人教A版（2019）必修第二册 期末检测试卷(一)（教学课件）

期末检测试卷(一)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知复数a＋bi＝

(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于A.－2B.－1C.0D.2√解析由复数的运算法则，结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，据此可得a＋b＝－2.故选A.123456789101112131415161718192021222.某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为A.68B.38C.32D.30√123456789101112131415161718192021223.气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为A.20° B.28°C.38° D.48°12345678910111213141516171819202122√解析依题意得“斗冠”的高为60.3－33.3＝27(米)，∠PME为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，因为0.58＜0.78＜1，所以30°＜∠PME＜45°.123456789101112131415161718192021224.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：91

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93则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为A.92,96B.93,96C.92.5,95D.92.5,96√解析将这组数据按从小到大排列得85

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98则15×60%＝9,15×90%＝13.5，123456789101112131415161718192021225.已知底面边长为1，侧棱长为

的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为√又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球的半径R＝1，根据球的体积公式，12345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021226.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为A.4π B.2πC.π D.√解析由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccosA，a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccosA，即sinA＝cosA，tanA＝1，12345678910111213141516171819202122√∵D，E是边BC的两个三等分点，123456789101112131415161718192021228.袋子中有四个小球，分别写有“中”“国”“美”“丽”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“国”“美”“丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232

321

230

023

123

021

132

220

001231

130

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231

031

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103

233由此可以估计，恰好在第三次停止的概率为√12345678910111213141516171819202122解析由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中，0与1只能出现一个，第三次必须出现前两个数字中没有出现的0或1，故符合条件的只有021,001,130,031，12345678910111213141516171819202122二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.下面四个命题中的真命题为A.若复数z满足

∈R，则z∈RB.若复数z满足z2∈R，则z∈RC.若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝D.若复数z∈R，则

∈R√√1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122复数z＝i满足z2＝－1∈R，而z∉R，故B为假命题；10.对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是A.若m⊥α，m⊥n，则n∥αB.若m∥α，α⊥β，则m⊥βC.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n√12345678910111213141516171819202122√√解析A中n可能在α内，A是假命题；B中m也可能在β内，B是假命题；m与n可能平行，C是假命题；m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，若m⊂β，则由n⊥β得n⊥m，若m∥β，则β内有直线c∥m，而易知c⊥n，从而m⊥n，D是真命题.1234567891011121314151617181920212211.从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中不是对立事件的是A.恰有一个是偶数和恰有一个是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是奇数C.至少有一个是奇数和两个都是偶数D.至少有一个是奇数和至少有一个是偶数√√√解析C中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下：编号

温度(℃)地区12345甲2629283131乙2830312932从表中能得到的结论有A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C.甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差编号

温度(℃)地区12345甲2629283131乙2830312932√√12345678910111213141516171819202122故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差，所以甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝_______.解析因为a∥b，所以x－2×2＝0，解得x＝4，则b＋c＝(2,1)＋(3,4)＝(5,5)，123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212214.已知在三棱锥P－ABC中，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_____.解析过点B作BD∥AC，且BD＝AC，连接AD，则四边形ADBC为菱形，如图所示，∴∠PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角.设PA＝AB＝AC＝BC＝a.∴AD＝a，BD＝a，∵PA⊥平面ABC，1234567891011121314151617181920212215.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为_______.123456789101112131415161718192021220.49212345678910111213141516171819202122解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，1234567891011121314151617181920212216.足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用的足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F＋V－E＝2，那么，足球有_____个正六边形的面，若正六边形的边长为

cm，则足球的直径为____cm(结果保留整数).(参考数据tan54°≈1.38，

≈1.73，π≈3.14)2022解析因为足球由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.设正五边形为x块，正六边形为y块，所以足球有20个正六边形的面.12345678910111213141516171819202122所以4πR2＝π(2R)2＝1524.6,2R≈22.所以足球的直径为22cm.12345678910111213141516171819202122四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；解因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122(2)求|a＋b|；解|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，1234567891011121314151617181920212218.(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC＝csinB.(1)求角C的大小；在△ABC中，因为sinB≠0，12345678910111213141516171819202122由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝28，所以a2＋b2＝52，从而(a＋b)2＝100.即a＋b＝10，1234567891011121314151617181920212219.(12分)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.解根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：下面进行证明：＝i.20.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝

AB.求证：(1)AD∥平面PBC；12345678910111213141516171819202122证明∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC.(2)平面PBC⊥平面PAD.∴PA⊥PB.由∠ABC＝90°知BC⊥AB.又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC.又∵PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.1234567891011121314151617181920212221.(12分)全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位：分)如下表：12345678910111213141516171819202122甲单位8788919193乙单位8589919293(1)根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；12345678910111213141516171819202122(2)用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.解从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有样本点(用数对表示)为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件A，则事件A包含的样本点为(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个.1234567891011121314151617181920212222.(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由50