材料力学第五章平面图形的几何性质

材料力学第五章平面图形的几何性质平面图形基本概念与分类静矩与形心面积与周长惯性矩、极惯性矩和惯性积平行移轴公式与转轴公式主惯性轴和主惯性矩目录CONTENTS01平面图形基本概念与分类平面图形是二维平面上由点、线等元素构成的封闭或非封闭图形。定义平面图形具有形状、大小、方向和位置等几何特性，这些特性决定了图形的性质和行为。特点平面图形定义及特点椭圆形平面上满足“从两个定点出发的线段长度之和等于常数（且大于两定点间距离）的所有点的集合”，具有对称性和焦点性。三角形由三条直线段首尾相接构成的封闭图形，具有稳定性。四边形由四条直线段首尾相接构成的封闭图形，包括矩形、平行四边形等。圆形平面上所有与定点距离相等的点的集合，具有对称性和中心性。常见平面图形类型在材料力学中，平面图形的几何性质对于结构设计和分析至关重要，如梁的弯曲、板的振动等问题都需要考虑图形的几何特性。工程应用平面图形的几何性质是数学领域的重要研究对象，对于理解更高级的数学概念和方法具有重要意义。数学基础平面图形的美观性和和谐性在很大程度上取决于其几何性质，因此研究几何性质有助于创造更具美感的艺术作品和设计。美学价值几何性质研究意义02静矩与形心静矩定义及计算公式静矩定义平面图形对某一坐标轴的静矩等于微元面积与各微元至该轴距离乘积的积分。计算公式对于平面图形，其对x轴的静矩$S_x=intydA$，对y轴的静矩$S_y=intxdA$。形心定义形心是描述物体质量中心位置的一个物理量，对于均质物体，形心与质心重合。确定方法利用静矩可以确定平面图形的形心位置。若平面图形对x轴和y轴的静矩分别为$S_x$和$S_y$，图形面积为A，则形心的坐标为$(frac{S_y}{A},frac{S_x}{A})$。形心位置确定方法由若干个简单图形组合而成的平面图形称为组合图形。组合图形定义对于组合图形，可以先分别求出各个简单图形的静矩和面积，然后根据静矩的叠加性质和面积的叠加性质求出组合图形的总静矩和总面积，最后利用形心公式求出组合图形的形心位置。求解方法组合图形静矩与形心求解03面积与周长圆形面积$pi$乘以半径的平方，即$S=pir^2$矩形面积长乘以宽，即$S=atimesb$三角形面积底乘以高的一半，即$S=frac{1}{2}timestext{底}timestext{高}$梯形面积上底加下底的和乘以高的一半，即$S=frac{1}{2}times(text{上底}+text{下底})timestext{高}$平行四边形面积底乘以高，即$S=text{底}timestext{高}$平面图形面积计算方法周长定义三角形周长平行四边形周长梯形周长圆形周长（或称为圆的周长）矩形周长平面图形所有边的长度之和。两倍的长加上两倍的宽，即$P=2(a+b)$$2pi$乘以半径，即$P=2pir$三边之和，即$P=a+b+c$两倍的相邻两边之和，即$P=2(a+b)$所有边的长度之和，通常没有通用公式，需要具体计算。周长定义及求解过程补全法将复杂图形补全成一个规则图形，计算规则图形的面积或周长后，再减去补全部分的面积或周长。利用对称性如果图形具有对称性，可以只计算一部分的面积或周长，然后利用对称性求出整体的面积或周长。间接法通过已知条件间接求出复杂图形的面积或周长，例如利用相似图形的性质等。分割法对于复杂图形，可以将其分割成几个简单的图形，分别计算面积或周长后再求和。复杂图形面积和周长计算技巧04惯性矩、极惯性矩和惯性积惯性矩定义及物理意义平面图形对某轴的惯性矩，等于图形内各质点对该轴的距离平方与质量的乘积的总和。惯性矩定义惯性矩反映了平面图形对某轴的转动惯性的大小，是计算截面抗弯、抗扭刚度的重要参数。物理意义VS平面图形对某点的极惯性矩，等于图形内各质点对该点的距离平方与质量的乘积的总和。计算公式J_p=∫r^2dA，其中r为质点到指定点的距离，dA为面积微元。极惯性矩概念极惯性矩概念及计算公式惯性积定义平面图形对两个相互垂直的轴的惯性积，等于图形内各质点对这两个轴的距离乘积与质量的乘积的总和。工程应用惯性积在工程中常用于计算截面的抗扭刚度、扭矩引起的应力等。在结构设计和分析中，了解截面的惯性积有助于更准确地预测结构的扭转性能。惯性积定义及其在工程中的应用05平行移轴公式与转轴公式初始设定设定图形在坐标系中的初始位置，以及需要移动的轴线和移动后的新位置。面积矩计算计算图形对原点和移动后新位置的面积矩，得到两者之间的关系式。静矩计算利用面积矩计算图形的静矩，得到静矩与移动距离之间的关系式。推导公式综合上述步骤，推导出平行移轴公式，用于计算图形移动后的几何性质。平行移轴公式推导过程转轴公式是用于计算图形绕某一轴线旋转一定角度后，其几何性质发生变化的公式。在工程中，经常需要将图形绕某一轴线旋转一定角度以满足设计要求，如机械零件的旋转、建筑结构的倾斜等。此时，可以利用转轴公式计算旋转后的图形性质。转轴公式定义应用场景转轴公式介绍及应用场景联系平行移轴公式和转轴公式都是用于计算图形几何性质变化的公式，在工程实践中具有广泛的应用。两者可以相互补充，根据实际需求选择合适的公式进行计算。区别平行移轴公式适用于图形在平面内平行移动的情况，而转轴公式适用于图形绕某一轴线旋转的情况。两者的应用场景和计算方式有所不同，需要根据具体情况进行选择和运用。两个公式在工程实践中的联系与区别06主惯性轴和主惯性矩主惯性轴定义过图形质心，且使图形对其惯性积为零的一对正交坐标轴称为主惯性轴。要点一要点二求解方法通过求解图形对于任意轴的惯性积，并令其等于零，从而解出主惯性轴的方程。主惯性轴定义及求解方法主惯性矩概念图形对于其主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。工程意义主惯性矩反映了图形在特定方向上的刚度特性，对于结构设计和分析具有重要意义。例如，在桥梁、建筑等工程结构中，主惯性矩可用于评估结构的抗弯刚度、稳定性以及振动特性等。主惯性矩概念及其在工程中的意义结构形状优化通过调整结构的形状，使得主惯性轴与主要受力方向一致，从而提高结构的刚度和稳定性。材料