湖南长沙市2024届数学高二年级上册期末综合测试模拟试题含解析

湖南长沙市2024届数学高二上期末综合测试模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.7(x)=sinx,则/(1)与［/(I)］'分别为()

A.cos1与cos1B.cos1与sin1

C.cos1与0D.O与cos1

2.设a£R,则“a=l”是“直线h：ax+2y—1=0与直线L：x+(a+l)y+4=0平行”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.直线2x—y—1=0在丁轴上的截距为()

A.-lB.1

11

C.—D.一一

22

4.若数列｛小｝满足g—gq<%-g/……，则称数列｛为｝为“半差递增”数歹U.已知“半差递增''数

歹!)｛品｝的前“项和S,满足S,+2g=2/—l(”eN*),则实数，的取值范围是()

A.(―co,—)B.(-00,1)

C.(一,+oo)D.(1,+oo)

2

1234

5.数列一,一,一,一,…的通项公式％是。

3579

C.--------D.---------

2〃+12〃+3

6.函数八处=尤3一公在［1,+8)上是单调递增函数，则。的最大值等于()

A.2B.3

C.5D.6

7.若抛物线y2=4x上一点尸到“轴的距离为2石，则点P到抛物线的焦点广的距离为。

A.4B.5

C.6D.7

8.已知数据%,%，％3，L，%的平均数是1方差是4,则数据%,X2，％3，L的方差是()

A.3.4B.3.6

C.3.8D.4

9.已知直线4的斜率为1,直线4的倾斜角比直线4的倾斜角小15。，则直线/2的斜率为()

R石

A.-115・---------

3

「V3

-D.1

3

10.设/(%)是可导函数，当㈣=2,则/■'(%)=()

Ax—>0

A.2B.1

1

C.—2D.

2

11.已知直线。力和平面a,且〃在a上，。不在a上，则下列判断错误的是()

A.若a〃a,则存在无数条直线〃，使得

B.若则存在无数条直线〃，使得；

C.若存在无数条直线6,使得。〃〃，则a〃a

D.若存在无数条直线〃，使得;则1

x-y+l>0

12.若不等式组<y+gzO表示的区域为Q,不等式(x-+/

<-表示的区域为「，向Q区域均匀随机撒360

4

x+j-l<0

颗芝麻，则落在区域r中的芝麻数约为。

A.H4B.10

C.150D.50

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

_____7F..

13.如图，在棱长都为1的平行六面体A3CQ-A4G。中，A5,AD，9两两夹角均为］，则AC/B£)=

请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线AG垂直.这三个顶点可以是

X>1

14.若实数x,y满足约束条件x+y<2,则2x+y的最大值是.

x-3y<0

15.直线/：y=〃z（x+l）—1与圆C:（x-l『+y2=6交于A、B两点,当弦A5的长度最短时，则三角形A3C的面积

为

16.设beR,复数马=-2+历，Z2=l+1,若」是纯虚数，则为的虚部为.

Z2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知直线/与抛物线。：必=2py（p〉0）交于A,B两点

（1）若p=2,直线/过抛物线。的焦点，线段A3中点的纵坐标为2,求A3的长；

2）若。交A3于。（―2,2）,求。的值

18.（12分）已知椭圆。：乌+3=1（。〉6〉0）的离心率为坐，长轴长为2百，F为椭圆的右焦点

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过点A仅探）的直线机与椭圆C交于两点A,A,且以A4为直径的圆经过原点，求直线用的斜率；

（3）点M是以长轴为直径的圆。上一点，圆。在点”处的切线交直线x=3于点N,求证：过点”且垂直于ON

的直线/过定点

2

19.（12分）已知椭圆E：L+y2=i左，右顶点分别是A,B,且“，N是椭圆E上异于A,3的不同的两点

4'

（1）若《如•后■=—；，证明：直线肱V必过坐标原点。；

（2）设点尸是以40为直径的圆。1和以AN为直径的圆。2的另一个交点，记线段”的中点为Q,若

求动点。的轨迹方程

20.(12分)已知在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S.(b+a+c)(b+a-c)=3ba

(1)求c；

(2)若c=K，求。+2〃的最大值

21.(12分)已知如图①,在菱形ABC。中，NA=60°且A3=2,E为A。的中点，将Z\AB石沿BE折起使")=血,

得到如图②所示的四棱锥A-6CDE,在四棱锥A-5CDE中，求解下列问题:

(1)求证：平面A3E；

(2)若尸为AC中点，求二面角。A的余弦值.

22.(10分)如图长方体ABC。—A4c12中，AB=AD=\,AAl=2,点E为。，的中点.

(1)求证：52〃平面ACE；

(2)求证：E4,平面ACE；

(3)求二面角A—CE—G的余弦值・

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、c

【解析】利用正弦函数和常数导数公式，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为〃尤)=sinX,所以/(x)=cos尤,所以/(l)=cosl,[/(l)]'=(cosl)'=0,

故选：C

2、A

【解析】运用两直线平行的充要条件得出h与b平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可

解：V当a=l时,直线h：x+2y-1=0与直线h：x+2y+4=0,

两条直线的斜率都是-3截距不相等，得到两条直线平行，

故前者是后者的充分条件，

•.•当两条直线平行时，得到卉二」，

1a+14

解得a=-2,a=l,

后者不能推出前者，

/.前者是后者的充分不必要条件

故选A

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系

3、A

【解析】把直线方程由一般式2x-丁-1=。化成斜截式，即可得到直线在y轴上的截距.

【详解】由2x—y—1=0,可得y=2x—1,

则直线2x—y—1=。在y轴上的截距为-1.

故选：A

4、A

【解析】根据Sn+2cn=27-1(〃eN*),利用递推公式求得数列｛g｝的通项公式.再根据新定义的意义，代入解不等式即

可求得实数，的取值范围.

【详解】因为S“+2g=2-l(“eN*)

所以当2时，S,i+2c“T=2f-l

c29

两式相减可得c,+2c„-2c“_i=0,即4=2，所以数列｛%｝是以公比q=w的等比数列

Cn-\33

当〃=1时,q=――-

贝UJ「g=2?-12t-\2t-l

3618

11

C_lc_2/-1pv12?-lf2y_2Z-1r2.V-

%+】-1%―3.Q--3-18d

由“差半递增”数列的定义可知

2/-1，2丫-22/-1(2丫-1

18uJ<18

化简可得21＜（21）x（

解不等式可得f〈工

2

即实数t的取值范围为［-*

故选：A.

5、C

【解析】根据数列前几项，归纳猜想出数列｛4｝的通项公式.

【详解】依题意，数列｛区』的前几项为：

22

52x2+1

_3_3

-7-2x3+l

则其通项公式4=-----.

2〃+1

故选C.

【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.

6、B

【解析】由/（X）=炉-依在［1,+8）上是单调增函数，得到在［I,+8）上，/'（X）20恒成立，从而解得“W3,

故a的最大值为3

【详解】解：•••/（*）;好-5在口，+oo）上是单调增函数

A/（x）=3x2-a>0^[l,+8）上恒成立

即.W3X2,VxG[1,+°°）时,3W3恒成立,

好3,.Ia的最大值是3

故选：B

7、A

【解析】根据抛物线产=4%上一点P到x轴的距离为2若，得到点P（3,±2君），然后利用抛物线的定义求解.

【详解】由题意，知抛物线V=4x的准线方程为x=-l,

:•抛物线J2=4x上一点P到x轴的距离为2币,

则P（3,±2百），

•:点尸到抛物线的准线的距离为3+1=4,

•:点P到抛物线的焦点F的距离为4.

故选：A.

8、B

【解析】利用方差的定义即可解得.

[详解]由方差的定义，（XT+（lT+（两一,«,

9

则（再_%）+12-尤）+（%―%）=36,

所以数据%,，L的方差为：

故选：B

9、C

【解析】根据直线4的斜率求出其倾斜角可求得答案.

【详解】设直线4的倾斜角为a,所以tana=l,

因为0<«<180，所以0=45，

因为直线12的倾斜角比直线4的倾斜角小15。,

所以直线4的倾斜角为30，

则直线/2的斜率为tan30=［.

故选：C

10、C

【解析】由导数的定义可得lim“"°卡.b"/）=尸（不）,即可得答案

内一°Ax

［详解］根据题意，lim”尤一”"°）=山!!〃/一.）一/伉）—2,

-。Ax——。—Ax

故（（无。）=-2.

故选：C

11>D

【解析】根据直线和直线，直线和平面的位置关系依次判断每一个选项得到答案.

【详解】若。〃e,则a平行于过。的平面与。的交线c,当6〃c时，a//b,则存在无数条直线6,使得4〃。，

A正确；

若a垂直于平面a中的所有直线，则存在无数条直线〃，使得;，I，B正确；

若存在无数条直线〃，使得bua,a^a,则。〃a,C正确；

当。〃a时，存在无数条直线6,使得D错误.

故选：D.

12、A

【解析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，利用几何概型得出芝麻落在区域T内的概率，进而可得答案.

【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中三角形45c及其内部，

不等式（x-+y2«；表示的区域如下图中的圆及其内部：

,一—3131一11

由图可得，A点坐标为（-不,-R,3点坐标为（不,-不）,。坐标为（0,1）,。点坐标为（35）.

33119

区域。即ABC的面积为无='—（—,

11JT

区域r的面积为圆（x——）2+/=-的面积，即s=兀/=一，

2-44

其中区域r和区域Q不相交的部分面积即空白面积s白=（：a2—：X1X!）X!=T],所以区域r和区域Q相交的

JT兀一23兀+2

部分面积S交=7~76~~16

nS交3兀+2

所以落入区域「的概率为p=u=-.

所以均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域r中芝麻数约为360xP=30^+20^114.

故选:A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①.0②.点4,3,。或点。，与，2（填出其中一组即可）

【解析】（1）以向量A5，AD，A&为基底分别表达出向量AG和5。，展开即可解决;

（2）由上一问可知AC】•50=0,用上一问同样的方法可以证明出AC】-4。=0，

这样就证明了平面\BD与直线AG垂直.

【详解】(1)令。=裕，b=AB，c=AD>

则卜|=什=1|=1，=(a,c)=,Q=三

则有8£>=AD—AB=c-b，

AC]—AC+CC]-AB+AD+=/?+c+Q

故Ag-BD=(c-〃)4c+b+a)=c+b-c+a-c-b-c-b-a-b

=l2+lxlx-+lxlx--lxlx--l2-lxlx-=l+-+----l--=0

22222222

⑵令a=A4,,b=AB，c=AD>

则卜,任用=1',力)=(a,c)=(dc)=?

则有A[D=AD—AAi=c—a,

ACy—AC+CC1—AB+AD+74Al=Z?+c+Q

,,.................................................................2.................................................................・2

故AC】•AiD=(c-a)-(c+b+a)=c+b-c+a-c-a-c-a-b-a

=l2+lxlx-+lxlx--lxlx--lxlx--l2=0

22222222

故AG，A。，即

又由（1）之AG_L8£>,4Dc3£>=£）,

故直线AG垂直于平面ABD

同理可证直线ACi垂直于平面4〃C

故答案为：0;点A，3,D或点C耳,。

7

14、-##3.5

2

【解析】画出可行域，通过平移基准直线2x+y=0到可行域边界位置，由此求得2x+y的最大值.

'_3

x+y=2X~2

【详解】；八二

x-3y=01

y=—

r2

画出可行域如下图所示，

由图可知，平移基准直线2x+y=0到点A］：,1］时，

317

2x+y取得最大值为2x-+-=-.

222

7

故答案为：一

2

15、J5

【解析】由于直线/过定点P(-L-1),所以当CPLAB时，弦A3的长度最短，然后先求出CP的长，再利用勾股定

理可求出A3的长，从而可求出三角形ABC的面积

【详解】因为直线/：y=〃z(x+l)—1恒过定点1),圆C:(x-l)2+y2=6的圆心C(l,0),半径为几，

所以当CA5时，弦A3的长度最短，

因为|CP卜J(-+(-1-0)2=V5，

所以|AB|=2后辱=2,

所以三角形ABC的面积为A圳CP|=gx2xJ?=J?,

故答案为：^5

16、-2

Z|Z|

【解析】由复数除法的运算法则求出,，又,是纯虚数，可求出匕，从而根据共辗复数及虚部的定义即可求解.

Z2Z2

【详解】解：因为复数马=一2+历，z2=l+i,所以2=Z^i=(—2+次)(1—1)=：—2+(。+2),

z21+i22

Z1

又，是纯虚数，所以b=2,

Z2

所以4=—2+2i,所以Z]=—2—2i

所以Z1的虚部为-2,

故答案：-2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)6(2)2

【解析】(1)通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；

(2)根据题意可求得直线A5的方程为片x+4,联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OALOB,得0403=0,

根据数量积的计算即可得答案.

【小问1详解】

取A5的中点为E,当p=2时，抛物线为C：x2=4j,焦点歹坐标为尸(0,1),过A,E,5分别作准线尸-1的垂线,

重足分别为/,H,G,

在梯形ABGI中（图1）,E是A3中点，则2EH=AI+BG,

EH=2-（-1）=3,AB^AF+BF=AI+BG,

所以AB=2EH=6.

【小问2详解】

设4（和%）,3（>2，%）,由交A3于Z>（-2,2）,（图2）,

得AD=-1,kAB=l,则直线AB的方程为y=x+4,

,f%2=2py,,

由《“得x--2px-8P=0,

y=x+4"

所以M+9=2p,%i%2=—8p,

由得04.03=0，即石々+%%=0,

即g+（石+4）（尤2+4）=0,可得2g+4（西+%）+16=0,

即2x（—8〃）+4x2〃+16=0,所以p=2.

(2)±2；

(3)(1,0).

【解析】(1)由题意中离心率和长轴长可求出名"c,即可求出椭圆方程.

(2)设出-与4的坐标即直线m的方程，把直线m与椭圆方程进行联立写出韦达定理,

由题意以44为直径圆经过原点可得。voa=o,化简即可求出直线加的斜率.

(3)由题意可得圆。的方程，设双(31),初(%,兄),

由|ON『=3+|MN5和直线MN的方程化简，即可得到答案.

【小问1详解】

e=±=旦［a=Jj„2v2

<a3n<,\/?2=/-。2=3-1=2,「•椭圆。的方程为---1----=1.

I—c=132

2a=2A/3

【小问2详解】

由题意知直线加的斜率存在且不为0,设直线加的方程为丁-血=履=>丁=履+卡.

设4(和%)，4(々，乂)・

把直线机的方程与椭圆的方程进行联立得:

y=kx+y/6

22n(3k~+2)x2+6疯x+12=0.

XJ-1

[32

6疯12—6左②+12

由以44为直径圆经过原点知，OA.OA,=0.

c12—642+12

x-x+y-y1=0=>左=+2.

12120n-3k72-+--2------3--k-弓-+---2---

经检验，满足A>0,所以左=±2.

【小问3详解】

由题意可得圆O的方程为日+V=3,设N(3,t),M(x0,y0),考+巾=3,

由|ON|2=3+|MN|2得3?+产=3+(%—3)2+(%—r)2

=>3+XQ—6x0+yj—2/y0=0,苍+yj=3,3x0+ty0—3=0①.

当，=0时，x0=l,直线/的方程为x=l.

直线/过椭圆。的右焦点厂(L0).

当r/O时，直线/的斜率为-。且过(%,方),

3

y-y0=--(x-x0)^>ty-ty0=-3x+3x0@

把①代入②中得O=-3U-1).故直线/过椭圆C的右焦点F(l,0).

综上所述，直线/过椭圆C的右焦点尸(1,0).

19、(1)证明见解析；

【解析】(D设知(冽,〃)，首先证明左3MBM=一；，从而可得到左BM=3V，即得至!)3〃•；进而可得到四边

形4vBM为平行四边形；再根据。为A3的中点，即可证明直线必过坐标原点。

(2)设出直线MV的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件"用•左四=T可求出直线MN过定点,

从而可得到0Q过定点g,。］,进而可得到点。在以AH为直径的圆上运动，从而可求出动点Q的轨迹方程

【小问1详解】

\rtd加2nn9■,^4—

设M(/TZ,")，则----1~〃7=19即〃=1----=-------

444

因为A(—2,0),3(2,0),所以左期/时=’4-」4=号=一；

m+2m-2m-44

因为匕1M；，所以左BM=&W，所以A/V〃曲/.

同理可证A"〃BN.

因为AN〃5M,AM//BN,所以四边形4VBM为平行四边形，

因为。为A3的中点，所以直线必过坐标原点。

【小问2详解】

当直线MN的斜率存在时，设直线的方程为丁=五+乙N(x2,y2)

联立为*4，-4,整理得(1+4左2)炉+88%+4r-4=0,

y=kx+t、)

rmi8kt4产—4/7\/j\t?—4k?

则玉+々二一/病，/马=干记，%为=(例+才)(饱+%)=1+4/♦

因为左AMMATV=T，所以AM-4V=0，

222

1-ptsr.,人NT“\.4〃—4—16kt4+16kt—4A^

因为AMA-AN=xx+2(x,+x)+4+y)^=------H-------H-------H-------丁

112-'i2-)1221+4/1+4/1+4421+4公

5〃—16股+12/(5r—6Z)«—2%)八的用，67T

=----------弓-----=--------——-=0,解得。=一左或f=2人.

l+4k2l+4k25

当/=2大时，直线aW的方程为丁=左(％+2)过点A,不满足题意，所以舍去；

所以直线跖V的方程为y=+=+所以直线aW过定点］一■1,0；

当直线MN的斜率不存在时，因为"/女.=-1，所以直线"N的方程为％=-g,经验证，符合题意.

故直线过定点(一■j,。］.

因为。1为A"的中点，Q为AN的中点，所以QU过定点”］-■!，0)

因为GQ垂直平分公共弦AP，所以点。在以为直径的圆上运动，

该圆的半径厂=耳।AHl=-x^2--=—,圆心坐标为［一二,o］,

故动点。的轨迹方程为［x+1)+y2=((xw—2)

7C

20、(1)C=—；

3

⑵2"

zy2_i_A2_r21

【解析】(1)将题设条件化为一=2,结合余弦定理即可知。的大小.

lab2

（2）由（1）及正弦定理边角关系可得a+2沙=2（2sinA+若cosA）,再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求

最大值.

【小问1详解】

由(Z?+a+c)(Z?+a—c)=3aZ?,得力+a?-c?=ab，即4

1JT

由余弦定理得：cosC=-,又Ce(O,7i),所以C=§

【小问2详解】

由(1)知：C=—，则sinC=-->B=----A

323

设A48C外接圆半径为R,则

<2+2Z?=2/?(sinA+2sinB)=(sinA+2sinB)=2

sinC

=2«sin（A+°）<2asin（p=----,cos（p=

<7

当=］时，。+2〃取得最大值为2a

21、（1）证明见解析；（2）-

7

【解析】（1）利用题中所给的条件证明BE工DE,因为BCHDE,所以3C_LBE,BCLAE,即可证

明平面ABE；

（2）先证明平面BCDE,以E为坐标原点，EB,ED,£4的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量加，平面皮M的一个法向量〃，利用向量的夹角公式即可求解

【详解】（1）在图①中，连接BD，如图所示：

因为四边形ABC。为菱形，ZA=60°,所以△A3。是等边三角形.

因为E为A。的中点，所以3E_LAE,BE工DE.

XAD=AB=2f所以AE=Z）E=1・

在图②中，AD=y/2>所以AE2+E£>2=A£>2,即AELED.

因为BCIIDE,所以BCLAE.

又BEAE=E,AE,3Eu平面ABE.

所以BC,平面ABE.

(2)由(1)知，AE1.DE，AE±BE

因为BEcDE=E,BE,DEu平面BC£>£.

所以AEL平面BC£>£.

以£为坐标原点，EB,ED,E4的方向分别为x轴，V轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系:

则石（0,0,0）,