《概率论与数理统计》浙大四版第二章123节

《概率论与数理统计》浙大四版第二章123节事件及其概率随机变量及其分布多维随机变量及其分布数字特征与特征函数大数定律与中心极限定理contents目录01事件及其概率随机事件与样本空间在一定条件下进行的，结果不确定的试验随机试验的每一个可能结果所有样本点组成的集合样本空间的一个子集，即某些样本点的集合随机试验样本点样本空间随机事件概率的性质互斥事件概率的可加性、概率的取值范围、必然事件的概率为1等几何概型样本空间为几何区域，事件的概率为该事件对应区域的度量与样本空间对应区域的度量之比古典概型样本空间中样本点有限且等可能，事件的概率为该事件包含的样本点数与样本空间样本点总数的比值概率的公理化定义满足非负性、规范性和可列可加性的集合函数事件的概率定义及性质条件概率在某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率事件的独立性两事件发生的概率互不影响，即两事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积乘法公式两事件同时发生的概率等于其中一件事发生的概率与在该事件发生的条件下另一件事发生的概率的乘积独立性的应用在概率计算中，如果事件之间相互独立，可以大大简化计算过程条件概率与独立性02随机变量及其分布设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。根据随机变量可能取值的性质，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量的概念与分类随机变量的分类随机变量的定义如果随机变量X的所有可能取值只有有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量的定义设离散型随机变量X的所有可能取值为$x_k$（k=1,2,...），X取各个可能值的概率$P{X=x_k}=p_k$，则称表格$x_1,x_2,...$;$p_1,p_2,...$为离散型随机变量X的概率分布或分布律。离散型随机变量的分布律离散型随机变量及其分布律连续型随机变量的定义01如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取某一区间内的一切可能的实数值，则称X为连续型随机变量。概率密度的定义02设X为连续型随机变量，其取值范围为某一区间I，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数a<b，都有$P{a<X≤b}=∫_a^bf(x)dx$，则称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。概率密度的性质03非负性，规范性，即概率密度函数f(x)满足$f(x)≥0$，且$∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1$。连续型随机变量及其概率密度03多维随机变量及其分布联合分布函数定义对于所有实数$x$和$y$，二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$是$P{X≤x,Y≤y}$的概率。联合概率密度函数若二维随机变量$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$可微，且存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x$和$y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{y}int_{-infty}^{x}f(u,v)dudv$，则称$(X,Y)$为连续型随机变量，$f(x,y)$为$(X,Y)$的联合概率密度函数。二维随机变量联合分布边缘分布函数二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数分别为$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$。边缘概率密度二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$时，$X$和$Y$的边缘概率密度函数分别为$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。条件分布设$(X,Y)$是二维离散型随机变量，对于固定的$x_j$，如果$P{X=x_j}>0$，则称$P{Y=y_i|X=x_j}=frac{P{X=x_j,Y=y_i}}{P{X=x_j}}$为在$X=x_j$条件下随机变量$Y$的条件分布律。边缘分布与条件分布VS若二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$可以表示为两个一维随机变量的分布函数$F_X(x)$和$F_Y(y)$的乘积，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是独立的。独立的充要条件对于所有实数$x$和$y$，若$P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}$，则随机变量$X$和$Y$是独立的。对于离散型随机变量，可以简化为对于所有$x_i$和$y_j$，有$P{X=x_i,Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}$；对于连续型随机变量，可以简化为联合概率密度函数$f(x,y)$可以表示为两个边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。独立的定义随机变量的独立性04数字特征与特征函数数学期望与方差数学期望（期望值）定义计算方法及性质方差定义数学期望与方差的关系随机变量取值的加权平均数，反映了随机变量取值的平均水平。各数据与平均数之差的平方的平均数，用来衡量随机变量与其数学期望（即均值）之间的偏离程度。方差是数学期望的补充，两者共同描述了随机变量的数字特征。数学期望和方差具有线性性质、独立性等，计算方法包括定义法、公式法等。协方差与相关系数协方差定义用于衡量两个随机变量的总体误差，表示两个变量在变化过程中是同方向变化还是反方向变化。相关系数定义协方差除以两个随机变量的标准差，用于消除量纲的影响，更加客观地反映两个变量之间的线性相关程度。协方差与相关系数的关系相关系数是标准化的协方差，取值范围为[-1,1]，绝对值越大表示相关性越强。计算方法及性质协方差和相关系数具有线性性质、对称性、无偏性等，计算方法包括定义法、公式法等。特征函数定义用于描述随机变量的分布特性，是一种复值函数，其模的平方等于随机变量取值的概率密度函数的傅里叶变换。又称生成函数，是一种用于研究随机变量序列的工具，通过母函数可以方便地求出随机变量序列的各阶矩、概率分布等。特征函数是母函数在复平面上的扩展，两者都可以用来描述随机变量的分布特性，但特征函数更加适用于处理多维随机变量和复杂分布的情况。特征函数和母函数具有唯一性、可微性、可乘性等，计算方法包括定义法、变换法等。同时，特征函数还具有共轭对称性、非负定性等重要性质。母函数定义特征函数与母函数的关系计算方法及性质特征函数与母函数05大数定律与中心极限定理定律内容大数定律是描述当试验次数趋于无穷时，事件出现的频率趋于其概率的定律。适用范围适用于大量重复试验，且每次试验的结果相互独立的情况。重要意义大数定律是概率论中的基本定律之一，为统计推断提供了理论基础。大数定律中心极限定理是概率论中的另一重要定理，指出在一定条件下，大量相互独立且同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。定理内容适用于大量相互独立且同分布的随机变量之和的情况。适用范围中心极限定理为许多统计方法和技术的应用提供了理论基础，如质量控制、假设检验等。重要意义中心极限定理123大数定律和中心极限定理的概念、内容及适用范围。两者在概率论和数理统计中的重要地位和应用价值。相关定理的证明方法和思路。章节知识点总结利用大数定律计算某事件发生的概率。例题1利用中心极限