2023年高考数学知识点三轮练习10 平面向量小题基础练（解析版）

【一专三练】

专题10平面向量小题基础练-新高考数学复习

分层训练（新高考通用）

一、单选题

1.(2023•江苏泰州•统考一模)已知向量”,b满足W=I,W=2,<α,6>=g,则α∙(α+0=

()

A.-2B.-1C.0D.2

2.(2023•湖北•荆州中学校联考二模)已知向量加=(3,-4),"=(T2,5),则“〃+“=

()

A.-56B.69C.-43D.43

3.(2023•江苏•二模)在.45C所在平面内，。是BC延长线上一点且8O=4CO,E是A3

的中点，设A3=α,AC=by则EZ)二()

U4,-「31,

A.-a+-bB.-a+-b

5544

C54厂55,

C.——a+-bD.——a+-b

6364

4.(2023•江苏泰州•泰州中学校考一模)己知平面单位向量”,h,C满足

rrrrrr2πιrrr∣

<o,⅛>=(b,c)=<c,α)=—,则∣3α+26+c∣=()

A.0B.1C.√3D.√6

5.(2023•江苏南通•统考模拟预测)若向量a*满足∣d+%∣=∣4|+|6|,则向量ɑ,b一定

满足的关系为()

A.fl=0B.存在实数%，使得&

C.存在实数见〃，使得机〃=泌D.∖a-h∖=∖a∖-∖h∖

6.(2023•湖北武汉•统考模拟预测)平面向量〃=(-2㈤,。=(2,4),若QN则1-小

()

A.6B.5C.2√6D.2√5

7.(2023•湖南邵阳•统考二模)已知向量a=(l,3),6=(1,-1),c=(4,5).若a与b+呢

垂直，则实数4的值为（）

2

8.（2023•湖南•模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，AB=a,AO=或若=,

则DE=（）

Cl27D.L+U

A.-a——hC.-a+-b

333333

9.（2023糊南常德・统考一模）已知向量4为单位向量，向量6=（1,1）,（。+办（2“-〃）=1,

则向量d与向量6的夹角为（）

πC兀_πC兀

A.—B.—C.—D.一

6432

10.（2023•广东佛山•统考一模）已知单位向量α,8满足“∙∕7=0,若向量c=α+石

则cos（α,c）=（）

C,也

-2

11.（2023•广东深圳•统考一模）己知”，人为单位向量，且∣3α-5q=7,贝IJa与。。的

夹角为（）

兀C2兀一兀C5π

A.-B.—C.-D・—

3366

UUUUUU

12.（2023•广东茂名•统考一模）在.ABC中，AB=c,AC=b,若点M满足MC=2BM，

则AM=（）

1,2„2,1八52,>2,1

Aa.-b+-cB.—b——cC.-C——bD.-b+-c

33333333

13.（2023•广东湛江•统考一模）在平行四边形4?。。中，E为边BC的中点，记AC=a,

DB=b,则AE=（）

I121,

A.—a——b7B.-a+-b

2433

C.a+-b

2

14.（2023•浙江金华•浙江金华第一中学校考模拟预测）若向量α=（x,2）,6=（-1,2）,

且a_Lb,则卜I=（）

A.2√3B.4C.3√2D.2√5

15.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知向量d,E满足IaI=1,∣b∣=3,a-b=(3,1),则

∖3a-h∖=()

A.2√2B.√15C.3√2D.2√5

16.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)等边,ABC的边长为3,若A。=2DC，BF=FD，

则网=()

ʌ719r√∏r√15n√I3

2222

17.(2023•江苏南通•二模)在平行四边形ABe。中，BE=^BC,AF=^AE.若

AB=mDF+nAE,则%+〃=()

I354

A.—B.-C.-D.一

2463

二、填空题

18.(2023・湖北•校联考模拟预测)已知向量加=(-2,4),"=(x,-l),若机〃”，则X=

19.(2023•湖北•统考模拟预测)已知d=(4,2),6=(1/)，则。在匕方向上的投影向量

的坐标为.

20.(2023•湖南湘潭•统考二模)已知向量α=(见-2),b=(l,3),^(a-b)lb,则，〃=

21.(2023•广东惠州•统考模拟预测)已知平面向量4=(-2,4),6=区1),若&与。垂直,

则实数；I=.

22.(2023•广东广州•统考一模)已知向量4=(1,2)力=(3,同,4与〃+/＞共线，则口-4=

23.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知向量，=(〃?+4,〃2)出=(3,1),且)/力，则m=.

24.(2023•浙江温州•统考二模)已知向量α=(l,2),b=(2㈤，若(α+6”(o-b),则4=

25.(2023•江苏•统考一模)在A3C中，已知BO=2OC,CE=EA,BE与AD交于点

O.^CO=xCB+yCA(X,y∈R),则X+y=.

26.(2023•江苏•统考一模)已知向量”，b满足,力=2,卜卜3,a∙b=0-τS,c=b-2a>

则cos(4,C)=.

27.(2023•山东•烟台二中校联考模拟预测)已知q,g是夹角为120。的单位向量，若

m=2el+3e2,n=Aex-e1,则机，〃的夹角为.

28.(2023•山东济宁•统考一模)已知平面向量α=(T2),⅛=(∕w,-3),若α+26与α共

线，则m=.

29.(2023•湖南张家界•统考二模)已知〃是单位向量，⅛=(1,-1),若向量α与向量匕夹

角ɑe(θg),写出一个满足上述条件的向量α.

30.(2023•广东•统考一模)已知向量“力满足忖=2,忖=4,仅-α)∙α=0,则°与人的夹

角为•

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

【一专三练】

专题10平面向量小题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

一、单选题

1.(2023•江苏泰州•统考一模)已知向量”,b满足W=l,W=2,vα,6>=g,则”•(“+》)=

()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】a∙^a+b^-a^+α∙6=l+lx2xcosg=1-1=0.

故选：C

2.(2023•湖北•荆州中学校联考二模)已知向量加=(3,T),“=(T2,5),则，小〃+卜卜

()

A.-56B.69C.-43D.43

【答案】C

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合平面向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为向量〃z=(3,-4),〃=(T2,5),则w∙"+W=3x(T2)+(-4)x5+J(-12)2+5。

=-36-20+13=-43.

故选：C.

3.(2023•江苏•二模)在.ABC所在平面内，。是BC延长线上一点且8£>=48,E是AB

的中点，设AB=“，AC=h>W1JED=()

]4,„3-ɪ,

A.-ciH—bB.—ciH—b

5544

-5.4]5.5,

C.——a+-hD.——a+-h

6364

【答案】C

【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用AB、AC表示而即可判断作答.

4

【详解】在ABC所在平面内，。在BC延长线上，且BO=4CO,则BD=又E

是AB的中点,

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

14141454

所以Ez)=EB+BO=-A8+—BC=—A8+—(AC-AB)=—a+—S-“)=——a+-b.

23232363

故选:C

4.(2023•江苏泰州•泰州中学校考一模)已知平面单位向量α,b，C满足

rrrrrr2πιrrr∣

3)〉=Se=",a〉=T,贝中α+26+c∣=()

A.0B.1C.√3D.√6

【答案】C

rrrrrrπ

【分析】根据〈。,力=3,。〉=〈，,〃〉=看2可得6+°=_"，替换α,利用数量积的运算即可

求解.

【详解】如图，设a=OA,,h=OB,c=OC,

rrπ

因为S,c〉=W2，所以平行四边形OCE>8为菱形，

则ZXODB为正三角形，所以Or)=1,且。4,0。反向，

所以HC=-α，所以∣3α+2b+c∣=∣3(-0-c)+26+c卜卜0-2c∣=1+2c∣,

因为1+2c]=b+4c+4WHCoS年=l+4+4χlχlXU=3,

所以1+2；卜石，

故选：C.

5.(2023•江苏南通•统考模拟预测)若向量4,6满足∣α+5I=Ial+屹|,则向量α,b一定

满足的关系为()

A.a=OB.存在实数4,使得。=劝

C.存在实数八%使得ma=汕D.∖a-b∖=∖a∖-∖b∖

【答案】C

【分析】对于A,BQ通过举反例即可判断，对于C需分α与〃是否为O讨论即可:

【详解】∣α+b∣=∣4∣+∣b∣,两边同平方得

a2+2d∙h+h2=d2+2∖a∖∖b∖+h2

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

,

:,a-b=∖a∖∖h∖,..∣a∖∖h∖cosθ=∖a∖∖b∖9

对A,6=0时，α为任一向量，故A错误，

对B,若b=0,αwθ时，此时不存在实数4,使得α=">,故B错误，

对■于C,因为IaIMICOs。=Ial|。|,当Ia与)至少一个为零向量时，此时

一定存在实数m.".使得“i="6，

具体分析如下：

当α=0,IN6时,此时旭为任意实数,〃=0‘

当awO，O=O时，此时"为任意实数，m=0,

当α=0,b=0时，〃7，〃为任意实数，

当"0，1小时，因为IaIlblCoS9=∣α∣∣b∣,则有CoSe=1,根据，e[0,司，

则。=。，此时4,6共线，且同向，则存在实数4使得a=26(Λ>0),

Hfl

令几二一，其中〃?，"同号，即4=—b,即"20=应?，则存在实数加，儿,使得m4=应?，故

mm

C正确，

对于D,当α=0,⅛≠0时,I〃—b罔〃I—I〃I,故D错误,

故选：C.

6.(2023•湖北武汉•统考模拟预测)平面向量。=(-2出力=(2,4),若〃工人则卜一方卜

()

A.6B.5C.2√6D.2√5

【答案】B

【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得女，再利用平面向量模的坐标表示即可得

解.

【详解】因为α=(-2㈤,A=(2,4),α1⅛,

所以q%=-2x2+4k=0,解得后=1,

所以a—6=(-2—2#—4)=(Y,—3),

22

因止匕,一目=1J(-4)+(-3)=5.

故选：B.

7.(2023•湖南邵阳•统考二模)已知向量a=(l,3),6=(1,-1),c=(4,5).^a^b+λc

垂直，则实数4的值为()

2923一年高考数学重点专题三轮制刺演练

244

A.—B.—C.2D.—

19117

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案.

【详解】由题意，⅛+Λc=(l+4Λ,52-l),由“与6+；IC垂直，K∣Jα∙(⅛+Λc)=O,

,2

BP1+4∕1+3×(5Λ-1)=O,解得;I=历.

故选：A.

一2

8.(2023•湖南•模拟预测)如图，在平行四边形488中，Aβ=a,AC=匕，若AE=§AC,

则DE=()

I-N-N-I-I-/一乙-I-

A.—a——bB.—a——bC.-a+—bD.-a-∖--b

33333333

【答案】B

【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.

ɔɔɔ1

【详解】DE=AE-AD=-AC-AD=-^AB+AD)-AD=-a--b,

故选：B

9.(2023・湖南常德・统考一模)已知向量4为单位向量,向量6=(1,1),(。+6〉(2叱6)=1,

则向量&与向量b的夹角为()

π-兀π_兀

A.-B.-λC.-D.一

6432

【答案】B

【分析】利用向量模长的定义得到同=1，W=应，再根据向量的数量积公式即可求得

向量〃与向量b的夹角.

【详解】因为向量2为单位向量，向量石=(U),所以同=1,W=0,

又(α+θ)∙(2q-b)=242+α∙A-λ>2=1,即2,.+同WCOS<α,6>-忖=1,

所以cos<α,b>=[,又<α,6>e[(),π],则向量力与向量b的夹角为:，

故选：B.

10.(2023•广东佛山•统考一模)已知单位向量α,6满足“∙6=0,若向量

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

则CoS,,c）=（）

A.BB.ɪC.BD.-

2244

【答案】B

【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.

【详解】由单位向量α,6，则W=1，W=1,g∣J∣c∣2=（«+√3⅛）2=∣α∣2+2√3α∙b+3∣⅛∣'=4,

H=2,a∙c="∙（α+石6）=W+>∕3a∙b=1

故选：B.

11.（2023•广东深圳•统考一模）已知α,b为单位向量，且囚-50=7,则α与“口的

夹角为（）

πC2兀一兀—5兀

A.—B.—C.-D.—

3366

【答案】C

【分析】设“与夹角为凡利用∣3α-5b∣=7求出42，在利用夹角公式计算即可.

【详解】因为α,b为单位向量，

由∣3α-5∕J=7,

所以（3a-5。丫=49=9J-304»+257=49,

即9-30“力+25=49=>。力=-L

2

设，与α-b夹角为。，

又6e[0,π],所以e=F，

O

故选：C.

UUUUUll

12.（2023•广东茂名•统考一模）在一ΛBC中，AB=c,AC=6,若点M满足MC=28Λ∕，

则AM=（）

1,22,1—52,2,1

A.-b+-cB.—h——cC.-c——bD.-h+-c

33333333

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

【答案】A

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.

【详解】由题意可得：

UUirmmUiiirUUttιuι≡ιιιmιuu≡ιιικιUlnlɔlilk1r2r

AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-（zAC-AB]x=-AC+-AB=-b^-c.

33、13333

故选：A.

13.（2023•广东湛江•统考一模）在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记AC=α,

DB=b,则AE=（）

I1,C21

A.—a——bB.-a+-b1

2433

n31

C.a+-bD.-a+-b7

244

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算法则，求得CB=Jb-；α,结合AE=AC+CE=AC+gCB,

即可求解.

【详解】如图所示，可得CB=O8-。C=LoB-!/IC=Jb-La,

2222

所以AE=AC+CE=AC+gcB=a+J（；6-；a）=Ta+；/∖

故选：D.

14.(2023•浙江金华•浙江金华第一中学校考模拟预测)若向量α=(x,2),6=(-1,2),

S.aA-b>则IaI=（）

A.2√3B.4C.3√2D.2√5

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标表示求X,再山向量的模的坐标表示即得.

【详解】山“，人可得一x+2x2=0,

所以x=4,a=（2,2）,

2

∣α∣=√4+4=√20=2√5∙

故选：D.

15.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知向量2E满足Ial=1,∣⅛∣=3,α-1=(3,1),则

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

∖3a-h∖=()

A.2√2B.√15C.3√2D.2√5

【答案】C

【分析】根据向量模的公式得α∙8=O，再求模即可.

【详解】解：因为IaI=I,闻=3,a-b=(3,1),

所以，(a-b)2=∖a-b^=a2+b2-2a-b=l+9-2a-b=10,

所以，a-b=0-

又∣3α-6∣2=942+∕√-6α∕=i8,

所以|34-Al=3√2.

故选：C

16∙(2023∙浙江嘉兴•统考模拟预测)等边ABC的边长为3,若Ao=2OC，BF=FD,

则网=()

A.叵

B.叵r√∣5D.叵

2222

【答案】A

(15行、

【分析】取BC中点。，建立直角坐标系,得到AF=-ʌ,-ɪ,再根据模长的坐标

【44J

公式即可求解.

[W1∕4∖

BOC~ɪ

Mt)，叫HqC[1,0),

如图，取BC中点。，建立直角坐标系，!J

2李。，-鸣=(L-G),

山Ao=2OC,若。(x,y),则Az)=-AC=

3322

所以(x,y-乎)=(1,-6)得：

2。23_年高考数学重点专题三轮小刺巡练

15自

山5尸=尸£＞，若尸（根,〃），则BF=L3。X

2-2-2=

2

所以(m+∣∙,")=(∙∣,V)得:

所以AT-*与,故网=J'卜岁）=孚

故选:A

17.（2023•江苏南通•二模）在平行四边形ABCQ中，BE=^BC,AF=^AE.若

AB=mDF+nAE,贝∣JΛ∏+“=（）

【答案】D

【分析】利用平面向量的四则运算求出利,〃即可.

【详解】由题意可得AB=4E+E8=AE+g∕）A=AE+g（θ尸+E4）

=AE+-∖DF--AE∖=-DF+-AE,

213J26

4

所以〃?+”=§,

故选：D

二、填空题

18.（2023・湖北•校联考模拟预测）已知向量∕n=（-2,4）,"=（x,T）,若而〃则X=

【答案】T##0.5

【分析】利用平面向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】由机〃〃得：4X=2,X=5

2四支年高遁数学重点专题三轮冲刺逮练

故答案为：ɪ

19.(2023•湖北•统考模拟预测)已知d=(4,2),⅛=(1,1),则&在〃方向上的投影向量

的坐标为.

【答案】(3,3)

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】因为α=(4,2),6=(1,1),

(β∙⅛)h4÷2

所以α向量在方方向的投影向量为\晨∙j=反金∙(U)=(3,3).

故答案为：(3,3)

20.(2023•湖南湘潭•统考二模)已知向量α=(肛-2),b=(l,3),^(a-b)Lb,则-=

【答案】16

【分析】根据向量垂直列方程，由此求得加的值.

【详解】由(α—6)_L6,得(α—6)•6=0,RlJa./>=万,〃?—6=10,则m=16.

故答案为：16

21.(2023广东惠州•统考模拟预测)已知平面向量。=(-2,4),⅛=μ,l),若α与b垂直，

则实数4=.

【答案】2

【分析】向量垂直，数量积为0,利用向量的坐标运算求解参数.

【详解】因为“与b垂直，所以αS=0,即一24+4=0,解得/1=2.

故答案为：2

IrrI

22.(2023•广东广州•统考一模)已知向量α=(l,2)力=(3,x)M与a+/,共线，则=

【答案】2√5.

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知,a+b=(4,2+x)

又因为“〃(α+6),所以lx(2+x)=2x4,所以尤=6,

所以6=(3,6),所以α-A=(-2,-4),

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

所以∣a-6∣=J(_2>+(-4)2=2√5.

故答案为：2亚.

23.(2023・浙江・校联考模拟预测)已知向量，=(〃1+4,〃?),〃=(3/)，且)〃力,则%=.

【答案】2

【分析】根据向量平行的坐标公式，代值计算即可.

【详解】因为。=(〃?+4,〃?),匕=(3,1),a∕∕b>

由("z+4)xl-3"z=0,得∕M=2.

故答案为：2.

24.(2023•浙江温州•统考二模)已知向量α=(l,2),0=(2㈤，若(α+6%("b),则2=

【答案】4

【分析】先求出d+石和a-b，再根据平面向量共线的性质求解即可.

【详解】因为匕=(1,2)/=(2,2),

所以α+b=(3,2+2),α-6=(T,2T),

因为

所以3x(2-;L)=(T)x(2+2),

即4=4.

故答案为：4.

25.(2023•江苏•统考一模)在ABC中，已知BD=2DC,CE=EA,BE与AD交于点、

O.^CO=xCB+yCA(X,y∈R),则X+N=.

3

【答案】j##0.6

【分析】根据向量线性运算的几何表示可得CO=3x8+yCA,CO=xCB+2yCE,然后利

用共线向量的推论即得.

【详解】因为Bz)=2OC，CE=EA,

所以C8=3CO,CA=2CE<又CO=XCB+yCA,

所以C。=3xCD+yCA,CO=xCB+2yCE,又BE与A£）交于点

2。23_年高造数学重点专题三轮冲刺逮练

[3x÷y=1

所以ɪɔ

[x+2y=∖

123

所以x=g,y=g,即x+y=g,

3

故答案为：j.

26∙(2023∙江苏•统考一模)已知向量”，万满足卜|=2,忖=3,cι∙b=。.设c=b-2a，

4

【答