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文档简介

第8讲函数与方程组基础关1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是()A.0,2 B.0,eq\f(1,2)C.0,-eq\f(1,2) D.2,-eq\f(1,2)答案C解析因为函数f(x)=ax+b有一个零点是2,所以2a+b=0,b=-2a,所以g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),由g(x)=0得x=0或-eq\f(1,2),故g(x)的零点是0,-eq\f(1,2).2.(2020·佳木斯摸底)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:123456124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案B解析由表可知,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少有一个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.3.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定该根所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5),2))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(7,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),2))答案D解析设f(x)=x3-2x-1,一根在区间(1,2)上,根据二分法的规则,取区间中点eq\f(3,2),因为f(1)=-2<0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))=eq\f(27,8)-4<0,f(2)=3>0,所以下一步可以断定该根所在的区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),2)),故选D.4.若函数f(x)=2x-eq\f(2,x)-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案C解析因为函数f(x)=2x-eq\f(2,x)-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-eq\f(2,x)-a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.5.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3答案C解析作出函数y=|x-2|与g(x)=lnx的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.故选C.6.(2019·江西三校联考)设函数y=log2x-1与y=22-x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C解析设f(x)=(log2x-1)-22-x,则f(2)=1-1-20=-1<0,f(3)=(log23-1)-eq\f(1,2)=log23-log22eq\r(2)>0.所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点.所以x0∈(2,3).7.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,1) B.[1,+∞)C.(1,+∞) D.(2,+∞)答案C解析当a=0时,函数f(x)的零点是-1,-1{x|0<x<1},不符合题意;当a≠0时,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0,,f0f1<0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+8a>0,,-2a-2<0,))解得a>1;当Δ=0,即a=-eq\f(1,8)时,函数f(x)的零点是-2,-2{x|0<x<1},不符合题意.故选C.8.已知f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xlnx,x>0,,x2-x-2,x≤0,))则其零点为________.答案1,-1解析当x>0时,由f(x)=0,即xlnx=0得lnx=0,解得x=1;当x≤0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,解得x=-1或x=2.因为x≤0,所以x=-1.综上,函数的零点为1,-1.9.若函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,则正实数a的取值范围是________.答案(0,1]解析当x∈(-∞,1]时,2x∈(0,2].由函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,可得0<a2+a≤2,又由a为正实数,得a∈(0,1].10.(2019·衡水模拟)已知函数f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,3x,x≤0,))且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________.答案(1,+∞)解析如图,在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴上的截距.由图可知,当a>1时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个交点.组能力关1.函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为()A.5B.4C.3D.2答案B解析由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.2.(2019·石家庄模拟)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x2<0B.x1x2=0C.x1x2>1D.0<x1x2<1答案D解析作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨设x1<x2,则x1<-1,-1<x2<0,所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),此时10x1<10x2,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1.3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-eq\r(x)-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是________(由小到大).答案x1<x2<x3解析令y1=2x,y2=lnx,y3=-eq\r(x)-1,y=-x,∵函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-eq\r(x)-1的零点分别为x1,x2,x3,即函数y1=2x,y2=lnx,y3=-eq\r(x)-1与函数y=-x交点的横坐标分别为x1,x2,x3.分别作出函数的图象,结合图象可得x1<x2<x3.4.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点.(1)求m的值;(2)求函数的零点.解(1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,所以m=±2,当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不符合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知,当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为0.5.(2019·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.解由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-

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