新教材数学高中必修一课时素养评价8-1-2用二分法求方程的近似解

课时素养评价四十六用二分法求方程的近似解(15分钟30分)1.在用二分法求方程3x+3x8=0在(1,2)内近似根的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间 ()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定【解析】选B.因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以在区间(1,1.5)内函数f(x)=3x+3x8存在一个零点,又因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,所以在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x8存在一个零点,由此可得方程3x+3x8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.2.(2020·盐城高一检测)下列函数中,不能用二分法求函数零点的是 ()A.f(x)=2x1B.f(x)=x22x+1C.f(x)=log2xD.f(x)=ex2【解析】选B.A.函数的值域为R,可以使用二分法.B.函数的值域为[0,+∞),不能使用二分法.C.f(x)=log2x∈R,可以使用二分法求函数的零点.D.f(x)=ex2的值域为(2,+∞),可以使用二分法求函数的零点.3.(2020·锦州高一检测)函数f(x)=ax22x+1在区间(1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是 ()A.3<a<1 B.QUOTE<a<1C.3<a<QUOTE D.a<3或a>QUOTE【解析】选B.因为函数f(x)=ax22x+1在区间(1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,所以QUOTE即QUOTE,解得QUOTE<a<1.4.(2020·重庆高一检测)关于x的方程2020x=QUOTE有实数根,则实数a的取值范围为______.

【解析】设y=2020x,则y的值域为(0,+∞),所以2020x=QUOTE有实数根⇔QUOTE>0,即QUOTE<0,所以(3a+2)(a5)<0.解得,a∈QUOTE.答案:QUOTE5.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确到0.1).参考数值:x1.251.281251.31251.3751.52x2.3782.4302.4842.5942.828【解析】(1)令f(x)=2x+2x5.因为函数f(x)=2x+2x5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×15=1<0,f(2)=22+2×25=3>0,所以方程2x+2x=5有一解在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数值符号(1,2)1.5f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1.25)<0(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)>0(1.25,1.3125)1.28125f(1.28125)<0所以方程的近似解在区间(1.25,1.3125)上,因为1.25和1.3125精确到0.1的近似值都是1.3.即方程2x+2x=5的近似解可取为x≈1.3.(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设关于x的方程4xQUOTEb=0(b∈R),若该方程有两个不相等的实数解,则b的取值范围是 ()A.[1,0] B.[1,0)C.(1,0) D.(0,1)【解析】选C.令t=2x(t>0),则原方程可化为:t22tb=0(t>0),关于x的方程4xQUOTEb=0(b∈R),若有两个不相等的实数解,即方程t22tb=0有两个不相等的正根.因为t1+t2=2>0,所以QUOTE解得1<b<0,所以b的取值范围是(1,0).2.根据下表,能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是 ()x10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.892A.(1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)【解析】选B.设函数h(x)=f(x)g(x),则h(1)=f(1)g(1)=0.677(0.530)=0.147<0,h(0)=f(0)g(0)=3.0113.451=0.440<0,h(1)=f(1)g(1)=5.4324.890=0.542>0,h(2)=f(2)g(2)=5.9805.241=0.739>0,h(3)=f(3)g(3)=7.6516.892=0.759>0,所以h(0)·h(1)<0,得函数h(x)=f(x)g(x)的零点存在区间为(0,1).3.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.0625<0.1,符合题意.4.(多选题)定义域和值域均为[a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的结论是 ()A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解【解析】选AD.根据函数的图象,函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以方程f[g(x)]=0有且仅有三个解;函数g(x)在区间上单调递减,所以方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·苏州高一检测)已知函数f(x)=QUOTE若方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根,则实数a的取值范围是________.

【解析】若x<0,可得x2=ax,即x=QUOTE<0,解得a>1;由x>0,可得x3+4x2=ax,可得x24x+a=0,有两个不等的正根,可得Δ=164a>0,a>0,解得0<a<4,方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根,可得1<a<4.答案:1<a<46.已知函数f(x)=QUOTE2x,则fQUOTE________f(1)(填“>”或“<”);f(x)在区间QUOTE上存在零点,则正整数n=________.

【解析】易知函数f(x)=QUOTE2x为减函数,则fQUOTE>f(1),因为f(1)=12=1,fQUOTE=2QUOTE>0,所以f(1)fQUOTE<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为QUOTE,因为f(x)在区间QUOTE上存在零点,所以QUOTE=QUOTE,解得n=2.答案:>2【补偿训练】若方程lgx=2x的根x0∈(k1,k),其中k∈Z,则实数k=________.

【解析】因为lgx=2x,所以lgx+x2=0,令g(x)=lgx+x2,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(1)=1<0,g(2)=lg2>0.由零点存在定理可知,x0∈(1,2),因为x0∈(k1,k),其中k∈Z,则k=2.答案:2三、解答题7.(10分)用二分法求函数y=2x33x25x+3在区间(2,1)内的零点.(精确到0.1)【解析】y=2x33x25x+3,因为f(2)<0,f(1)>0,所以函数在(2,1)内存在零点,取(2,1)的中点1.5,经计算f(1.5)<0,又f(1)>0,所以函数在(1.5,1)内存在零点,如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如表:(a,b)(a,b)的中点f(a)f(b)fQUOTE(2,1)1.5f(2)<0f(1)>0f(1.5)<0(1.5,1)1.25f(1.5)<0f(1)