二

+JV)=sinJV

+JV)=cosJV

tan(2Z^^z-+JV)=tanJV

cot〈21r+JV)=cotJV

公式组三

sin(—JV)=­sinx

cos(—JV)=cosx

tan(­x)=一tanJV

cot(-JV)=—cotX

公式组四

sin（R+JV）=——sinJV

cos(^z-+JV)=—COSJV

tan(>z-+=tan

cot(>z--4-=cot

公式组五

sin(27r—x)=一sinx

COS(2TT-x)=cosx

tan(2yr-x)=—tanx

cot(27r-x)=一cotx

公式组六

sin(7r—x)=sinx

COS(TT—x)=—cosx

tan(7r—x)=—tanx

COt(7T—x)=—cotx

(二)角与角之间的互换

公式组一公式组二

cos(a+0)=cosacos尸一sinasin/3sin%=2sinccosa

cos(6Z-p)=cosacos力+sinasin尸cos2a=cos2a-sm2a=2cos2。-1=1-2sin2。

c2tana

sin(6Z+f3)=sinacos0+cososin用tan2a=---------

I-tan2a

I-cosa

sin(a—p)—sinacos/7—cosasinf3siny=±.

2

/小tan。+tan£l+COSCK

tan(cr+')=------------cos—=±.

I—tantanp22

/小tan。一tan£a,l-C0S(7sin<71-COS6Z

tan(a-J3)=------------tan—=±.

I+tanatan.21+cosa1+cosdfsina

公式组三公式组四公式组五

casinacosP=—[sin(6/+〃)+sin(a-/7)]1、.

2tan—cos(^7r-cr)=sma

sina=--------cos6/sinP=；[sin(a+^)-sin(cr-^)]

1,2a

I+tan—.A、

2sm(—7i-a)=cosa

cosacos6=^-[cos(a+〃)+cos(a-£)]

12aZ1、

I-tan—tan(5»-a)=cota

sinasinP=--^-[cos((7+y^)-cos(6Z-^)]

cosa=--------

12a1、.

l+tan—a-\-Ba-Bcos^-^+cif)=-sina

2sina+sin尸=2sin-----cos------

22

a*a-B

a。.A、

rsina-sin/3=2cos-----sin------tan(—yr+cr)=-cota

2tan—22

tana=--------a+£a-0

acosa+cos/?=2cos\-----cos------

Y1-tan2—.A、

22sin(—^+cr)=cosa

2a+£.a—0

cosa-cos0=-2sin-----sin...-

22

sW”号，""75—.tan75°=cotl5°=2+V3

sin75°=cosl5°=

4

io.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

y=Asin(以+°)

y=sin%y=cos尤y=tanxy=cotx

X[A、①>0]

定义域RR^x|XGR且％Wk7r+—7T,kGZ>R

I2J{X|XGR且rwk/r,左wz}

值域[-l,+l][-l,+l]RR[—A,A]

周期性K7124

CD

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当夕w0,非奇非偶

当夕=0,奇函数

(冗1%7\（丘,（k+1）»）上为减函

［-生+2女肛----Fk,7CyFK7C

I22)2k兀~--(p

22痴］数［丘Z）

--------⑷，

71…r上为增函上为增函数

—+2左(0

数…1

〔k&Z〕2左；T+一〃"一夕

上为增函\2krr,-------——(T)

Lco」

数；（2k+1"］

单调性上为减函上为增函数；

［—F2%肛

数“兀

22攵万+---(p

3万C71小Z）------2—(A),

—F2k兀、CO

“3

上为减函2k7r+—%-0

2(-A)

数屋eZ）_CD」

上为减函数

kZ)

注意：①>=-sinx与j=sin%的单调性正好相反；y=-cos;r与y=cos%的单调性也同样相反.一般地,

假设y=/（%）在句上递增（减）,那么y=-/（%）在［。,切上递减（增）.

②y=而与y=|cosx|的周期是乃.

、27r

@y=sin（tur+9?）y=COS（OK+〔。工0）的周期7=丁丁.

闷

y=tan'的周期为2〃（？=二=T=2万，如图，翻折无效）.

2囱

@y=sin3v+°）的对称轴方程是工=左乃+楙（左eZ）,对称中心〔左匹0）;y=cos（@¥+e）的对称轴方程

k冗

是％二左丁（左6Z）,对称中心〔而+J_%O）；y=tan（@;+0）的对称中心（—,0）.

2'2

y=cos2%—原点对称>丁=-cos（-2%）=-cos2x

tantr•tan[3=-l,a-(3=kjr+—{k^Z).

⑥y=8S；v^y=sin|x+工+2（br］是同一函数，而y=3+。）是偶函数，那么

y=(a)x+0)=sin(air+kr+—%)=±cos@x)•

⑦函数y=tanx在R上为增函数.（x）［只能在某个单调区间单调递增.假设在整个定义域，y=tanx

为增函数，同样也是错误的］.

⑧定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原

点对称〔奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：=奇函数：f（-X）=-f（X））

奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函数，y=tan（x+；%）是非奇非偶.（定义域不关于原

点对称）

奇函数特性质：假设0ex的定义域，那么/（x）一定有了（o）=o.10ex的定义域，那么无此性质）

◎y=sinW不是周期函数；'=卜也可为周期函数［7="）；

y=co可是周期函数〔如图）；y=|cosM为周期函数［T二万"^厂、:*

y=cos㈤图象

y=|cos2x+l⑵图象

Y=COS2X+，的周期为万〔如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2

y=f（x）=5=f（x+k\kGR.

⑩y=acos+Z?sin0=y/a2+b2sin（6Z++cos（p=—有y/a2+b2>lyl.

a

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asingx+cp）的振幅|A|,周期丁=生，频率f=J_=@l，相位〃沈+夕；初相°（即当x=0时

|^|T171

的相位〕.（当A>0,3>0时以上公式可去绝对值符号），

由丫=5皿*的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1〕或缩短〔当0<|A|Vl）到原来的|A|

倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|w|<l）或缩短到原来的己1倍,

3

得到y=sin。x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用3x替换x）

由y=sinx的图象上所有的点向左〔当（p>0）或向右（当cp<0）平行移动I<pI个单位，得到y=sin〔x

+（p）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+（p替换X）

由y=sinx的图象上所有的点向上［当b>0）或向下［当b<0｝平行移动IbI个单位，得到y=sinx

+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin〔3x+（p）［A>0,a>0）［xGR）的图象，要特别注意：

当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法

1.三角函数恒等变形的根本策略。

⑴常值代换:特别是"1"的代换,如l=cos29+sin29=tanx,cotx=tan45°等。2）项的

分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=l+cos2x；配凑角：a=（a+

（3〕降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin9+bcos9=y/a~+b~sin（9+^））,这里辅助角0所在象限由a、b

..h

的符号确定，0角的值由tan0=—确定。

a

2.证明三角等式的思路和方法。

1）思路:利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.

2）证明方法：综合法、分析法、比拟法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比拟法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用

正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3〕合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

COS。+sin。c.2八.八八c2cM

四、例题分析例1.tan。=后，求(1)---------------；12Jsin8-sin夕cos®+2cos0m

cos。一sin。

值.

1+sin。

⑴cose+sin8=cosJ1+tanlJ+夜=3

解:

cos。+sin8isin。1-tan01-^2

cos。

sin20-sin0cos0+2cos20

⑵sin20-sin0cos0+2cos20=

sin20+cos20

sin20sinO

_cos?ecos。+_2-血+2_4-亚

s/e―2+1―3^•

COS20+

说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的方法得到)，进行弦、切互化，就

会使解题过程简化。

例2.求函数y=l+sinx+cos九+(sin%+cos%)2的值域。

解：设％=sinx+cosx=J5sin(%+&)£［-0,应］,那么原函数可化为

4

y=『+/+i=«—)2+；,因为/仪—近血］,所以

L1—13

当"0时，)^=3+夜，当/=-］时，Jmin=-»

所以，函数的值域为yeg,3+0］。

例3.函数/(%)=4sin2%+2sin2%-2,XERo

11)求了(%)的最小正周期、/(x)的最大值及此时工的集合；

12〕证明：函数/(x)的图像关于直线》=-二对称。

8

解：/(%)=4sin2x+2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x)

=2sin2x-2cos2x=20sin(2x--)

4

⑴所以了(%)的最小正周期T=〃，因为％£心

所以，当2x-工=2丘+&,即x=for+包时，/⑴最大值为20；

428

⑵证明：欲证明函数;'(X)的图像关于直线％=-%对称，只要证明对任意尤eH,有

8

了(一可一％)-/(一可十%)成立，

因为/(一生一%)=2后sin[2(---x)--]=2后sin(---2x)=-2y/2cos2x,

8842

f(--+x)=2^2sin[2(-玄+%)—£]=2^2sin(-鼻+2x)=-20cos2x,

所以/(—：—x)=/(-*+x)成立，从而函数/(x)的图像关于直线x=-(对称。

IcosV^sinx.cosxH

例4.函数y=(xGR),

22

⑴当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

⑵该函数的图像可由y=sinx(xeR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

y=—cos2x34+——sinx,cosx+l=—(2cos2x-1)+—+^~(2sinx,cosx)+1

22444

—cos2x+^-sin2x+—=—(cos2x•sin—+sin2x,cos—)+—=—sin(2x+—)+—

4442664264

所以y取最大值时，只需2x+工=2+2kn,(kGZ),即x=—+kJi,(kGZ)0

626

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=%+kJI,k£Z}

6

［2［将函数y=sinx依次进行如下变换：

(i)把函数y=sinx的图像向左平移三，得到函数y=sin(x+%)的图像;

66

lii1把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变］，得到函数尸sin(2x+.)

的图像;

(8把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来呜倍(横坐标不变)，得到函数

,sin(2x+Z)的图像;

y=

26

(iv)把得到的图像向上平移之个单位长度，得到函数y=^sin(2x+工)+9的图像.

4264

1C

综上得到y=—cos2x+——sinxcosx+1的图像。

22

说明：此题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降易后最终化成

y=J1+方sin(3x+0)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。此题(1)

还可以解法如下：当cosx=0时，y=l；当cosxWO时，

1V3,、拒+

—cos2xd---sinxcosx—+——tanx

2+1=2——2__——+]

y=—

si.n2x+cos2x1+tan2x

化简得：2(y—1)tan2x—73tanx+2y—3=0

37

VtanxER,.•.△=3—8(y—1)(2y—3)20,解之得:-<y^-

44

.,.ymax=-,此时对应自变量x的值集为{x|x=kn+工，kGZ}

46

例5.jB|^y(x)=sin—cos—+V3cos2—.

333

(I〕将手⑴写成Asin(0;+0)的形式，并求其图象对称中心的横坐标;

[II)如果AABC的三边a、b、c满足b'ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此

时函数F㈤的值域.

相汉，/、1.2xV32x.1.2x732XV3..2x兀、V3

肿：f(x)=—sin----1---(1+cos——)=—sin----1---cos——d-----=sin(1——)d----

232323232332

〔I〕由sin(g+。)=0即g+三=k7i(ke2)得犬=%kez

即对称中心的横坐标为----冗、kez

2

(II)由b2=ac

a2+c2-b2a2+c2-aclac-ac

cosx=---------------——9

2aclaclac2

1,TC712xn.5万

/.—<cosx<1,0<x<-,—<—+—<—

233339

,7171,,5〃71,冗.,2x兀、八/T-,2x兀、八V3

------->,sin—<sin(----1—)V1,..J3<sin(----1—)V1H------,

32----92333332

即/(x)的值域为(省,1+与.

/(x)值域为(省,1+字］.

综上所述，%e(0,1^］

说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、根本不等式等知识，还需要利用数形结合的

思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6.在.ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且色区=%二£,

cosBb

(1)求sinB的值；

(2)假设6=4点，且a=c,求ABC的面积。

即八、小-r丹…TETZ.cosC3a-c士cosC3sinA-sinC

解：(1)由正弦JE理及----=-----,有-----=-----------,

cosBbcosBsin5

即sinBcosC=3sinAcosB—sinCcosB,所以sin(3+C)=3sinAcosB,

又因为A+5+C=7T,sinCB+C)=sinA,所以sinA=3sinAcos5,因为sinAwO,所以

cosB=—,X0<B<7T,所以sin3二

3

7

(2)在ABC中，由余弦定理可得/+/—］欧=32,又Q=。,

所以有与2=32,即/=24,所以ABC的面积为

3

S=—acsinB=—a2sin3=8直。

22

三角函教

一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)

1.点尸(tana,cosa)在第三象限，那么角1的终边在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.集合/=曲=苧土彳,左6｝与N=｛x[x=^,AeZ｝之间的关系是[)

A.MSVB.NSWC.M=ND.MClN=0

3.假设将分针拨慢十分钟，那么分针所转过的角度是()A.60°B-60C.30°D.—30°

4.以下各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是()A.(1)(2)

B.⑵⑶C.⑴⑶D.⑵⑷

5.设〃V0,角a的终边经过点尸(-3a,4〃)，那么sina+2cosa的值等于()

A.,B.—C./D.—

6.假设cos(;r+a)=—；,1乃<。<27，那么sinQ%一。)等于〔)A.一坐B.哼C.zD.土雪

乙乙乙乙乙乙

7.假设a是第四象限角，那么不一a是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

8.弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,那么这个圆心角所对的弧长是〔)

A.2B.C.2sinlD.sin2

9.如果sinx+cosx=£,且0<x<?r,那么cotx的值是（）

A.—B.—或一1C.—4D.g或一W

10.假设实数x满足logzx=2+sin仇那么|x+l|+|x—10|的值等于

A.2x-9B.9-2rC.llD.9

二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)

11.tan30(F+cot765。的值是.

e,、“sina+cosa,,,„

12.假设^—2,那么sinotcosa的值是.

sina—cosa

13.不等式(lg20产。sx>l,(%e(0,兀))的解集为.

14.假设6满足cosO>—3，那么角。的取值集合是.

15.假设cosl300=a,那么tan50°=.—

16.,假设。,71),那么/(cosa)十八一cosa)可化简为.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.1本小题总分值12分)设一扇形的周长为C(C>0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大

面积是多少？

18.(本小题总分值14分)设90。<。<180。，角。的终边上一点为P5,小),且cosa=

y[2、

求sina与tana的值.

7FITI—54—7m

19.（本小题总分值14分）］sin<9=.+5，cos8=.+5'求机的值.

20.(本小题总分值15分)0。＜口＜45。，且Ig(tanot)—Ig(sinot)=Ig(cosoc)—Ig(cota)+21g3

3、

lg2,求cos3q—sin3a的值.

21.（本小题总分值15分）sin（5%—0）=也cos（^%+份和，5cos（一仪）=一啦cos（乃+夕），且0<。<乃，0

</]<71,求[和/的值.

三角函教

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1.以下函数中，最小正周期为〃的偶函数是（）

x1—tan2x

A.y=sin2xB.y=cos]C.y=sin2x+cos2xl+tar^x

2.设函数y=cos（sinx）,那么（）

A.它的定义域是[—1,1]B.它是偶函数C.它的值域是[―cosl,cosl]D.它不是周期函数

3.把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图

象向左平移£个单位.那么所得图象表示的函数的解析式为〔）A.y=2sin2x

7TX7T

B.y=12sin2xC.y=2cos（2x+~^）D.y=2cos（]）

4.函数y=2sin（3x—7图象的两条相邻对称轴之间的距离是〔）

71-2%——4兀

A.B.C.7TD.行

5.假设sina+cosa=机，且一也^m<-L那么a角所在象限是〔）

A.第一象限B.第二象限C.第三