函数单调性与最值复习

函数单调性与最值复习目录CONTENCT引言函数单调性函数最值函数单调性与最值的关系典型例题分析复习总结与提高01引言加深对函数单调性和最值的理解，掌握判断函数单调性和求最值的方法。通过复习，能够熟练运用所学知识解决与函数单调性和最值相关的问题。复习目的函数单调性的定义及判断方法函数最值的定义及求解方法函数单调性与最值的关系典型例题分析复习内容包括单调递增、单调递减、严格单调和非严格单调等概念，以及利用导数、差分等方法判断函数单调性。包括局部最大值、局部最小值、全局最大值和全局最小值等概念，以及利用导数、二阶导数、闭区间上连续函数的性质等方法求函数的最值。理解函数单调性与最值之间的联系，掌握在给定区间上寻找函数最值的方法。通过分析和解决一些典型的与函数单调性和最值相关的问题，加深对知识点的理解和运用。02函数单调性单调增函数单调减函数单调性的定义对于任意$x_1,x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)leqf(x_2)$，称函数$f(x)$在区间内单调增加。对于任意$x_1,x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)geqf(x_2)$，称函数$f(x)$在区间内单调减少。若函数$f(x)$在某区间内可导，且$f'(x)>0$，则$f(x)$在该区间内单调增加；若$f'(x)<0$，则$f(x)$在该区间内单调减少。导数法通过比较函数在相邻两点的函数值差来判断函数的单调性。差分法单调性的判断方法局部性质保号性复合函数的单调性单调性的性质若函数在某区间内单调增加（减少），则该函数在该区间内的任意子区间内也单调增加（减少）。若函数$u=g(x)$在区间$I$上单调增加（减少），且函数$y=f(u)$在区间$J=g(I)$上也单调增加（减少），则复合函数$y=f(g(x))$在区间$I$上单调增加（减少）。函数在某一点的单调性仅与该函数在该点的邻域内的性质有关。03函数最值函数最大值在函数定义域内，存在一个数$x_0$，使得对于任意$x$，都有$f(x)leqf(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数的最大值。函数最小值在函数定义域内，存在一个数$x_0$，使得对于任意$x$，都有$f(x)geqf(x_0)$，则称$f(x_0)$为函数的最小值。最值的定义01020304观察法配方法判别式法导数法最值的求法对于二次函数，可以通过判别式$Delta=b^2-4ac$来判断函数的最值情况。将函数表达式进行配方，转化为完全平方的形式，从而求出最值。通过观察函数图像或表达式，直接得出函数的最值。利用导数判断函数的单调性，从而确定函数的最值。求解不等式优化问题经济学中的应用通过求解函数的最值，可以确定函数的取值范围，从而求解不等式。在实际问题中，经常需要求解某个量的最大值或最小值，这时可以利用函数最值的知识进行求解。在经济学中，经常需要求解成本最小、收益最大等问题，这些问题可以通过建立函数模型并求解最值来解决。最值的应用04函数单调性与最值的关系单调递增函数在其定义域内，若存在最大值，则最大值出现在定义域的端点；若存在最小值，则最小值也出现在定义域的端点。单调递减函数在其定义域内，若存在最大值，则最大值出现在定义域的端点；若存在最小值，则最小值也出现在定义域的端点。非单调函数在其定义域内，最值可能出现在定义域的端点，也可能出现在函数内部的极值点。单调性与最值的关系单调递增函数在其定义域内，若存在最值，则最值一定出现在定义域的端点，且最大值出现在定义域的上界，最小值出现在定义域的下界。单调递减函数在其定义域内，若存在最值，则最值一定出现在定义域的端点，且最大值出现在定义域的下界，最小值出现在定义域的上界。对于非单调函数，单调性对最值的影响较为复杂，需要具体分析函数的性质。单调性对最值的影响010203当函数在其定义域内存在最值时，若最值为极大值或极小值，则函数在该点处不具有单调性。若函数在其定义域内存在多个极值点，则函数在这些极值点处不具有单调性。若函数在其定义域内存在最值且为常数函数时，该函数不具有单调性。最值对单调性的影响05典型例题分析80%80%100%单调性判断例题判断函数$f(x)=x^2-2x$在区间$(-infty,1)$上的单调性。判断函数$f(x)=frac{1}{x}$在区间$(0,+infty)$上的单调性。判断函数$f(x)=sinx$在区间$[0,pi]$上的单调性。例题1例题2例题3求函数$f(x)=x^2-2x+2$在区间$[-1,3]$上的最大值和最小值。例题1例题2例题3求函数$f(x)=e^x-x$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。求函数$f(x)=cosx$在区间$[0,2pi]$上的最大值和最小值。030201最值求解例题已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，求其在区间$[-2,3]$上的最大值和最小值，并判断函数的单调性。例题1已知函数$f(x)=lnx-ax$在区间$(0,+infty)$上是单调减函数，求实数$a$的取值范围。例题2已知函数$f(x)=frac{1}{3}x^3-x^2+ax+b$在区间$[1,3]$上单调递减，且在$x=2$处取得极小值，求实数$a,b$的值。例题3单调性与最值综合应用例题06复习总结与提高求最值的方法通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和区间端点的函数值，确定最值。函数单调性定义函数在某一区间内，如果对于任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间内单调增加（或减少）。判断函数单调性的方法通过求导判断函数的单调性，若f'(x)>0，则f(x)单调增加；若f'(x)<0，则f(x)单调减少。最值的定义函数在某一区间内的最大值或最小值称为该函数在该区间内的最值。复习总结深入研究复合函数的单调性：复合函数的单调性判断相对复杂，需要掌握复合函数求导法则和链式法则，通过多次求导判断复合函数的单调性。掌握参数对函数单调性和最值的影响：参数的变化会影响函数的单调性和最值，需要掌握参数对函数性质的影响规律，以便更好地分析和解决问题。加强实际应用问题的训练：函数单调性和最值在实际问题中有广泛应用，如经济学、物理学