2023年高考数学试卷A及答案

绝密★启用前试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写

在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在

试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不

准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

I.在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={0,-4},B={∖,a-2,2a-2],若4^8,则“=

2

A.2B.1C.-D.1

3

3.某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟

从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该该校初中部和高中部分别有400和200名

学生，则不同的抽样结果有

AC45r∙5种B.C20C0种C.C30C30种D.C40C20

c∙'^200⅛(X)200200200200200200

竺二为偶函数，则a=

4.若/(x)=α+α)ln

2x+1

1

A.-|B.0C.D.1

2

5.已知椭圆C:g+y=l的左焦点和右焦点分别为《和尼，直线y=x+与C交于A,B

两点，若^RAB的面积是^BAB的两倍，则m=

2ʃ√22

A.-B.ɪc-〒D.-

333

数学试题第1页（共5页）

6.己知函数f(x)="eX-InX在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为

2

A.epB.eC.e",D.e^2

cosa="J，,则Sin°L=

7.已知a为锐角，

42

一一

3—5

A.JB.-1+3C3P5

-D.

8^^8•44

8.记5“为等比数列｛4｝的前〃项和，⅛S4=-5,56=21S2,则Sg=

A.120B.85C.-85D.-120

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得。分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=UOo,PA=2,点C在底

面圆周上，且二面角P-AC-。为45。，贝IJ

ʌ该圆锥的体积为π

b该圆锥的侧面积为4防

CAC=2√*2

dZ∖PAC的面积为“5

1().设O为坐标原点，直线y=-&x-l)过抛物线C:"=2px(p>0)的焦点，且与C交于

M,N两点，/为C的准线，则

A.P=2

Q

Bl≡l=-

3

c以MN为直径的圆与/相切

dZXOMN为等腰三角形

II.若函数〃外=〃111》+2+:伍*0)既有极大值也有极小值，贝IJ

XX2

ʌ⅛c>0gab>OQ⅛2+8ac>0DaC<。

数学试题第2页(共5页)

12.在信道内传输O,1信号，信号的传输相互独立.发送O时，收到1的概率为α(0<α<l),

收到O的概率为1-α;发送1时，收到。的概率为尸(0<尸<1),收到1的概率为1-尸.

考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输

是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信

号即为译码；三次传输时.，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收⅛J1,0,

1,则译码为1).

A,采用单次传输方案，若依次发送1，0,1,则依次收到1,0,1的概率为

(1-a)(l-Z?)2

b采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为pa-/7/

C采用三次传输方案，若发送b则译码为1的概率为/(I-4)2+(1-/)3

d当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为O的概率大于采用单次传输

方案译码为O的概率

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.已知向量a,满足Ia-M=、.后，∣a+R=I2a-)∣,则IM=

14.底面边长为4的正四棱锥平行于其底面的平面所截，截去一个地面边长为2,高为3的

正四棱锥，所得棱台的体积为.

15.已知直线》-加)，+1=0与0(?«-1)2+>2=4交于43两点，写出满足“∆ABC面积为f”

的m的一个值

已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图，A5是直线y=l

16.

2

K

与曲线y=∕(x)的两个交点，若|A8|=_,则f(π)=

数学试题第3页(共5页)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

记AABC的内角A,B,C的对边分别为4,b,c,已知AABC面积为，。为8C的

中点，且AO=1.

(1)若NAOC=JL求tanB；

3

(2)若62+c2=8,求〃，c.

18.(12分)

已知｛a,J为等差数列，b„Jan-6,塾记5”,T分别为数列｛a｝.，｛A｝“的前”项

-24,n为偶数.

和，S4=32,73=16.

(1)求｛4,J的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，T„>S11.

19.(12分)

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于C的人判定为阳性，小

于或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为P(C);

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的

频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率P(C)=O.5%时，求临界值C和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+ce[95,105],求/(C)的解析式，并求/(C)在区间[95,105]

q(c).当的最小值.

数学试题第4页(共5页)

20.（12分）

如图，三棱锥A-BCo钟，DA=DB=DC4⅛

BDLCD,NA£)8=NADC=60。，E为BC的中点.

(1)证明：BC1DA；

(2)点F满足E声=际，求二面角O-AB-F的

正弦值.

21.(12分)

已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2、'工0),离心率为CT

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A∣,A2.过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两

点，M在第二象限，直线Ma与直线M½交于P,证明：点P在定直线上.

22.(12分)

(1)证明：当0<x<l时，X-X2<sin%<%；

(2)已知函数f(x)=cosθr-In(I-X2),若χ=0是f(χ)的极大值点，求α的取值范围.

数学试题第5页(共5页)

2023新高考2卷答案解析

123456789101112

ABDBCCDCACACBCDABD

13141516

2,-2,_L,--中选

3

22

282

一个即可；

（逐题详解）

1.在复平面内l+3i3-i对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【参考解析】z=l+3i3-i=3-i+9i-3i2=6+8i,故在第一象限，故选4；

2.设集合A=0,-a,B-l,ɑ-2,2a-2,若ACB,则α=

2

A.2B.1C.ʒD.-1

［参考解析1】直接验证选项，观察BD,因此先3佥证0=1,

此时力=0,-1,B=1,-1,0,满足，故直接选B；

【参考解析2】依题有α-2=0或2α-2=0；

当α-2=0时，解得α=2,姗Z=0,-2,B=1,0,2,不满足；

当2α-2=0时，解得α=l,后面同解析1；

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中

部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同

的抽样结果螃（）种

45ln4303aw2u

【参A考.解C鬲C堆IS分层抽样已B知.初C市黯C"40人，高中C踊.20CC以为炉。B,D⅛.½CD;C°0

4（H）200

4.若∕x=x+aIn弱；4为偶函数，则α=

乙XIɪ

A.-1B.0C.ɪD.1

（参考解析］由九大奇函数易知y=In系G1为奇函数，所以y=X+α也要为奇函数，故α=

0,⅛½B;2

5.已知椭圆C：x'+y2=l的左右焦点分别为尸，尸，直线y=x+m与C交于A,B两点,

3,2

若AFMB的面积是A&4B的2倍，贝Um=

•1•

2

-2

A3C.D.

33

⅛2+m，或m=-3∖E（舍），故选C；

【参考解析】依题有⅛Wm=—

6.已知函数∕x=αe∙-Inx在区间1,2上单调递增，则。的最小值为

4e2B∙eC.e",D.e~2

【参考解析】∕x=QeX-ɪ≥0在1,2上恒成立，即OVɪ<xeχ在1,2上恒成立，

令gX=XeX,贝必X=x+le'在1,2上单增，所以:≤gl=e,所以Q≥eZ⅛5选C；

7.已知α为锐角，COSa=1+43’则Sin2=

4支二港B.二§C.—D.

oo4

-1⅜5

4

【参考解析U由二倍角公式得CoSa=iɪ,ɪ=1-2siMg=sin22=匚号，用代选项验

4~228

证法知。对；

【参考解析2]由二倍角公式得CoSa=ɪɪ`5=1-2sin2-→sin2-=—ɪ-ɪ_g二25=

_..4^_,.228^~16^

j-12,所以Sina=土二"、⑤，而Sinq=-二f5无选项对应，故本题肯定不满

42424

足，故选。；

验证的事就留到考后分析；

8.记S,,为等比数列州的前n项和，若S4=-5,S6=21S2,则S8=

A.120B.85C.-85D.-120

ɑɪ1-q4=-5Q2=4

—Iq-=_a_1,

【参考解析11依题有α∣1~tΓ=21×ɑɪl-q2,=,

_________]—q3

1-q1-q

Ql1-d14

所以S8=~tT[=3x1一4=T5,辘c；

【参考解析2】易知S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6也为等比数列,

所以S4-S22=S2∙S6-4,解得S2=-1或S4=',

2

当S2=-l时，S6-S4=S4-X.S8-S<,Ss=-85；

当S2=I时，与S4=-5联立会推出q2=-5,故舍去；

多选：

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,4B为底面直径，乙4PB=120。，PA=2,点C在底

面圆周上，且二面角P-AC-O为45。，贝!!

a该圆锥的体积为πB.该圆锥的侧面积为4屈

•2•

C.AC=ɪɪD.∖PAC的面积为3

【参考解析】

如上图所示，由几何关系易知PO=I=6，AO=BO=3=r,

取AC中点为H,则二面角P-AC-O即为乙PHO=45。，所以。H=PO=1,

所以AH=CH=^AO2-OH2=2Γ^AC=22.~

对于4：V=ɪπr2∕ι=π,故A对；

对于B；SM=πrl=23π,故8错；

对于C：由前面分析知对；

对于。：SVMC=ɪ×AC×PH=2,故D错;

综上，选AC.

10.设。为坐标原点，直线y=-、军x-1过抛物线Cy=2pxp>0的焦点且与C交于

M,N两点，/为C的准线，则

ap=2B.MN

C.以MN为直径的圆与/相切D.AOMN为等腰三角形

【参考解析】易知焦点为1,0,所以T=I=P=2,故A对；

由抛物线常见结论知MN=_Je=竽，故F错；（卜面增加联立的常规过程）；

S

,fγ.vy=-*x-l=≠3χ2-JX*3=0,豳Mɪ,-,N3,-2,

联"JJ-

y2=4x33

所以MN=竽，故5错：

同样山抛物线常见结论知C对；

由前面知OM=T.ON="方，MN=号,故D错；

综匕选

AC.考后分

析C：

圆心为M-⅜r^,r=-=-+1.故C对；

33233

•3•

11.若函数∕x=Olnx+ll+ca≠0既有极大值也有极小值，贝!∣

XX2

4bc>OB.α⅛>0C.b2+Sac>0D.QCVo

【参若解析】因为/X=alnx+2+Co≠0,所以定义域x>0,

易知"=a×1-b×-2c,令/-bx-2c=0,则题目等价于有两个不相等的正解X,X,

X3

ʌ>0⅛+^8ac>0肋MC>0

)

故X1+X2>0=>QCVo

XlXz>0二筵>0

aBCVo

故选BCD

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立。发送0时，忸Ul的概率为

αθ<α<l,收到0的概率为1-a；发医1时，收到0的概率为SOV0Vl,收到1的概率

为1-6考虑两种传输方案：单次解和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次三

次传输是指每个信号重复发送3次。收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，忸!!的

信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则

译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为l-al-β2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为/H-/72

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为Sl-B2+l~βi

D.当0<α<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案

译码为0的概率

【参考解析】

关键信息：

发0收1概率为a；发0收0概率为1-a；

发1收0概率为仅发1收1概率为1-S；

对于力：则为发1收1概率为1-0，发0收0概率为1-a，发1收1概率为1-夕，

故2=1-al-β2,4对；

对于8：则为发1收1概率为1-夕，发1收0概率为S，发1收1概率为I-6

故PB=In_02,8对；

C：分为发1收2个1和1个。和发1收3个1,“…

Pc=C1∙βl-β1+C3-l-β3=3βl-β1+I-S3,故C错

33

对于D：

导次译码为,0,分为发P收Z个0和1个1和发0收3个0,

3

此时a=C*2.ai-a2+Q3.i-a3=3a1-a，+1-a,

33

单次译码为0：B=1-a,

fl-∕⅞=3al-a2+1-a3-1-a=a1-a1-2a>0,W)对;

综上，选ABD↑

-4∙

13.已知向量α满足，则

>ba—b='a+b=2a—bb=

【参考解析】

+b=2a-b,+2α∙b+b=4Q-4α∙b+b=≠H-2Q∙8=0,

a-b=t3=^σ-2a∙b+b=3=>b=3=^b=号・

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的

正四棱锥,所得棱台的体积为.

【参考解析】由相似易知剩下的棱台的章为3,

11

所以〉=S+S下+疗=Λ=4+16+ZTw×3=28；

校台3上√S上S下§V4X16

【参考解析21由相似易州剩下的棱台的高为3,

所以V=-×42×6-ɪ×22×3=28;

梭台33

15.已知直线x-my+1=0与圆C：x-1?+/=4交于〃，B两点，写出满足“ʌ/lBC的

面积为肥的m的一个值____________.

S=ɪHsinZ-TlCB=-→SinLACB=-,豳CoSz∙ACB=±-,

2555

由余弦定理得AB=V2+r2-Ir1CQsLACB,

所以AB=手或AB=

套弦长公式得d=餐或d=誓，

套心线距得--------=m=±2或--------=—'=»m=±ɪ,

ʌ/l+rη25ʌ/ɪ+ττι252

故填2,-2,J,-ɪ中的一个即可.

T2

16.已知函数∕x=SiII3x+。，如图力，B是直线y=匕与曲线V=∕x的两个交点，若

AB=%,贝犷九=.

【参考解析】由按图索骥法易知3X/+。=匹+2∕cπ,CD;ωxβ+φ=—+2E,②;

ZiZI66

两式相减得3XB-X∕=—=>ω×-=—→ω=4,

666

所=sin4x+φ,

将珥

O代入得4×—+φ=2kπ=。=2kπ——,

333

一号二勺・

所以∕χ=sin4x+2kπSin4x-

•5•

所以/π=sin4π一肉=Sin-号=---ɪ

17.记MBC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,改"BC面积为∙3,。为BC中点,

且AO=L

(1)若乙4。C=与求tanB；

(2)若炉+C?=8,求b,c.

【参考解析】

(1)

如图，过A点作AHI.BC交BC于点H,

贝UAH=ADsin-=⅜7DH=ADcos

ʒ1232

由题易知SMBC=~×BC×AH=-3=BC=%=4,

ah2〜AH

所以tanB=—__AH

BH-BD+DH-5

(思路2：后面也可以用余弦定理算再用余弦定理算，只是没解析1简洁.)

(2)由中点与向量易知2AD=AB^AC9

所以22222

44。-AB+ACΛ-2AB-AC,即4=b+c+IbccosA9

由余弦定理得4=/?2+c2+ZJ2+C2—α2=S=23,

由面积公式得SMBC=ɪbcsinA=3=SinA=-,.3

而「〃+八1二2点

2bcbe

因为SiMA+COMA=1=拶^+请2=1=be=4,

与h2+C2=8联立解得b=C=2.

18.已知α为等差数列，b=n'，记S，T为α,⅛的前n项和，S=

n“2α,,,n为偶数”“”“4

32,TJ=16.

(1)求斯的通项公式；

(2)则：当n>5时，2Sn.

【参考解析】

(1)设a,的首项为α∣,公差为d,

•6•

因为S4=32,所以4G+ɜ-d=32→2A,+3d=16,φ

又因为T3=16,

所以加+岳+济=16=α∣-6+2CZ2+ai-6=16=4α2=28=G=7=G+d,②

联立①②解得所以c⅛=α∣+n-1d=2n+3,nEN,.

d=2

(2)由⑴知S=乌一公卫=M+4〃(或用S_+nn-ld=n2+4n)

n2n-12

当〃为奇数时，

Tn=b1+b3+…bn+b2+b4+…"1

=ɑi+CZ3÷"∙ɑn-6×ɪɪ-+2C72÷∏4+',,ɑn-l

=2Sn-G+Q3+…Qn-ʃn+1,

Qi+如.2±1

=2Sn--------------5——---------3n+1

所以T-S_M-3n-10_/+2n-5,酗n>5,豳T-S>0

n〃—ɪ―2nn

(或类比二次函数性质知T-S=M-3n-10>52-3X5-IO=O)

nn221

故n为奇数时成立；

当〃为偶数时，

2la

T-S=T-S+b-a_n-1-3n-l~0+2a~=--------^>«

i

nnn-1n-1nn工nn7

综上，当n>5时，Tn>Sn.

19.(12分)

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大

量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或

等于C的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为PC；误诊

率是将未患病者判定为阳性的概率，ie⅛qc.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频

率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率PC=0.5%时，求临界值C和误诊率qc；

(2)设函数/c=pc+qc,当c∈95,105时，求/c的解析式，并求/c在

区间95,105的最小值，

•7•

【参考解析】

⑴因为0.002X5=0.01>0.5%,故Ce95,100,

由比例得C=0.002×5×∏∈-=0.5%=C=97.5；

1()0—C

100—975

qc=0.010×5×、炉+0.002×5=0.035；

lIUU-95

所以临界值c=97∙5,误缚qc=0.035.

(2)

①当c∈95,100时，pc=°∙°°2X5X指彗95=°∙°°2c-95,

10()—c

QC=0.010X5×/ɪ+0.002×5=0.01IOl-C；

所以/c=pc+qc=0.82-0.008c≥0.82-0.008×100=0.02；

①当c∈100,105时，pc=0.002X5+().012X5入粽粤nn=0.01+0.012c-100,

Iʊɔɪ*Jxz

105—c

qc=0.002×5×=0.002105-C，

'1jʊUɔ5-100

所以/C=PC+qc=0.01c-0.98≥0.01×100-0.98=0.02；

，一乩0.82-0.008c,95≤c<100人

一世所以/C的解析式为t/C一0.01c-0.98,100<c<105'∕c在

区间95,105的最小值0.02.

20.如图，三辘A-BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,LADB=LADC=(>^,E为

BC的中点.

(1)证明：BC工DA；

(2)点/满足EF=D4,求二面角O-AB-尸的正弦值.

【参考解析】

(1)如图，t^AE,DE,

因为DB=DC,DA=DA,LADB=LADC,

所以MDCmMDB,^kAC=AB,

又因为E为BC的中点，所以BC∙LAE,BCJLDE,

•8•

Λ

而∕ECDE=E,√1E,OEC平面4DE,BCC平面4OK,

所以BC_L平面ADE,

又因为AoC平面?WE,所以8C_LD4；

(2)不妨设DA=DB=DC=2~S⅛LADB=LADC=60°,

所以Δ√1DB和440C为等边三角形，所以4C=∕lB=f又

因为BOJ.CO,所以BC=EfC2+DB2=2,

所以。E=AE=L^DE2+AE2=AD1,

故由勾股定理逆定理知DE±AE,

故可建立如图所示的空间直角坐标系

所以。1,0,0M0,0,1，B0,1,0,E0,0,0,AB=0,1,-1,

因为EF=D4=-1,0,1，所以F=-1,0,1,所以AF=-1,0,0,

设平面D4B的一个法向量m=×∖,y∖,z∖,

-X+z=0

贝Ijm∙DA_0=>1',令X,=Bm=1,1,1,

m∙AB=0V-Zi=°

设平面48尸的一个法向量”=×ι,yι,zι,

,„-X=O

贝UA4cF-U=IC,如,=]="=0,1,1,

n∙ΛF=0%—a=。

•9•

n∙m2

3,

所以COSnrm==2"

nmJX_____________

72

设二面角£)-AB-Z的大小为氏^⅛Asin0=ʌ/l-cosnfm—=—^

所以二面角C-4B-F的正弦值为号.

21.双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-24,0,离心率为飞.

(1)求C的方程.

(2)记C的左、右顶点分别为Ai,〃2,过点-4,0的直线与C的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线MAl与N√h交于P,晒P在定直线上.

【参考解析】

(1)因为左焦点为-2、笈0,离心率为

所以c=25,e=-=.5=α=2=cf=4,^J⅛Ab2≡c2-a2=16,

a

所以C的方程为止—之1

4161∙

(2)显然斜率不为零，故可设直线M