苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题10一次函数中的平行四边形(原卷版+解析)

专题10一次函数中的平行四边形【例题讲解】如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．（1）求点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；【分析】分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可．解：（1）解方程组：得：，点坐标是；（2）存在；令y=0代入，得，解得：x=，∴C（，0），设M（x，y）如图所示：①当AC是对角线时，x=2+-0=，y=3，∴点M坐标是（5.5，3）；②当AO是对角线时，x=2+0-=-1.5，y=3，∴点M坐标是（-1.5，3）；③当CO是对角线时，x=0+-2=1.5，y=-3，∴点M坐标是（1.5，-3），综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．【综合演练】1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)．(1)求证：AC⊥BC；(2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标．2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y=-2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M．且点M为线段OB的中点．(1)求直线AM的解析式；(2)在直线AM上有一点P，且，求点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知矩形，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．(1)求线段长；(2)如图，点与点重合时，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；(3)如图，将图翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，在平面内找一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形，请求出的值并写出点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)线段OB的长度为______；(2)求直线BD所对应的函数表达式；(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．(1)求直线BC的解析式；(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．(1)直线的表达式为___________，并直接写出点C的坐标___________；(2)若点P在x轴上方，且的面积为18，求P点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使以P、Q、M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与直线、轴分别交于点、点．(1)求直线的解析式；(2)若点和点分别是直线和轴上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点、为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．(1)求直线l2的解析式和m的值；(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为，直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，．(1)求顶点B的坐标．(2)如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点与点O关于直线l对称，连接并延长交直线AB于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；(3)在（2）条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，当四边形PBCQ是平行四边形时，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点、．将直线向下平移m个单位得到直线，已知直线经过点，且与x轴交于点C．(1)求直线的表达式及m的值；(2)若点Q是x轴上一点，连接BQ，当面积等于4时，求点Q的坐标；(3)点D为直线上一点，如果A、B、C、D四点能构成平行四边形，求点D的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点和的直线与直线相交于点C，直线与x轴相交于点D，点E在线段AB上，连接DE，的面积为．(1)求直线AB的解析式；(2)求点E的坐标；(3)点M是直线CD上的动点，点N在y轴上，是否存在点M、N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．专题10一次函数中的平行四边形【例题讲解】如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．（1）求点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；【分析】分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分别求解即可．解：（1）解方程组：得：，点坐标是；（2）存在；令y=0代入，得，解得：x=，∴C（，0），设M（x，y）如图所示：①当AC是对角线时，x=2+-0=，y=3，∴点M坐标是（5.5，3）；②当AO是对角线时，x=2+0-=-1.5，y=3，∴点M坐标是（-1.5，3）；③当CO是对角线时，x=0+-2=1.5，y=-3，∴点M坐标是（1.5，-3），综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．【综合演练】1．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)，C点坐标为(0，﹣1)．(1)求证：AC⊥BC；(2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D点的坐标．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)．【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理即可求证；（2）过分别作的平行线，分别相交于，再根据平行四边形的性质即可求得D点的坐标．【详解】解：（1）由勾股定理可得：、、，又∵，即，∴为直角三角形，，∴AC⊥BC；（2）过分别作的平行线，分别相交于，如下图：①以为邻边时，则、又∵A点坐标为(2，3)，C点坐标为(0，﹣1)，C点向右平移了2个单位，向上平移了4个单位，∴点可以由点右平移了2个单位，向上平移了4个单位得到，又∵B点坐标为(﹣2，0)得到点坐标为(0，4)；②以为邻边时，则、又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)B点向右平移了4个单位，向上平移了3个单位∴点可以由点C右平移了4个单位，向上平移了3个单位又∵C点坐标为(0，﹣1)得到点坐标为(4，2)；③以为邻边时，则、又∵A点坐标为(2，3)，B点坐标为(﹣2，0)A点向左平移了4个单位，向下平移了3个单位∴点可以由点C左平移了4个单位，向下平移了3个单位又∵C点坐标为(0，﹣1)得到点坐标为(-4，-4)．综上所述，点坐标为(0，4)或(4，2)或(-4，-4)．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的应用、平行四边形的性质，熟练掌握相关基本性质，利用平行四边形的性质求解点的坐标是解题的关键．2．如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是；(2)求直线l2的解析式及△CDE的面积；(3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．【答案】(1)x＜1(2)2(3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）【分析】（1）直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），即可求解；（2）将点B、D的坐标代入y=kx+b，再求出点E，点C的坐标，再由三角形面积公式即可求解；（3）分AB是平行四边形的一条边、AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．（1）对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则4=2x+2，解得：x=1，故点D（1，4），从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，故答案为：x＜1；（2）将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得：，解得：，故直线l2：y=-2x+6，当x=0时，y=6,对于直线l1：y=2x+2，当x=0时，y=2，∴∴∴（3）分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′，对于直线l1：y=2x+2，当y=0时，x=-1，∴∵B(3,0)①当AB是平行四边形的一条边时，此时符合条件的点为下图中点P和P′，则AB=4=PA=P′D，故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）；②当AB是平行四边形的对角线时，此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）；综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）．【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到平行四边形的基本性质、求解不等式等知识点，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，在平面直角坐标系中．一次函数y=-2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M．且点M为线段OB的中点．(1)求直线AM的解析式；(2)在直线AM上有一点P，且，求点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点P的坐标为(0，6)或(12，-6)(3)存在，点C的坐标为(6，-6)或(6，6)或(-6，18)【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式；（2）分两种情况：①由点M为线段OB的中点．可得，即可得出点P于点M重合，②根据，即可得答案；（3）存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①以AM，BC为对角线；②以AB，CM为对角线；③以AC，BM为对角线，根据平移的性质求解即可．（1）解：当x=0时，y=-2x+12=12，∴点B的坐标为（0，12），当y=0时，-2x+12=0，解得：x=6，∴点A的坐标为（6，0）．∵点M为线段OB的中点，∴点M的坐标为（0，6）．设直线AM的函数解析式为y=kx+b（k≠0），将A（6，0），M（0，6）代入y=kx+b，得，解得：∴直线AM的函数解析式为y=-x+6；（2）解：①∵点M为线段OB的中点．∴，∴点P于点M重合，∴点P的坐标为（0，6）；②如图，∵点A的坐标为（6，0）．点M的坐标为（0，6）．∴×6×6=18，∵，∴，设点P的坐标为：（x，-x+6），∴×6x-18=18，解得x=12，∴点P的坐标为（12，-6）；∴点P的坐标为（0，6）或（12，-6）；（3）解：分三种情况考虑（如图所示）：存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，∵A（6，0），B（0，12），M（0，6），①以AM，BC为对角线，根据平移的性质，得点C（6，-6），②以AB，CM为对角线，根据平移的性质，得点C（6，6），③以AC，BM为对角线，根据平移的性质，得点C（-6，18），综上，点C的坐标为（6，-6）或（6，6）或（-6，18）．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值；(3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析，(3)或或【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可；（2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长；（3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标．【详解】（1）解：把点代入，得：，∴，∴，设直线的解析式为∶，把，代入得：∴，解得：，∴直线的解析式为；（2）解∶如图，设点D的坐标为，∵轴，∴点，∵，∴，解得：，∴，，作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶，∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线，∴直线与坐标的夹角都为，∴，∴，∵轴，∴点的横坐标为，∴点的坐标为，∴，∴的周长最小值为∶；（3）如图，∵点，∴点M和点N旋转后的对应点，∴直线的解析式为∶，当时，，∴，当时，∵，∴，当时，∵，∴，当时，∵，，∴，综上所述∶点或或．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置．5．已知矩形，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．(1)求线段长；(2)如图，点与点重合时，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；(3)如图，将图翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，在平面内找一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形，请求出的值并写出点的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为或或(3)，点的坐标为：或，点的坐标为或，点的坐标为【分析】（1）由矩形的性质得AD=BC=OC=10，CD=AB=OA=6，∠AOC=∠ECF=90°，由折叠性质得EF=DE，AF=AD=10，则CE=6-EF，由勾股定理求出BF=OF=8，则FC=OC-OF=2在Rt△ECF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）分三种情况，当AB为平行四边形的对角线时；当AF为平行四边形的对角线时；当BF为平行四边形的对角线时，分别去点G的坐标即可；（3）分三种情况讨论，由菱形的性质得OA=AF=10，则矩形ABCD平移距离m=OA-AB=4，即OB=4，设FG交x轴于H，证出四边形OBFH是矩形，得FH=OB=4，OH=BF=8，则HG=6，即可得出答案．（1）四边形是矩形，，，，由折叠性质得：，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：；（2）如图所示：当为平行四边形的对角线时，，，点的坐标为：；当为平行四边形的对角线时，，，点的坐标为：；当为平行四边形的对角线时，，，点的坐标为：；综上所述，点的坐标为或或；（3）如图，当四边形为菱形，，矩形平移距离，即，设交轴于，如图所示：，轴，，四边形是矩形，，，，点的坐标为．若四边形是菱形，，，，，，的坐标为，当四边形是菱形，，，，，点的坐标为，综上所述：，点的坐标为：或，点的坐标为或，点的坐标为．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠变换的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（16，0）、C（0，12），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)线段OB的长度为______；(2)求直线BD所对应的函数表达式；(3)若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)20(2)直线BD所对应的函数表达式为(3)存在，满足条件的点P的坐标是（10，12）【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长；（2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式；（3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可．（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，，故答案为：20；（2）解：设，则，，，，即，，，点的坐标为．设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得：，解得：，直线所对应的函数表达式为；（3）解：存在，理由：过点作轴于点，如图所示．，，，在中，，点的坐标为，，由，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为：，令，则，解得：，存在，点的坐标为．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．(1)求直线BC的解析式；(2)若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x+5(2)P（，）(3)D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式；（2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣n+5），PH＝﹣n+5，将B（0，5）代入y＝x+b可得y＝x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，列方程计算即可；（3）由A（﹣2，0），P代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，，D（7，0）．（1）∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，∴C（4，0），由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，将C（4，0）代入得：0＝4m+5，解得m＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；（2）过P作PH⊥AC于H，如图：设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，将B（0，5）代入y＝x+b得：b＝5，∴y＝x+5，在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴AC＝6，∴S△ABC＝AC•OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC•PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，∵△ABP的面积等于△AOB的面积，∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，解得n＝，∴P；（3）存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得：，解得，∴直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：∴，解得，∴D（1，0）；②若EB，DC为对角线，同理可得：，解得，∴D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，∴，解得，∴D（7，0），综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．8．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．(1)直线的表达式为___________，并直接写出点C的坐标___________；(2)若点P在x轴上方，且的面积为18，求P点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．M是x轴上一点，在直线上是否存在点N，使以P、Q、M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)，（3，0）；(2)P（2，4）；(3)存在，点N的坐标为（0，3）或（－12，－3）．【分析】（1）求出x＝0时，可得点B坐标，然后利用待定系数法求出直线的表达式，令y＝0，求出x的值，即可得到点C的坐标；（2）求出点A坐标可得AC＝9，设P（x，），根据的面积为18构建方程求出x的值即可；（3）求出点Q坐标，可得PQ＝3，根据平行四边形的性质可得PQ且PQ＝MN＝3，进而可得点N的纵坐标为3或－3，然后代入直线BC的解析式即可求出点N的坐标．（1）解：在一次函数中，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∵一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，∴，∴直线的表达式为，当y＝0时，即，解得：x＝3，∴C（3，0），故答案为：，（3，0）；（2）解：在一次函数中，当y＝0时，即，解得：x＝－6，∴A（－6，0），∵C（3，0），∴AC＝9，设P（x，），∵的面积为18，∴，解得：x＝2，∴P（2，4）；（3）∵P（2，4），∴点Q的横坐标为2，当x＝2时，，∴Q（2，1），∴PQ＝3，∵使以P、Q、M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，∴PQ且PQ＝MN＝3，∴MN⊥x轴，点N的纵坐标为3或－3，当时，解得：x＝0，此时N（0，3），当时，解得：x＝－12，此时N（－12，－3），综上，点N的坐标为（0，3）或（－12，－3）．【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何综合以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握一次函数图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与直线、轴分别交于点、点．(1)求直线的解析式；(2)若点和点分别是直线和轴上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点、为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点坐标为或【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．（1）解：设直线的解析式为，直线与直线、轴分别交于点、点，，解得，直线的解析式为；（2）解：存在，直线：与轴交于点，，设，，当为平行四边形对角线时，，，，解得，；当为平行四边形的对角线时，，，，解得，；综上所述：存在，或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中直线l1：与直线l2交于点A（﹣2，3），直线l2与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，过BD中点E作直线l3⊥y轴．(1)求直线l2的解析式和m的值；(2)点P在直线l1上，当S△PBC＝6时，求点P坐标；(3)点P是直线l1上一动点，点Q是直线l3上一动点，当以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求Q点坐标．【答案】(1)y=x+2；m=6；(2)P点坐标为（，）或（，）；(3)Q点坐标为（，4）或（，4）或（4，4）【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）分点P在线段FA上和在线段DA上时，两种情况讨论，利用分割法和三角形面积公式列方程，再分别求P点坐标即可；（3）设P（t，t+6），Q（m，4），再分三种情况讨论：①当PQ为平行四边形的对角线时；②当PB为平行四边形对角线时；③当PC为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．（1）解：∵A（-2，3）在y=x+m上，∴-3+m=3，∴m=6，∴y=x+6，设直线l2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y=x+2；（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F（-4，0），∵C（4，0），∴S△DBC=×4×4=8>6，S△FBC=×8×2=8>6，∴点P一定在线段FD上，当点P在线段FA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=×2+×2×4-×4×=6，整理得=-a-1，即=-a-1或=a+1，解得：a=-或a=-5(舍去)，∴点P的坐标为（-，）；当点P在线段DA上时，连接PO，设点P的坐标为（a，a+6），S△PBC=S△POC-S△POB-S△COB=×4×-×2-×2×4=6，整理得=5-a，即=5-a或=a-5，解得：a=-或a=-11(舍去)，∴点P的坐标为（-，）；综上所述：P点坐标为（-，）或（-，）；（3）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），∴E（0，4），∴直线l3的解析式为y=4，设P（t，t+6），Q（m，4），①当PQ为平行四边形的对角线时，，解得，∴Q（，4）；②当PB为平行四边形对角线时，，解得，∴Q（-，4）；③当PC为平行四边形的对角线时，，解得，∴Q（4，4）；综上所述：Q点坐标为（，4）或（-，4）或（4，4）．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．11．如图1，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为，直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，．(1)求顶点B的坐标．(2)如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点与点O关于直线l对称，连接并延长交直线AB于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；(3)在（2）条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，当四边形PBCQ是平行四边形时，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据，可得点B的横坐标为4，再代入，即可求解；（2）过C点作于N，可得到，从而得到，再求出，DN=3，从而得到，继而得到AM=1，可得到点，即可求解；（3）连接OD，先求出D点坐标为，可得直线OD解析式为，设P点坐标为，Q点坐标为，然后根据平行四边形对角线互相平分，即可求解．（1）解：∵，，∴点B的横坐标为4，把代入中，得，∴．（2）解：如图，过C点作于N，∵，∴，∵点为点O关于直线l的对称点，∴，∴，∴，∵，当时，，∴点C（0，3），∴，∵，∴，∴，∴，∴，设直线l解析式把，代入得：，解得，∴直线l的解析式为：．（3）解：如图，连接OD，∵，，A点坐标为，∴D点坐标为，设OD直线解析式为，将代入可得，解得，∴直线OD解析式为，∵点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，∴设P点坐标为，Q点坐标为，∵四边形PBCQ是平行四边形，∴平行四边形对角线互相平分，，解得，当时，，∴P点坐标为．【点睛】本题主要考查了一次函数与四边形的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点、．将直线向下平移m个单位得到直线，已知直线经过点，且与x轴交于点C．(1)求直线的表达式及m的值；(2