2022-2023学年安徽省亳州市涡阳二中等校联考高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年安徽省亳州市涡阳二中等校联考高一（下）期末

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.某数学兴趣小组有10名同学，在一次数学竞赛中成绩的名次由小到大排列分别是2,4,

5,x,11,14,15,39,41,50.若该小组成绩名次的40%分位数是9.5,则x=（）

A.9B.8C.7D.6

f1g（-x）,T<x<0i

2,已知‘⑴二小，o<x（l’则f（下（1吗3）=（）

A.1-73B.-I+V3C,-I-V3D.1+^

3.在△ABC中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（）

A.必要不充分条件B,充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.现有10名北京冬奥会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取

3名（每次取一个），派往参与花样滑冰项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的

概率是（）

A7R14r7n14

45451515

5.已知正实数也〃满足机+〃=1,则占Wii的最大值是（）

A.2B.JQC.返D.—

22

6.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某

同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30（E-l）IT的建筑物A8,

在它们之间的地面上的点M（8,M,。三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是

15。和60。，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度CQ为（）

A.20V3irB.20V2irC.30V3irD.30V2n

7.一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是()

4遍冗

A•号C.371D.

27

.B-K?asinB

8.在锐角△A8C中,三内角4,B,C对应的边分别为a,b,c,且sirr-z.则

0b

目的取值范围是（)

b

B.(2,平)c.

A.，1))D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得（）分。

（多选）9.对于函数F（x）=sinx+1」有如下四个判断，其中判断正确的是（）

sinx

A.f（x）的定义域是{x|x#所r,kEZ}

B./（x）的最小值是2

C.n是f（x）的最小正周期

D.7（x）的图象关于直线x=-会对称

（多选）10.设Zl,Z2是复数，17,石是其共朝复数，则下列命题中正确的是（）

22

若Z+Z

A.12=0，则Zl=Z2=0

B.若Z1+Z2=Z|-Z2,则Z1・Z2=O

c.若|Z1|=|Z2I，则Z1=Z2

D.若z「可为实数，则ZI为实数

（多选）11.在四棱锥S-ABCQ中，5。_1_平面438,底面ABCQ是正方形，则下列结论

中正确的是（）

A.BC〃平面SAD

B.AC与SB所成的角为60°

C.平面SDC_L平面A8CD

D.BO与平面SCO所成角为45°

（多选）12.某校开展数理化竞赛，甲组有10位选手，其中数学5人，物理2人，化学3

人；乙组也有10位选手，其中数学4人，物理3人，化学3人.先从甲组中随机选出一

人放到乙组，分别以4,A2和A3表示由甲组选出的是数学、物理和化学的事件；再从乙

组中随机选出一人，以B表示由乙组选出的人是数学选手的事件，则下列结论中正确的

是()

A.P(A［)=1

B.Ai,左，4是两两互斥的事件

C.事件B与事件4相互独立

Q

D.P⑻9

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3兀3兀

1+sinccosc

14.已知正方体ABC。-出的棱长是4,P是棱BC的中点，过点A、P、C的平面截

该正方体得到的多边形为a,则a的面积是.

15.定义在R上的函数/(x)满足f(x+3)t/Xx+1)=/(2),则*2024)的值是.

16.已知向量；,而勺夹角为仇|曰=1,后|=2,且对任意的人＜0,人力的最小值是手,

则0的大小为.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

qx

17.已知函数f(x)工-至，OGR.

3X

(1)若/(X)为偶函数，求“的值；

(2)令g(x)—f(x)-(a+1).若函数g(x)在［-1,1］上有两个不同的零点，求a

的取值范围.

18.设。是实数，复数(a-i)(2z+l)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限.

(1)求〃的取值范围；

(2)若a取负整数，复数z满足2z-|z|=a-3i3,求z.

19.如图，在△ABC中，三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,点E是边AB的中点，

点。是边AC上一点，BD,CE相交于点P,且APkAE玲AC・

(1)若标=入标，求实数人的值；

(2)若下■标=0，证明：a2+3b2=3c2.

A

20.如图，在三棱柱ABC-AIBIG中，侧棱AAi_L平面ABC,ZBAC=90°,AB=AC,E

是棱上的动点，。是棱BC的中点.

(1)证明:ADICiE；

(2)若四棱锥。-A4山山的体积是&,且A4i=2,求△4BC的面积.

C对应的边分别为a,b,c,sinB+cosBtanC=''^Fa

3c

(1)求角C的大小;

(2)若E是边AB上的点，且BE=CE=3E4,求tanB的值.

22.“以任意三角形的三条边为边，向外作三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆

的圆心组成一个等边三角形”，这就是著名的拿破仑定理，在AABC中，/4=120°,

以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次是。1,02,。3.已知△

。1。2。3的面积是愿，建立如图所示的直角坐标系，请利用拿破仑定理、坐标法和解三

角形等相关知识解决以下两个问题:

(1)求AB+AC的值；

(2)求△ABC周长的取值范围.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.某数学兴趣小组有10名同学，在一次数学竞赛中成绩的名次由小到大排列分别是2,4,

5,x,11,14,15,39,41,50.若该小组成绩名次的40%分位数是9.5,则x=()

A.9B.8C.7D.6

【分析】根据百分位数的定义，计算即可.

解：40%义10=4,

故40%分位数是第4、第5个名次数的平均值，即9.5,

因此史升=9.5，解得x=8.

故选：B.

【点评】本题考查百分位数的应用，属于基础题.

lg(-x),-l4x<0

2.己知f(x)则f-f(1。843)=()

2X.0<x<l

A.1-^/3B.-1-K/3C.-1-V3D-1+V3

【分析】由已知函数解析式代入即可直接求解.

lg(-x)»-l<x<0

解:因为f(x)

2X,0<x<l

所以fT(兀刃的

故选：C.

【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

3.在△ABC中，uA=Bn是“sin2A=sin2B”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

解：4=8时，sin2A=sin2B,充分性满足，

当A+B=/-时，sin2A=sin2(-7--B)=sin(7T-2B)=sin2B>必要性不满足,

所以“A=B”是“sin2A=sin2B”的充分不必要条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

4.现有10名北京冬奥会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取

3名（每次取一个），派往参与花样滑冰项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的

概率是（）

A.工B.四C.2D.四

45451515

【分析】随机地接连抽取3名志愿者（每次取一个），恰有一名女志愿者”可分3类:

仅第一次、仅第二次、仅第三次取到女志愿者，由此计算即可.

解：设Cl,C2,C3分别为仅第一次、仅第二次、仅第三次取到女志愿者的事件,

且事件Ci,C2,C3互斥，

则P（cp啥x黑孑与；pg）端吟乂白看

xx;

p（c3）4if=i

则“恰有一名女志愿者”的概率为PCS。）嗫春展看

故选：C.

【点评】本题考查互斥时间的概率公式，属于基础题.

5.己知正实数机，〃满足加+〃=1,则的最大值是（）

A.2B.JQC.叵D.—

22

【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.

解：由基本不等式可知，（逅造_）《史里•，

即我店《我，当且仅当1n=n=£时等号成立•

故选：B.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

6.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某

同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30（愿-1）IT的建筑物AB,

在它们之间的地面上的点M（B,M,。三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是

15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度CD为（）

D.3072n

【分析】RtAABM中求得AM,在AACM中运用正弦定理求得CM,解RtACDM求得

CD的值.

AR

解：在RtZ\A8M中，AM=.。，

sinl5

在△ACM中，NC4M=15°+15°=30°，ZAMC=180°-15°-60°=105°,

所以NACM=180°-30°-105°=45°,

AM_CM

由正弦定理,

sinZACM-sinZCAM

.,30（V3-l）x4x-4=-

故CM=AM2sinZCAH=------__叵=60

sinNACM瓜-近

4~

在RtZ^CDM中，CD=CMsin60°=60XCm）

所以估算黄鹤楼的高度CD为30百九

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的正弦定理和解三角形的应用问题，也考查了方程思想和运

算求解能力，是中档题.

7.一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是（）

A."B.返处C.3nD.应L

3327

【分析】求解圆锥的底面半径与高，然后求解内切球的半径，即可求解球的体积

解：设圆锥的底面半径是〃母线为/,圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，

则/=2,2nr—2rc,r—1.圆锥的高h=24-l如图：SO=h,O'为内切球的球心,

设圆锥内切球的半径是R,则显卑■,即区=愿田,解得R应.

r112=3

【点评】本题考查几何体内切球的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算

能力，是中档题.

8.在锐角△4BC中，三内角A,B,C对应的边分别为〃，b,c,且sidy=asinB.则

5b

目的取值范围是（）

b

【分析】由题意利用正弦定理可得sin^2=sinA，进而可求A的值，可求

532

利用正弦定理以及正弦函数的性质即可求解至的取值范围.

b

解：因为可得siri4=a・sinB,

sinAsinBb

.BEasinB

所以利用正弦定理可得si虐g=sinA，

5

TTTT

因为0＜，＜万，

所以

55

而0＜

所以嗒=A，

5

即B+C=5A,

因此6A=p,可得A一不，

山0<B〈冬和0〈罕-B〈争导到，

NbN3N

兀

因此sin§<sinB<si<］，

于是包=sinA=_a立_）

bsinB2sinB匕（2'3）

故选：C.

【点评】本题考查了正弦定理以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数

思想的应用，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.对于函数/（x）=siru+i」有如下四个判断，其中判断正确的是（）

sinx

A.f（%）的定义域是{x|xWE,keZ}

B.fdx）的最小值是2

C.n是/（x）的最小正周期

jr

D.f（x）的图象关于直线犬=勺对称

【分析】直接利用函数的性质及函数的性质的应用判断A、B、C、。的结论.

解：函数f（x）=sinx+—7^—，

sinx

对于A：定义域是{x|x¥ht,keZ},故A正确，

对于B：当sinx=-1时，函数的值为-2,故B错误；

对于C：函数满足/（X+2TT）=于（x）,故函数的最小正周期为2m故C错误.

JT

对于£>:函数/（X）满足/（7T-X）=/（%）,故函数的图象关于直线X=]-对称，故。

正确.

故选：AD.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，函数的对称性和定义域及值域的应用，

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

（多选）10.设Z”Z2是复数，司，司是其共轨复数，则下列命题中正确的是（）

A.若zj+zg=0'则Z1=Z2=。

B.若Z1+Z2=Z1-Z2,则Zl，Z2=0

C.若|Z]|=|Z2I，则Z|=Z2

D.若zi石为实数，则zi为实数

【分析】对于AC,结合特例，即可判断；

对于B,结合复数的四则运算，即可求解；

对于£>,结合复数的四则运算，以及共期复数的定义，即可求解.

解：对A,取zi=l,Z2=i,则z；+zg=O，但zi¥O,Z2NO,故A错误；

对B,Z|+Z2=Z1-Z2,解得Z2=0,

则z「Z2=0,故B正确；

对c,|771=|7^|,则⑵尸㈤，

显然『1=1-4,但M-i,故C错误；

对。，设Z1=a+/>i,

则z广a-bi,因此z-W=2bi，〃=°，则zi为实数，故。正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题.

（多选）11.在四棱锥S-ABCD中，SDJ_平面ABCD,底面ABC。是正方形，则下列结论

中正确的是（）

A.BC〃平面SAQ

B.AC与S3所成的角为60°

C.平面S£>C_L平面ABCD

D.8。与平面SCO所成角为45°

【分析】选项A,由线面平行的判定定理，可判断；

选项8,由AC_LSC,AC±BD,可证AC_L平面SBC,知AC_LS8；

选项C,由面面垂直的判定定理，可判断；

选项。，由SQJ_BC,CDVBC,知BCJ_平面SCO,从而有NBOC即为所求，得解.

解：对于选项A,因为底面488是正方形，所以8C〃A。，

又BCC平面SAO,A£>u平面SAO,所以BC〃平面SAO,即选项A正确；

对于选项B,因为SO_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以4C_LSO,

又底面ABC。是正方形，所以

因为S£>nBZ）=Q,SD、BOu平面SB。，所以AC_L平面SB。，

因为S8u平面SB。，所以ACLS8,即4c与SB所成的角为90°,故选项B错误；

对于选项C,因为S£>J_平面A8C£>,S£）u平面S£>C,所以平面SQCL平面ABCQ,即选

项C正确；

对于选项。，因为SO_L平面48CD,BCu平面A8CC,所以SO_LBC,

又CD_LBC,且S£>nCO=D,SD、CDu平面SC。，所以BC_L平面SCO,

所以NBOC为直线8。与平面SC。所成角，而NBDC=45°,故选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查空间角的求法，空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定

定理，线面、面面垂直的判定定理以及线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、

推理论证能力和运算能力，属于中档题.

（多选）12.某校开展数理化竞赛，甲组有10位选手，其中数学5人，物理2人，化学3

人；乙组也有10位选手，其中数学4人，物理3人，化学3人.先从甲组中随机选出一

人放到乙组，分别以4,4和4表示由甲组选出的是数学、物理和化学的事件；再从乙

组中随机选出一人，以B表示由乙组选出的人是数学选手的事件，则下列结论中正确的

是（）

A.P（Ai）=1

B.Ai,Ai,4是两两互斥的事件

C.事件B与事件4相互独立

q

D.P⑻嗡

【分析】根据题意，由古典概型公式可得A正确，由互斥事件的定义可得B正确，由相

互独立事件定义可得C错误，由全概率公式可得。正确，综合可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,甲组有10位选手，其中数学5人，则p(Ai)*,,A正确：

对于8,甲组选出的可以是数学、物理和化学，分成三类，且互斥，2正确；

对于C,显然事件4是否发生影响到事件B,事件B与事件4不独立，C错误:

对于。，由全概率公式，p(B)。正确•

XvJLJLXvJLJLXVXJ.乙乙

故选：ABD.

【点评】本题考查全概率公式，涉及古典概型和互斥事件的定义，属于基础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3冗3兀

1+s1nQcoaQ1

13.计算------―匕的值是.

c23兀,----2-

【分析】由二倍角公式化简即得.

3兀3兀

1+singcosr-^—

解:

~；~~23兀~

2cos-—-1

o

故答案为：-V2

2

【点评】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题.

14.已知正方体ABCC-48GQ1的棱长是4,P是棱BC的中点，过点A、P、G的平面截

该正方体得到的多边形为a,则a的面积是__876_.

【分析】根据题意，取4d的中点Q,连接4。、AP、PG、G。，分析可得四边形APGQ

就是截面多边形为a,进而可得截面a是菱形，求出其对角线的长，计算可得答案.

解：根据题意，如图：取4。的中点Q,连接AQ、AP、PG、G。，

易得AP〃QG,PCt//AQ,则A、P、Ci、Q四点共面，故平行四边形APGQ就是截面

多边形为a,

又由AP=PCi=4Q=QG,则截面a是菱形，

其两条对角线长分别是4声和472>

故截面a的面积是/X4>/3X©巧=876.

故答案为：

D\Ci

【点评】本题考查棱柱的结构特征，涉及平面截棱柱所得截面的问题，属于基础题.

15.定义在R上的函数/(x)满足f(x+3)+f(x+l)=/(2),则/'(2024)的值是0.

【分析】根据题意，先分析函数的周期，利用特殊值求出/(0)的值，进而分析可得答

案.

解：根据题意，由于/(x+3)V(x+1)=/(2)①，变形可得V(x-1)=/(2)

②，

①-②可得：f(x+3)—f(x-1),B|Jf(x+4)—f(x),则是周期为4的周期函

数；

在/(x+3)4/(万+1)=/(2)中，令x=-l,贝(2)4/(0)=/(2),所以7(0)=

0,

则/(2024)(0+506X4)=/(0)=0,即/(2024)=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题.

16.己知向量之，石的夹角为。，1』=1，£1=2,且对任意的入<0,二-入己的最小值是空,

则0的大小为120。.

【分析】先对向量的模长平方得到

Ia-入b|"a'2入a,b+入2b(入-)+sin26'再根据

|a-XbI.二应运算即可得到|sin8|巫，进一步计算即可.

110X111

。2।min22

解：已知向量Z，E的夹角为Ial=l>1*3=2，

22221

所以|a-Xb|=；-2X；-b+Xb=-4入cose+4入2=

22

4(人26cos8^^-^^)+1=4(X^-)+l-cose=

4(入名红)2+式八0，

又I/遥I.斗,

iM1mm2

所以lmm=IsinBI，即|sin8|=^--因为峭0,n］,所以$>9=哼，

0=60°或120°.验证知，0=120°,

故答案为：120°.

【点评】本题主要考查向量的模长公式以及数量积运算，属于中档题.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

qx

17.已知函数f(x)£-->〃6R.

3X

(1)若f(x)为偶函数，求“的值；

(2)令g(x)=/(x)-(ci+1).若函数g(x)在［-1,1］上有两个不同的零点，求a

的取值范围.

【分析】(1)根据题意，由偶函数的定义可得/(-x)=/(x),即上11=艺色，

3-x3X

变形分析可得答案；

(2)根据题意，令g(X)=0分析可得Xl=log3〃，X2=o,分析可得-lW10g3〃Wl且log3«

wo,解可得答案.

解：(1)根据题意，函数f(x)旦上■为偶函数，

3X

则有/(-x)=于(x),即.9；:7=史巨,

3-x3X

变形可得：(a-1)(9'-1)=0,故。=1,

qx

(2)根据题意，若gCx)=f(x)-(〃+1)=0,则有-----(a+1)=0>

3X

变形可得9"-(。+1)3+〃=0,则有(3、-。)-(3X-1)=0,

解可得:xi=log3a,X2=0.

若函数g(x)在［-1,1］上有两个不同的零点，

而0G［-1,1］,

必有-1Wlog3aWl且log3〃W0,解得■|-《lga43，且aWl；

故。的取值范围是亭1)IJ(1.3].

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及对数的运算，属于基础题.

18.设a是实数，复数(a-i)(2/+1)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限.

(1)求a的取值范围；

(2)若a取负整数，复数z满足2z-|z|=a-3i3,求z.

【分析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解.

解：(1)(a-I)(2/+1)=a+2+(2a-1)i,

贝i」a+2>0,且2a-l<0,解得

故a的取值范围是(-2,y)；

(2)因为-2<a<|，且。取负整数，

所以a=-1,

设z=b+ci,b,CGR.则2z-|z|=〃-2产，即2(b+ci)

’2c=2

所以《广3O»解得"=0,c=l,

、2b-Vb^+c^=-l

故z=i.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

19.如图，在△ABC中，三内角A,B,。对应的边分别为〃，b,。，点E是边A3的中点,

点。是边4c上一点，BD,CE相交于点P,且屈+标卷记

(1)若菽=入标，求实数人的值；

(2)若下■前=0，证明：a2+3b2—3c2.

【分析】(1)由平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求得;

(2)由平面向量垂直的性质和余弦定理化简即可.

解：(1)因为8,P,。三点共线，

所以存在头数相，使AP=mAB+(1-m)AD=2mAE廿AC，

与条件AP-|AE咛AC比较，

得到21n"■且早"•，

2人2

故X=-^-；

2

证明：(2)，.•前=菽-藤，AP=yAE-^AC=jAB-^AC-

..1»1.»*1.21..1•2

,AP，BC=qAB5AC)•(AC-AB)=qACqAOABqAB

_1,21,,/RV12-1,21,b2+c2-a212-n

-yb-r-bc-cosZBAC-7c--b-rbc,---zr------yc01

N44242bc4

1,2.221

Bpl2_b+c-a_l2,

2b084Cc=U0

化简整理得：“2+32=3/.

【点评】本题考查平面向量的线性运算，夹角与数量积，余弦定理的综合，属于中档题.

20.如图，在三棱柱ABC-AIBICI中，侧棱A4_L平面ABC,/54C=90°,AB^AC,E

是棱上的动点，。是棱BC的中点.

(I)证明：AD±CiE；

(2)若四棱锥Q-A413B的体积是&,且A4i=2,求△ABC的面积.

B

E

B

【分析】(I)根据44」平面ABC,得出CGJ_平面ABC,平面ABCJ_平面BCGBi,

再证明AD_L8C,得出AO_L平面CBBiC”即可证明4O_LGE.

(2)根据四棱锥。-AAIBIB的体积为5A4•四•OF,求出的值，从而求出△ABC

的面积.

【解答】(I)证明：因为A4_L平面ABC,AAx//CC\,所以CCJ_平面ABC,

又CGu平面BCC\B\,所以平面A8C_L平面BCC®,

因为棱BC的中点为。，且AABC是等腰三角形，所以AOLBC,

又AOu平面ABC,平面ABCn平面CBBC=BC,

所以AD_L平面CBBCi,

又因为CiEu面CBB1C1,所以4O_LCi£.

(2)解：过点。作。凡LA8于F,则。£L平面44谣8,

所以四棱锥D-AAyB\B的体积为丫四棱锥AAA.BB=3A4・A8・£>F,

-i3

即/X2XA8XZ)F=M，解得A£>XOF=^^,

所以AABC的面积为工4小2。/=42•。/=心;巨.

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【点评】本题考查了空间几何体的体积计算问题，也考查了空间中的垂直关系应用问题,

是中档题.

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