2023-2024学年天津市高二年级上册1月阶段测试期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市高二上册1月阶段测试期末数学模拟试题

一、单选题

1.图中的直线444的斜率分别为勺，月，&，则有（）

A.ki<k2<k3B.kl>k2>ki

C.匕<&<&2D.k,<ki<k2

【正确答案】C

【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.

【详解】由图象可得，ki<O<k3<k2,

故选：C

2.｛%｝是首项和公比均为3的等比数列，如果%=3M则〃等于（）.

A.2020B.2021C.2022D,2023

【正确答案】D

【分析】根据题意求出｛α,,｝通项公式即可得出答案.

【详解】根据题意可知｛《,｝的通项公式为。“=3",当4,=32°”时，«=2023

故选：D

22

3.椭圆工+工=1的离心率是（）

94

A.WB.更C,-D.I

9393

【正确答案】B

【分析】求出〃、C的值，可得出椭圆的离心率的值.

22

【详解】在椭圆F∙^-=1中，α=3,b=2,则c=—6?='

94

因此，椭圆£+其=1的离心率为e=g=@.

94a3

故选：B.

4.在等差数列｛4｝中，a3+a1=6,则出+4=（）.

A.3B.4C.6D.8

【正确答案】C

【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案.

【详解】由等差数列的性质知.4+6=%+%=6

故选：C.

5.已知点A（2,0）,B（λ√3）,则直线A3的倾斜角为（）

A.30oB.60oC.120°D.150°

【正确答案】B

【分析】求出直线AB的斜率即得解.

【详解】解：由题得直线A8的斜率上=且二2=6，

3-2

设直线的倾斜角为α,.∙.tana=G,a∈[0,180）,

所以a=60.

故选：B

6.双曲线的渐近线方程是（）.

169

91634

A.y=±—XB.y=±—xC.y=?-xD.y=±-x

16943

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】在双曲线鸟-4=1中，a=4"=3,因此,该双曲线的渐近线方程为y=±纥=fx.

169a4

故选：C.

7.在数列｛〃”｝中，%,an=1-------〃≥2”CN+,则"23=（）

a

2,i-∖

A.ɪB.1C.-ID.2

【正确答案】A

【分析】利用数列的递推公式求出数列｛4｝的前4项,推导出｛%｝为周期数歹∣J,从而得到生⑼

的值

【详解】%=1=1-2=-1,α=I-----=1+1=2,α=1-----=I-J=不，

3422

ala2a3

可得数列｛《｝是以3为周期的周期数列，∙∙∙⅛3=¾674+l

故选：A

8.已知抛物线r=4y上一点A的纵坐标为4,则点A到抛物线焦点的距离为

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】D

【详解】试题分析：抛物线∙√=4y焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1),准线

方程为y=T,因为点A的纵坐标为4,所以点A到抛物线准线的距离为4+1=5,因为抛

物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.

本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生

的运算求解能力.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简

化运算.

9.如图，在三棱锥P-ABC中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足CM=23”,

设PA=a,P8=仇PC=c,则MN=()

C.——a+-b——c

233

【正确答案】A

【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解.

【详解】因为点N为棱AP的中点，CM=2BM,设P4=α,P8=6,PC=c,

所以MN=MB+BP+PN=LCB-PB+LPA

32

1I1ɔI101

=-(PB-pc]-PB+-PA=-PA——PB——PC=-a——b——c.

3、,2233233

故选：A.

10.已知£,尸2是双曲线W-A=Ia>06>0的左、右焦点，点6关于渐近线的对称点恰

ab

好落在以尸2为圆心，I。KI为半径的圆上，则该双曲线的离心率为()

A.√2B.√3C.2D,6+1

【正确答案】C

【分析】先求解B到渐近线的距离，结合04〃尸2加，可得NF/MF2为直角，结合勾股定理

可得解

【详解】由题意,F∕(-C,0),F2(C,0),

设一条渐近线方程为产2x,则B到渐近线的距离为-TT=T=b.

a√α^+h-

设B关于渐近线的对称点为MBM与渐近线交于A,J.∖MFl∖^2b,

A为的中点，又。是BF2的中点，

.∙.OA//F2M,：.NFlMF2为直角，

...△MF/2为直角三角形，

二由勾股定理得4c2=c2+4b2

3c2-4(c2-a2),.*.c2=4o2,

.".c=2a,e=2.

故选：C

二、填空题

11.已知直线4：2x+W)，+l=0与33x-y-l=0平行，则机的值为.

2

【正确答案】-弓

【分析】根据给定条件利用两直线平行是性质列式计算即可.

【详解】因为直线4：2x+〃?y+l=O与g3x-y-l=0平行，

所以当〃?=0时，两条直线不平行，不符合题意;

22

当∕n≠0时，---=3,解得m=—.

m3

,2

故答案为.-H

12.已知圆/+一4y-5=0与f+/+2才-1=0相交于A,B两点,则直线AB的方程

是.

【正确答案】y+i=0

【分析】根据两相交圆与公共弦关系，两相交圆方程相减所得方程即是公共弦方程.

【详解】两圆方程相减f+/+2x—1—(χ2+y+2x-4y-5)=0,得y+l=O

故y+l=0

13.数歹!]｛。”｝的前"项和S.=∕+”,"eN*,则。“=.

【正确答案】In

【分析】根据a,,=1：_S“>2来求得数列｛为｝的通项公式.

【详解】当〃=1时，α∣=S∣=2,

当〃N2时，a“=S,,-S>∣=∕+"-[("-iy+("-l)]=2".

当〃=1时上式也符合，

所以=2〃.

故2n

14.等比数列｛4｝是递减数列，前〃项的积为9,若几=44,则//=.

【正确答案】2

【分析】由题意可得0<4<l,且勺>0,由条件可得4%…%=的心…%,化简得

4。%《243=4,再由4・45=40《3=4臼2，求得495的值.

【详解】解：等比数列｛”"｝是递减数列，其前〃项的积为7；(〃eN"),若兀=47；,设公比为

q,

则由题意可得0<4<l,且4>0∙

.∙.dχd--y...67jʒ-4α∣α)...a<),∣^∣2^∣3=4.

又由等比数列的性质可得G,%=q(>α∣3=q∣4∣2,•••用•%5=2.

故2.

22

15.已知AB分别是Clz(x-l)+(y-3)=l,C∕(x+5)2+(y-l)2=4上的两个动点，点

M是直线X-y=。上的一个动点，则IAMI+1M8∣的最小值为.

【正确答案】5

【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可.

【详解】如图，圆Cs是圆Cl关于直线x-y=O的对称圆，

所以圆G的方程为(x-3)。(尸1)2=1,圆心为C3(3,1),且由图知,

∣M4∣+∣Mβ∣=∣M41∣+∣Mβ∣

.∙.G,B,M,A1,C3五点共线时，IMAl+1"M有最小值，

2

止匕时，(IMA∣+1MB∖)miι=C2C3-1-2=√8+0-3=5

所以p½4∣+∣M同的最小值为5.

故5.

三、解答题

16.已知等差数列｛%｝满足%=9,其前11项和SU=I21；数列物,｝是单调递增的等比数列,

且满足4+0=9,仇&=8.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式.

(2)求数列｛〃｝的前n项和Tn.

【正确答案】(D%=2"-l("eN*),⅛=2"-'(rteN∙)

(2)^,=2^'-l

【分析】(1)设数列｛4｝的公差为d,由已知条件可得出关于卬、d的方程组，解出这两个

量的值，可得出等差数列｛4｝的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得4、/

的值，可求得等比数列出｝的公比，进而可得出数列出｝的通项公式；

(2)利用等比数列的求和公式可求得7.

'a5=al+4d=9rɪɪ

【详解】⑴解：设数列｛4｝的公差为d,由已知可得。IIXI(M…，解得1.，

S=1I1lq+----------=121[d=2

ll2

所以，%=q+("-l)d=2"-l("∈N)

bl+b4=9

4=1

因为数列｛2｝是单调递增的等比数列，由已知可得外么=々2=8,解得

仇=8

b∖<b*

所以，数列也｝的公比为4=，/=2,所以a=*g"T=2"T("∈N*).

(2)解.τ="'"F)=1Ξ≤=2"-I

"∖-q1-2

17.已知圆C"2+y2-2y-4=0,直线/：∕nr-y+l-77F=0(∕77∈R).

(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线/与圆C的位置关系；

⑵设直线/与圆C交于4、8两点，若直线/的倾斜角为120。，求弦AB的长.

【正确答案】(1)圆心(0,1),半径石，/与圆相交：

(2)√17.

【分析】(1)将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r,求出直线/经过的定点,

判断定点与圆的位置关系即可判断/与圆的位置关系；

(2)求出圆心到直线的距离d,根据∣AB∣=2彳彳即可求弦长.

【详解】(1)由题设知圆C:X2+(>-∣)2=5,

...圆C的圆心坐标为c(θ,l),半径为r=6∙

又直线/可变形为：y-l=1),则直线恒过定点M(l,l),

V12+(1-1)2=1<5,

...点M在圆C内，故直线/必定与圆相交.

(2)由题意知加*0,

直线I的斜率k=m=tan120°=—75,

.∙.圆心C(0,1)到直线/：∖∕ix+y-G-l=0的距离"=

ΛIAB∣=2y∣r2-d2=2%;=√Γ7.

18.已如数列｛%｝的前“项和为S.,a,ɪɪ,当〃≥2时，5„S„.,=S„.,-S„.

(1)证明数列为等差数列，并求S.；

2"

⑵求数列彳不的前八项和为

【正确答案】⑴证明见解析，5,,=-±τ

n+

(2)Tn=n-2'

【分析】(D由S,Λττ=S,τ-S,可得9-£二=1,即可证明数列是以2为首项，1为公

差的等差数列，从而求出S,；

2"

(2)由(1)知F=5+1)∙2",利用错位相减法计算可得.

3“

【详解】(1)解：当〃22时，由SBi=Sa-S,,,得J=I,

ɔwɔw-l

所以数列是以J=L=2为首项，1为公差的等差数列.

S“，4

所以1="+1,BPSn=-L-.

s“«+1

2"

(2)解：由(1)知∙r=5+l)∙2",

l,τ

所以［=2x2+3x22++n×2"-+(rt+l)×2,①

所以27；=2x22+3x2'++n×2π+(n+∖)×2n+',②

①一②得=4+(22+23++2")-5+l)∙2*'

=4+(2'm—4)-("+1>2'用=—n∙2π+l,

所以C,="?'".

19.如图，在直三棱柱ABC-Λ18∣G中，AClBC,BE=EB、,AB=CC、=2BC=2.

(1)证明：AClClEi

(2)求直线BBl与平面AEG所成角的正弦值；

(3)求平面AEa与平面ASE的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵回

IO

⑶巫

4

【分析】(1)以C为坐标原点，C4,CB,CG的方向分别为X，y，Z轴的正方向建立空间直角

坐标系C-孙Z,利用坐标法证明即可;

(2)根据空间向量坐标法求解即可；

(3)根据空间向量坐标法求解即可；

【详解】（1）解：依题意，以C为坐标原点，C4,C8,CG的方向分别为X，Z轴的正方向

建立空间直角坐标系C-肛z,如图，

则A(√3,0,0),A(√3,0,2),B(0,l,0),Bi(0,1,2),C1(0,0,2),E(0,l,l).

C4=(√3,0,0),C1E=(0,1,-1),

因为C4<E=0,

所以AC,C∣E.

(2)解：结合(1)得AG=(―底0,2),AE=(—6,1,1),期=(0,0,2),

设平面AECi的法向量为m=(x∣,χ,zj,

m∙AC.=-y∕3x,+2z.=0

则,r''

m∙AE=-√3x1+yl+ZI=0

令%=2,得〃?=(2,后,百).

贝i=H咽加第T噜

设直线BBI与平面AEC1所成角为Θ,

所以直线8B∣与平面4EG所成角的正弦值为画.

(3)解：结合(1)BE=(0,0,1),

设平面A8E的法向量为"=（七,%，22），

n∙BE=Z2=

+z=

n∙AE=-GX2÷J22

令X2=l,则”=(1,6,0),

由(2)知平面AEG的法向量为zn=(2,6,石)

设平面AEF和平面EFC的夹角为α,

/∖∖m∙n∖2+3回

贝γ°sα=3sM丽=标=〒•

所以，平面AEF与平面EFC的夹角余弦值为叵.

4

22

20.已知椭圆C:]+亲∙=l(a>6>0)上任意一点到两个焦点用-6,0),E(G,0)的距离的

和为4.经过点0(1,0)且不经过点M(l,l)的直线与椭圆C交于P,。两点,直线MQ与直线x=4

交于点E,直线PE与直线MD交于点M

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：—EAW的面积为定值.

【正确答案】(l)W+y2=i

4'

(2)证明见解析

【分析】(1)根据焦点坐标得出C=G,根据椭圆的定义得