数学思维训练教程(小升初)学生版

第1讲计算〔一〕速算与巧算一速算与巧算速算与巧算整数计算根本公式平方、立方公式数列及特殊公式特殊方法分数计算拆分与裂项几个常用拆分分数循环小数化分数二、根底知识〔一〕整数计算1、平方、立方公式完全平方公式：平方差公式：仅做了解完全立方公式：仅做了解立方和公式：立方差公式：2、数列及特殊公式等差数列：通项公式：求项数公式：求和公式：和=〔首项+末项〕×项数÷2等比数列：〔n≤9〕这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原那么，我们可以得到上述结果。3、特殊方法换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c……到达化繁为简。〔二〕分数计算1、拆分与裂项2、几个常用拆分分数……3、循环小数化分数……的大小？……=1也就是：=1，可是这是为什么呢？铺垫：==========注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环局部连上第一个循环节组成的多位数与不循环局部组成的多位数相减所得到的差。三：经典透析【例1】【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】＝【例8】【例9】四、拓展训练=〔－＋…－＋〕×〔1－＋－＋－…＋〕－〔1－＋－＋－…＋－〕×〔－＋…－〕=_______。=________。=________。=________。=________。=________。=________。=________。________。=________。

第2讲计算〔二〕比拟大小、估算、定义新运算一：知识地图：SHAPE二：根底知识〔一〕：比拟大小1、分数的大小比拟1〕通分：a〕通分母：化成分母相同的分数比拟，分子小的分数小；b〕通分子：化成分子相同的分数比拟，分母小的分数大。2〕比倒数：倒数大的分数小。3〕与1相减比拟法：a〕真分数：与1相减，差大的分数小；b〕假分数：与1相减，差大的分数大。4〕经典结论：a〕对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，那么分子分母都大的分数比拟大；b〕对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，那么分子分母都小的分数比拟大。对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比拟：〔，且为非零自然数时〕〔1〕即“真分数越加越大，越减越小”〔〕如；〔2〕即“假分数越加越小，越减越大”。5〕放缩法。6〕化成小数比拟：小数比拟大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！7〕两个数相除进行比拟。如：和，，所以。2、小数的大小比拟常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比拟。〔二〕估算问题1、常用方法1〕放缩法：为求出某数的整数局部，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。2〕变换结构：将算式变形为便于估算的形式。2、经典步骤估算和式整数局部：a〕令和式结果等于A；b〕最小的数×个数＜A＜最大的数×个数；c〕求A。对于较简单的题目，使用“最小的数×个数＜A＜最大的数×个数”就可以确定整数局部。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比拟原式与〔最小的数+最大的数〕×个数÷2的大小，以及与〔中位数×个数〕的大小〔总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数〕。〔三〕定义新运算这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读→理解→应用。三：经典透析【例1】如果，，那么，中较大的数是_________。【例2】如果，A与B中哪个数较大？<提示>这类题目解题方法：1〕2〕3〕通过适当相加组合为A【例3】在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么=<提示>这类题目解题方法：1〕2〕3〕通过适当相加组合为A【例4】÷【例5】老师在黑板上写了7个自然数，让小明计算它们的平均数〔保存小数点后面两位〕，小明算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其他都对了”，那么正确的得数应是。探究：事实上一个自然数被7除如果除不尽，那么所得的商的小数局部一定按照“1、4、2、8、5、7”的顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：【例6】，哪个更大，为什么？【例7】数【例8】如果，那么。【例9】两个用同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心，A的直径为7，重量为22，B的直径为10.6，重量为33.3。问哪一个球是实心球？四、拓展训练在___.，求A的整数局部.：.有8个数，如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是1〕试比拟。2〕如果A=.有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9。那么精确到小数点后两位数是多少？1〕比拟以下小数，找最大的数：2〕比拟以下5个数，排列大小：如果用maxmax.假设有一种计算器，它由A，B，C，D四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置的运算程序如下：装置A：将输入的数加上6之后输出；装置B：将输入的数除以2后输出；装置C：将输入的数减去5之后输出；装置D：将输入的数乘以3后输出；这些装置可以互相连接，如在装置A后接装置B就记做：A→B。例如输入1后，经过A→1〕假设经过A→B→C→D，输出120。那么输入的数是多少？2〕假设经过B→D→A→C，输出13，那么输入的数是多少？有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：求左边方框里的整数从左至右分别是什么？用表示不超过a的最大整数。例如=0.3；，记请计算的值.

第3讲数阵图、幻方一，知识地图二，根底知识三：幻方我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如1，2，3，6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般为等差数列〔不完全是〕。2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。如上列数中的1，13与4，10的平均数均为7。4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为21，等于中心数7的三倍。5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等〔同学们能不能知道为什么？〕如第一行和第一列中有一个共同数8，那么其他两个数1+12=11+2。综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。趣题导引：数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格”，问其他同学说：“你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说：“这还不简单啊，这是幻方，每行每列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字，说：“那你们能把这个表格补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚刚非常活泼的同学都沉默了，同学们，你们可以补充完整吗？三、经典透析【例1】2008年奥运会快要到了，以下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把1—9分别填入五个圆相互分割的九个局部，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？【例2】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【例3】右图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。【例4】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。【例5】在左图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数〔其中已填好一个数〕，使得任一行、任一列及两条对角线上的三数之和都等于21。【例6】如下图，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。〔1〕求x；〔2〕如果中间的空格内填入100，试在上一小题的根底上，完成填图。四、拓展训练将1～6填入右图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围。1～9分别填入小三角形内〔每个小三角形内只填一个数〕，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入以下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的数，那么标有★的圆内填的数是多少？把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填在右以下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。问这个最小的数是多少？

第4讲数论〔一〕整除、奇偶性、极值问题知识地图：根底知识：1.整除的性质〔1〕性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱〔a±b〕。〔2〕性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。〔3〕性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a。〔4〕性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果b∣a，c∣a，且〔b，c〕=1，那么bc∣a。如：如果3∣12，4∣12，且〔3，4〕=1，那么〔3×4〕∣12。〔5〕性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。如果b｜a，那么bm｜am〔m为非0整数〕；〔6〕性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除。如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；2.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。②能被5整除的数的特征：个位是0或5。③能被3〔或9〕整除的数的特征：各个数位数字之和能被3〔或9〕整除。注意：从这种证明过程中，我们可以进一步得到两个小技巧：〔1〕“弃九法”。即看各位数字和能否被9整除，只要先把9划去，或者其它的和是9的几个数划去，剩下的数字之和是否是9的倍数，那么可以判定这个数能否被9整除。〔2〕得余数。通过上面的过程，我们可以看出这个数被9除的余数就是在弃9法以后的余数。类似地，判断能否被3整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种简便方法。④能被4〔或25〕整除的数的特征：末两位数能被4〔或25〕整除。⑤能被8〔或125〕整除的数的特征：末三位数能被8〔或125〕整除。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差〔大减小〕是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？例如：判断13574是否是11的倍数？⑦能被7〔11或13〕整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差〔以大减小〕能被7〔11或13〕整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？例如：判断3546725能否被13整除？希望大家能熟练掌握以上判别方法，并理解我们是如何证明的，考试不会考这些证明，但是这种证明的方法在做一些其他数论题目的时候是非常有效的。上面介绍了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除数的特征。那么，怎样判断一个数能否被6、12、15……等整数整除呢？显然6=2×3，12=3×4，15=3×5……这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把6，12，15……这类数的整除问题转化为同时能被2和3整除或3和4整除……等简单的问题来做。整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k〔k为整数〕表示，奇数那么可以用2k+1〔k为整数〕表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。奇数与偶数有许多的性质奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数奇数个奇数的和或差〔相加减〕为奇数偶数个奇数的和或差〔相加减〕为偶数加减法中偶数不改变结果的奇偶性〔偶数都可以看作0或没有操作〕加减法中奇数改变结果的奇偶性〔奇数都可以看作1〕奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数a+b与a-b同奇或同偶5.最值分析〔离散〕重要结论：两数和一定时，这两数差越小〔越接近〕乘积越大例如：把14分拆为两个自然数之和，使它们乘积最大。例如：把14分拆为3个自然数之和，使它们乘积最大。【例1】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。【例2】各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？【例3】一个六位数，它能够被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是多少？【例4】下面这个199位整数：被13除，余数是多少？【例5】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？【例6】如右图，用一块边长18厘米的正方形硬纸片，在四个角上截去4个相同的小正方形〔图中阴影局部〕，然后把四边形折合起来，做成一个没有盖的长方体纸盒。截去的4个相同的小正方形的边长是多少厘米时，长方体纸盒的容积最大？【例7】在黑板上写1～2007这2007个自然数，每次任意擦去两个数，然后写上它们的和或差，一直这样重复操作，经过假设干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？【例8】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字〔每个数字仅用一次〕组成一个四位数和一个五位数，使乘积最大：那么□□□□□×□□□□应该怎样填？假设将1——9这九个数字，分别填入下面九个□中，使乘积最大：□□□×□□□×□□□四、拓展训练要使能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？〔应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提。〕2、能被11整除，那么，n的最小值为多少？3、求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除。4、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是。5、四十一位数55…55□99…99〔其中5和9各20个〕能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？6、把三位数接连重复写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求=？7、等式1993×□+4×□=6063，其中□都是自然数，试求这两个“□”的和。8、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？9、桌子上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个，能否经过假设干次翻动使得所有杯子杯口全部向下，假设可以，请指出最少需要多少次？并给出具体的翻法。假设不可以，请说明理由；10、某农场打算用60米长的篱笆靠墙围成5个面积大小相等的羊圈〔如下图〕，问：假设要求每个羊圈的面积尽可能大，应为多少平方米？aaaaaaabbbbb

第5讲数论〔二〕约数倍数、质数合数、分解质因数一、知识地图二、根底知识〔一〕1．质数与合数2.质因数与分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，12=2×2×3。常用的是100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数，这也是多年考试的一个重点。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。局部特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。例如：120=23×3×5，而不写成：120=2×2×2×3×5。判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于的质数〔均为整数〕，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数，再列出所有小于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数。例如，149很接近169=13×13，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。〔二〕公约数和最大公约数2.最大公约数的性质：〔1〕两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即假设a＝a1×〔a，b〕，b＝b1×〔a，b〕，那么〔a1，b1〕＝1〔2〕两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。[a，b]×〔a，b〕＝ab还有如下推广：几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。3.求最大公约数的方法：〔1〕分解质因数法：〔2〕短除法：〔3〕辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。 注意：什么时候下，适宜用辗转相除法呢？要去求最大公约数的两个数比拟大，或者两个数中含有大质数，我们很难通过分解质因数或者短除法解决的时候，辗转相除法就可以大展身手！例如：求600和1515的最大公约数。4.求一组分数的最大公约数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。例如：5.求一个数所有的约数的个数和约数和：用分解质因数形式表示：N=a1p1×a2p2×a3p3×a4p4×……×anpn〔a1、a2、…、an为合数N的质因数〕所求的约数的个数A＝〔p1＋1〕×〔p2＋1〕×〔p3＋1〕×…×〔pn＋1〕；例如：504=23×32×7例如：231=3×7×11，252=22×32×76.求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；即为所求。例如：三、经典透析【例1】把26、33、34、35、63、85、91、143分成假设干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？【例2】自然数、满足以下两个性质：⑴、不互素；⑵、的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么+的最小值是多少？【例3】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？【例4】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例5】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的局部不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是毫米。【例6】一个苹果重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？【例7】一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？(祖冲之杯小学数学邀请赛)【例8】一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。【例9】3个质数的平方和是39630，那它们的和是多少？四、拓展训练1、〔〕，要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号里最小应填什么数？2、4200有多少个约数？这些约数的和是多少？3、23个不同的整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能值到达的最大的值是多少？4、10个非零自然数的和是1001，那么它们的最大公约数的最大值是多少？5、有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？6、现在有4个自然数，他们的和是1111。如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这4个数的公约数最大可能是7、2007+2008×444444的个位数为多少？8、一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？

第7讲几何〔一〕平面图形预备正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形.毕克定理毕克定理假设一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，那么它的面积为．如图，计算各个格点多边形的面积．右图是一个方格网，计算阴影局部的面积．分别计算图中两个格点多边形的面积．【稳固】求以下各个格点多边形的面积．【稳固】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？右图是一个面积单位的图形．求矩形内的箭形的面积．【稳固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．模型一三角形等高模型在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，那么可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形正方形可以看作特殊平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．例：如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？如右图，和都是矩形，长厘米，长厘米，那么图中阴影局部的面积是平方厘米．【稳固】如下图，平行四边形的面积是50平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【稳固】如以下图，长方形和长方形拼成了长方形，长方形的长是20，宽是12，那么它内部阴影局部的面积是．如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影局部的面积．【稳固】图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影局部的面积是．长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影局部面积是多少？如右图，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？【稳固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？【稳固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？如图，三角形的面积为1，其中，，三角形的面积是多少？如右图，，，阴影局部面积为5平方厘米，的面积是平方厘米．【稳固】如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积．【稳固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．【稳固】如图，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【稳固】如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影局部的面积是多少？一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是．问：长方形的面积是多少平方厘米？如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，假设的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【稳固】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．在长方形内部有一点，形成等腰的面积为16，等腰的面积占长方形面积的，那么阴影的面积是多少？图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，那么图中阴影局部三角形的面积是多少平方厘米．如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影局部的面积．【稳固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【稳固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，那么图中阴影面积为多少平方厘米？如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影局部的面积是多少平方厘米？如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？如图，阴影局部四边形的外接图形是边长为的正方形，那么阴影局部四边形的面积是．【稳固】正方形的边长为10，，，那么．模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在中，分别是上的点如图=1\*GB2⑴(或在的延长线上，在上)，那么图=1\*GB2⑴图=2\*GB2⑵如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【稳固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影局部)、乙两局部，，，，乙局部面积是甲局部面积的几倍？在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．面积为平方厘米，，求的面积．如图，三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，假设四边形的面积为5，那么四边形的面积是．如图，，，，，．求．如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，假设的面积是，那么的面积是多少？

模型三任意四边形模型---蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规那么四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个局部，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【稳固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积，求：⑴三角形的面积；⑵？四边形的对角线与交于点(如下图)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？如图相邻两个格点间的距离是1，那么图中阴影三角形的面积为．【稳固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积．如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积．如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．如图，正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积．如图，在中，、分别在边、上，与相交于,假设、和的面积分别是3、2、1，那么的面积是．

梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的对应份数为．【稳固】如以下图，梯形的平行于，对角线，交于，与的面积分别为平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．梯形的对角线与交于点，梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比．如以下图，四边形中，对角线和交于点，，并且，那么的长是多少？梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？【稳固】如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．如以下图，一个长方形被一些直线分成了假设干个小块，三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积．【稳固】如图，长方形中，假设三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，那么三角形1的面积为________．如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影局部的面积．【稳固】在以下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影局部的面积．如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影局部的面积．是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．那么阴影局部的面积是平方厘米．【稳固】右图中是梯形，是平行四边形，三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影局部的面积是平方厘米．【稳固】右图中是梯形，是平行四边形，三角形面积如下图(单位：平方厘米)，阴影局部的面积是平方厘米．如下图，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【稳固】如下图，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【稳固】如图，长方形中，阴影局部是直角三角形且面积为，的长是，的长是.那么四边形的面积是多少？如图，长方形被、分成四块，其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．(98迎春杯初赛)如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是．模型四三角形相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型；②．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．如图，在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份．如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？如图，平行，假设，那么________．如图，中，，，互相平行，，那么．【稳固】如图，平行，且，，，求的长．【稳固】如图，中，，，，，互相平行，，那么．中，平行，假设，且比大，求．如图：平行，，，求的长度【稳固】如图，平行，，那么________．如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米．那么的面积是平方厘米．在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？如图，线段与垂直，，，那么图中阴影局部面积是多少？如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，那么四边形的面积________．三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影局部的面积．正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长．如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？【稳固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽．图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影局部，求阴影局部的面积是多少？图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，那么阴影局部的面积是．如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，那么三角形的面积是平方厘米．如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，，，求．右图中正方形的面积为1，、分别为、的中点，．求阴影局部的面积．模型五燕尾定理在三角形中，，，相交于同一点，那么．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，是上任意一点，请你说明：如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．那么四边形的面积等于．【稳固】如图，，，三角形的面积是，求阴影局部面积.【稳固】如图，三角形的面积是，在上，点在上，且,，与交于点．那么四边形的面积．【稳固】如图，，，与相交于点,那么被分成的局部面积各占面积的几分之几？【稳固】如下图，在中，，，与相交于点，假设的面积为，那么的面积等于．【稳固】如图，三角形的面积是，，，与相交于点，请写出这局部的面积各是多少?【稳固】如图，在上，在上，且,，与交于点．四边形的面积等于，那么三角形的面积．【稳固】三角形中，是直角，，，，，那么三角形(阴影局部)的面积为多少？【稳固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影局部的面积是多少平方厘米?如下图，在四边形中，，，四边形的面积是，那么平行四边形的面积为________．

是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与交于，那么四边形的面积是_________平方厘米．如下图，在中，，是的中点，那么．【稳固】在中，，，求？第8讲几何〔二〕曲线图形知识地图根底知识小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。【例1】〔☆☆☆〕图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点。正方形的边长为10，那么阴影局部面积是多少？〔π取3.14。〕【例2】〔☆☆☆〕如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少？【例3】〔☆☆☆〕求右图中阴影局部的面积。〔取3〕【例4】〔☆☆☆〕如图，三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求阴影局部的面积。审题要点：题中每一条阴影局部面积可以看做是两个大小弓形的面积之差。【例5】〔☆☆☆〕如图，ABCD是一个长为4，宽为3。对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积。〔取3〕审题要点：要求边扫过的面积，只需分别看一边旋转所得图形。分析：1、容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的，如右图：2、研究AB边的情况。在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过局部应该介于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影局部：3、研究AD边扫过的图形。由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如以下图阴影局部所示：【例6】〔☆☆☆〕求圆中阴影局部与大圆的面积之比和周长之比。【例7】如图，半圆半径=40CM，BM=CN=DP=22，每个阴影局部的弧长为半圆弧长的，求阴影局部面积？〔=3〕【例8】如图，哨所门前的两个正三角形哨台拴了两条狼狗，拴狼狗的铁链子长为10米，每个哨台的面积为现在要绿化哨所所在地〔哨所面积忽略不计，把其看做一点，在其周围20米范围内铺上草地〕为了防止狼狗践踏，那么绿化的实际面积为多大适宜？〔=3〕【例9】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：这枚硬币自身转动了多少圈？四，拓展训练1、如图，四边形是平行四边形，，，，高CH=4cm,、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，阴影局部面积是多少平方厘米？如图，在平行四边形中，三角形、的面积分别是73、100，求三角形的面积。3.，∠1=15°，圆的周长为，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影局部面积？4.环图由内径为4cm，外径为55.4年华罗庚金杯数学邀请赛〕如右图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？〔取3〕6.个边长分别为4cm的等边三角形木块。现将三角板沿水平线翻滚，如以下图，那么从B点开始到结束所经过的总长度为多少？7.以下图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC=60，此时BC长5厘米。以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120，点A，C分别到达点E，D的位置。求AC边扫过的图形即图中阴影局部的面积。〔取3〕 8.如图阴影局部面积是80平方厘米，求环形面积。9、图中阴影局部的面积是40平方厘米。求环形的面积。10如图，两圆半径均为1厘米，且图中两块阴影局部的面积相等。求OO的长度。11图，由圆和扇形组成。圆内有两条直径垂直相交于圆心O，圆的直径和扇形的半径相等，长度均为2厘米，扇形的圆心角为直角。求图中阴影局部的面积。12图中正方形的边长是10厘米，求阴影局部的面积。第9讲几何〔三〕立体图形知识地图根底知识万丈高楼平地起。我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：立体图形外表积体积注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。三、最短路线和展开图的形状和立体图形的展开图结合最为紧密的是图形侧面的最短路线问题。你需要把握的重要一点是：两点之间永远直线线段最短。四、染色问题：由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×〔n－2〕块，一面涂有红色的有6×〔n－2〕2块，没有涂色的有〔n-2〕3块。例如：右图是4×5×6正方体，如果将其外表涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？三面——顶点二面——棱一面——面 一句话：“角三棱二面唯一。”【例1】〔☆☆☆〕一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm。酒瓶的容积是多少？【例2】〔☆☆☆☆〕如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm阴影局部以CD为轴旋转一周，那么阴影局部扫出的立体的体积是多少立方厘米？审题要点：以CD为轴确定阴影局部旋转后的形状。【例3】〔☆☆☆〕左以下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。【例4】将一个棱长为整数的〔单位：分米〕的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一面涂红色的有____块。原来长方体的体积是____立方分米。审题要点：芯是此题的关键从芯入手。真题实战1、一个正方形纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大？〔=3.14〕2、如以下图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。那么，这60块长方体外表积的和是多少平方米？3、以下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上外表的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的外表积是多少平方厘米？4、如以下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。立体图形的体积〔〕立方厘米。2〔C〕35.球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶的底面直径为60厘米。皮球有4/5的体积浸在水中〔见以下图〕。问：皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？6.一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米〔见右图〕。如果将这个零件接触空气的局部涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？7.两个圆柱体容器，底面积之比为5：4，甲容器水深8厘米，乙容器水深4厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深为多少厘米？8.底面周长为9.42厘米的圆柱体，从中间斜着锯去一段后,形状如图，求锯后的体积。

第10讲典型应用题〔一〕和差倍、年龄、植树问题知识地图根底知识〔一〕和差问题：两个数的和及两个数的差，求这两个数。方法①：〔和－差〕÷2＝较小数，和-较小数=较大数方法②：〔和＋差〕÷2＝较大数，和-较大数=较小数例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。〔二〕和倍问题：两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。方法：和÷〔倍数＋1〕＝1倍数〔较小数〕1倍数〔较小数〕×倍数＝几倍数〔较大数〕例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。〔三〕差倍问题：两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。方法：差÷〔倍数－1〕＝1倍数〔较小数〕1倍数〔较小数〕×倍数＝几倍数〔较大数〕例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。〔四〕年龄问题关键①：年龄差不变例如：今年爸爸比儿子大30岁，明年爸爸比儿子大几岁？关键②：年龄的倍数关系是变化的。例如：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？〔五〕植树与方阵问题不封闭型〔直线〕植树问题直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1；全长=株距×〔棵数-1〕；株距=全长÷〔棵数-1〕；例如：学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两端都种，需要多少棵树？直线一端植树：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数；例如：小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？直线两端都不植树：棵数=段数-1=全长÷株距-1；株距=全长÷〔棵数+1〕；例如：学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？封闭型〔圆、三角形、多边形等〕植树问题棵数＝总距离÷棵距；总距离＝棵数×棵距；棵距＝总距离÷棵数。例如：小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：果园周围共栽种果树多少棵？方阵问题在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，那么正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。例如：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？经典透析〔☆☆☆〕一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，那么原来的小数是多少？〔☆☆☆〕某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？〔☆☆☆〕小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱假设买一支圆珠笔少4角；假设买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是。〔☆☆☆〕四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问：甲、乙二人现在各多少岁？老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍，4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子的年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问：每条边上白棋子有多少枚？一个实心正六边形阵，每条边有16人，那么一共有人；最外面一层有人；从外向内数第2层每条边有人，共人；最外面三层有人；每条边增加1人，这一层增加人；原正六边形方阵再增加一层能增加人；拓展训练姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？在一次期中考试中，小强的英语成绩和数学成绩之和是194分，他的数学成绩和语文成绩之和是186分，而语文成绩和英语成绩之和是180分，那么，小强的英语、数学和语文成绩到底各是多少？某学校方案栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原方案要栽种这三种树各多少棵？今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。”问：甲、乙二人现在各多少岁？全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？8.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？9.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？10.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去〔如右图〕，甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇〔把角上的树看作第一棵树〕。操场四周栽了多少棵树？11.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？

第11讲典型应用题〔二〕鸡兔同笼、盈亏、平均数问题知识地图根底知识公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。假设每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？几匹布？鸡兔同笼问题例如：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？盈亏问题盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。1.“盈亏”型例如：学而思学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒那么少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？2.“盈盈”型明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少个同学？蛋糕的价钱是多少？3.“亏亏”型学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？平均数问题平均数=总数÷参与平均的事物个数平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数平均数问题最根本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大经典透析从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团〔每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成〕来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个那么正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？【例８】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。 【例９】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？拓展训练鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错〔包含不答〕1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？4.学校提高班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？5.学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，假设每辆车乘28人那么有13名同学上不了车，假设每辆车乘32人那么还有3个空座。问：有多少名同学？多少辆车？6.钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？7一筐水果中有苹果和梨假设干个。假设每次拿出1个苹果和1个梨，那么拿到没有苹果时，还剩下50个梨；假设每次拿走1个苹果和3个梨，那么拿到没有梨时，苹果还剩下50个。那么这筐水果共有个。8.从5开始的一串连续的自然数5，6，7，8，…，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是_______。9.A、B、C、D、E是五个不同的自然数，从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，C是偶数，求D是多少？10.马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起。有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001。原来这2000个数的平均数是多少？

第12讲牛吃草问题一、知识地图：二、根底知识：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚刚的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们来看看下面这幅图：我们对于根本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为＂五步法＂：求出两个总量。总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数每天长草量×天数=总共长出来的草草的总量－总共长出来的草＝原有的草原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天〔或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛〕经典透析【例1】有一牧场，养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？【例２】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？【例３】有一个水池，池底有一个翻开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？【例４】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛那么24天可将草吃完。现有牛假设干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头〔草每日匀速生长〕？【例５】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？【例６】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？【例７】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？【例８】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【例９】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？拓展训练：1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。假设用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：假设要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草〔每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等〕？3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，那么9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，那么9点5分就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？4.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？〔每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉〕5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？6.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派假设干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？7.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？8.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影局部，草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。〔在这2天内其他草地的草正常生长〕之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。然后牧民把的牛放在阴影局部的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

第13讲行程〔一〕相遇追及〔屡次〕、电车问题知识地图简单相遇追及匀速直线行程屡次相遇追及〔包括火车过桥〕发车间隔问题屡次相遇追及环形线路行程〔包括钟表问题〕根底知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的根底。典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“”这一条根本关系式的展开，比方我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：；；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始〔初始〕距离，我们可以通过图示来理解。屡次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律，这局部内容涉及以下几个方面：求相遇次数，求相遇地点，由相遇地点求全程举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n次相遇时，他俩行走路程和相当于〔2n-1〕个线段总长。同样的相邻两次的追及事件〔速度快的追上速度慢的〕发生的时间间隔都相等。第n次追及时，他俩行走路程差相当于〔2n-1〕个线段总长。发车间隔问题有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇〔追及〕事件时间间隔。这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：经典透析甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发