2.5.1直线与圆的位置关系讲义-高二上学期数学人教A版选择性

2.5.1直线与圆的位置关系课标解读1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．学情分析：学习过点到直线的距离公式，学习过一元二次方程根的个数与判别式的关系；学习过联立两直线方程求解判断两直线的位置关系；混淆圆外一点和圆上一点的切线方程建立弦长公式和韦达定理之间的关系重难点重点：判断直线与圆的位置关系难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题温故导新：“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。用笔思考探究1如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？提示相交、相切与相离.探究2如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？提示转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解．探究3如何利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系探究4从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？提示1条，2条，切线上的一点和切线斜率.探究5当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？主动讲解：如何利用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系？讨论从圆上或圆外一点能引几条切线？怎么求相应的切线方程？双师导学：知识梳理一、直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有公共点相切只有公共点相离公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式Δ(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．例1已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．知识梳理二、圆的切线方程(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．例2（1）求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程.求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程.知识梳理三、求直线与圆相交时的弦长有三种方法①交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)求解.②弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).③几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).通常采用几何法较为简便.例3(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．聚焦核心：1.直线与圆的位置关系2.圆的切线方程2.圆的弦长公式强化反馈：1.直线3x+4y+12=0与圆(x1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是()A.0或2 B.2 C.2 D.2或23.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为.

4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y3=0交于A,B两点,则|AB|=.

5．如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽多少米?D【解析】圆心(1,1)到直线3x+4y+12=0的距离d=|3×1+4×2.【解析】∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,∴圆心O(0,0)到直线的距离|m|2=m,解得3.2x+y5=0【解析】易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=12则切线斜率为2,切线方程为y1=2(x2),即2x+y5=0.4.22【解析】圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0所以弦长|AB|=2r2-d2=245．解：以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,2).设圆的半径