Chapter4-1向量组及其线性组合

chapter4-1向量组及其线性组合2023REPORTING向量组基本概念与性质线性组合与线性表示向量空间与子空间矩阵与向量组的联系总结回顾与拓展延伸目录CATALOGUE2023PART01向量组基本概念与性质2023REPORTING由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组。向量组定义给定向量组A：a1，a2，…，am，其表示方法为将各向量按列（或行）排列成矩阵形式。向量组表示方法向量组定义及表示方法线性组合与线性表示若向量组B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A和向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。线性相关与线性无关在向量组A中，若存在不全为零的数k1，k2，…，km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0，则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的。向量组线性相关性判断极大线性无关组：设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr是S的一个部分组，如果满足以下两个条件，则称α1,α2,...αr是S的一个极大线性无关组α1,α2,...αr线性无关。向量组中任意r+1个向量都线性相关。秩的概念：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。极大线性无关组与秩的概念两个向量组等价当且仅当它们可以互相线性表示，即两个向量组的秩相等。两个m×n矩阵A和B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得B=PAQ。向量组等价性质探讨等价向量组的判定定理等价向量组的性质PART02线性组合与线性表示2023REPORTING线性组合定义：设$V$是数域$P$上的一个线性空间，$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$是$V$中的向量，$k_1,k_2,ldots,k_s$是数域$P$中的数，那么向量$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$称为向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$的一个线性组合。线性组合性质零向量是任意向量组的线性组合，即$0=0alpha_1+0alpha_2+ldots+0alpha_s$。向量组中每个向量都可以看作是其余向量的线性组合加上自己，即$alpha_i=0alpha_1+ldots+1alpha_i+ldots+0alpha_s$。向量组的线性组合仍然是该向量组的线性组合。0102030405线性组合定义及性质线性表示定理：向量$beta$可以由向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$线性表示的充分必要条件是存在数域$P$中的一组数$k_1,k_2,ldots,k_s$，使得$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$。若向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。若向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$线性无关，则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示。推论线性表示定理及其推论平面向量基本定理在平面内，如果两个向量不共线，那么这一平面内的任一向量都可以由这两个向量唯一地线性表示。待定系数法设$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$，通过解方程组求解系数$k_1,k_2,ldots,k_s$。空间向量基本定理在空间中，如果三个向量不共面，那么这一空间内的任一向量都可以由这三个向量唯一地线性表示。求解向量线性表示方法案例一设$alpha=(1,2,3),beta=(4,5,6),gamma=(7,8,9)$，判断$gamma$是否可以由$alpha,beta$线性表示。解设$gamma=xalpha+ybeta$，则有方程组$begin{cases}x+4y=72x+5y=83x+6y=9end{cases}$，解得$begin{cases}x=-1y=2end{cases}$，因此$gamma=-1alpha+2beta$。案例二设$alpha=(1,0),beta=(0,1),gamma=(1,1)$，判断$gamma$是否可以由$alpha,beta$线性表示。解设$gamma=xalpha+ybeta$，则有方程组$begin{cases}x=1y=1end{cases}$，解得$begin{cases}x=1y=1end{cases}$，因此$gamma=1alpha+1beta$。案例分析：具体向量组线性表示过程PART03向量空间与子空间2023REPORTING向量空间是由一组向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性，即向量空间中任意两个向量的线性组合仍属于该空间。向量空间定义向量空间具有加法交换律、结合律，数乘分配律等性质。向量空间性质向量空间定义及性质子空间概念子空间是向量空间的一个子集，且满足向量空间的定义，即子空间中任意两个向量的线性组合仍属于该子空间。子空间判定方法判断一个子集是否为子空间，需要验证该子集是否满足向量空间的定义，即是否对加法和数乘封闭。子空间概念及其判定方法

基、维数与坐标的概念引入基的概念基是向量空间中的一个线性无关向量组，且能够线性表示出该空间中任意一个向量。维数的概念向量空间的维数是指该空间中任意一个基所含向量的个数，维数反映了向量空间的“大小”。坐标的概念对于向量空间中任意一个向量，可以表示为基中向量的线性组合，该线性组合的系数称为该向量在基下的坐标。案例描述给定一个向量空间及其一组向量，求解该空间的基和维数。案例分析首先判断给定的向量组是否线性无关，若线性无关则可作为基；然后计算基的个数即为空间的维数。若给定的向量组线性相关，则需要通过初等变换等方法求出一组线性无关的向量作为基，再计算维数。案例分析：求解向量空间基和维数问题PART04矩阵与向量组的联系2023REPORTING矩阵可以用一个二维数组简洁地表示一组向量，方便存储和计算。简洁性矩阵运算有一套完整的运算法则，可以方便地对向量组进行各种操作，如线性组合、旋转、缩放等。可操作性矩阵可以直观地表示向量组的空间分布，有助于理解和分析向量组的性质。可视化矩阵作为向量组表示形式的优势维度变换矩阵运算可以实现向量组的维度变换，如将一组二维向量映射到三维空间，或者将一组三维向量降维到二维平面。性质保持某些特殊类型的矩阵运算可以保持向量组的某些性质不变，如正交变换可以保持向量的长度和夹角不变。线性变换矩阵乘法可以实现向量组的线性变换，如旋转、缩放、平移等。通过矩阵运算，可以方便地改变向量组的形状和分布。矩阵运算对向量组的影响分析123矩阵的秩定义为其最大非零子式的阶数，而向量组的秩定义为其最大线性无关组的向量个数。两者之间存在密切联系。定义关联一个矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩。因此，可以通过计算矩阵的秩来确定向量组的秩。等价性矩阵秩和向量组秩的概念在解决线性方程组、判断向量组线性相关性等问题中具有重要应用价值。应用价值矩阵秩与向量组秩的关系探讨案例一判断一个向量组是否线性相关。可以通过构造一个以该向量组为列向量的矩阵，然后计算该矩阵的秩。如果秩小于向量个数，则该向量组线性相关；否则，线性无关。案例二求一个向量组的最大线性无关组。可以通过对以该向量组为列向量的矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形式。然后选取非零行的首非零元所在列对应的原始向量，即可构成最大线性无关组。案例三求一个向量组生成的子空间的一组基和维数。可以通过构造一个以该向量组为列向量的矩阵，然后计算该矩阵的秩。秩即为子空间的维数，而最大线性无关组即为子空间的一组基。案例分析：利用矩阵方法解决向量组问题PART05总结回顾与拓展延伸2023REPORTING向量组是由一组向量构成的集合，这些向量可以是行向量或列向量，具有相同的维数。向量组的概念向量组的线性组合是指每个向量乘以一个标量系数后相加得到的向量，该向量可以表示为向量组中向量的线性组合。线性组合的定义若向量组中存在一个向量可以由其他向量线性表示，则该向量组线性相关；否则，该向量组线性无关。线性相关与线性无关向量组的秩是指向量组中极大线性无关组所含向量的个数，它反映了向量组的线性独立程度。向量组的秩本章知识点总结回顾常见误区和易错点提示误区一认为只要向量组中向量个数多于维数就一定线性相关。实际上，只有当向量组中向量个数大于维数时，才可能存在线性相关的向量组。易错点一在计算向量组的秩时，容易忽略向量组中可能存在的线性相关关系，从而导致计算错误。误区二忽视零向量的存在。零向量与任何向量都线性相关，因此在判断向量组线性相关性时需要考虑零向量的影响。易错点二在求解向量组的线性组合时，需要注意标量系数的取值范围，避免出现无解或多解的情况。向量空间的概念向量空间是由一组满足特定运算规则的向量构成的集合，它是线性代数中的重要概念之一。向量空间的基是指该空间中一个极大线性无关组，而维数则是指基中所含向量的个数。基和维数是描述向