高中数学 选修4-5《不等式选讲》全册教案

第一讲不等式和绝对值不等式

课题：第01课时不等式的基本性质

教学目标：

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究

的基础。

2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不

等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反

证法。

教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程：

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的

“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明

了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水

管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样

的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方

形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正

方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解

决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式'柯西不等式、贝

努利不等式'排序不等式等)和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的

不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对

的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识

的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖

(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了，为什么

分析：起初的糖水浓度为"，加入m克糖后的糖水浓度为"+只要证

a

竺A4-上>h2即可。怎么证呢a+m

a+ma

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数

2

轴上的表示可知:

a>boa-b>0

a=b<^>a-h=O

a<b<^>a-b<0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b。（对称性）

②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c=>a>co

③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>bna+c>b+c。

推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.即a>b,c>dna+c>b+d.

④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果a>b,且c<0,那么ac<bc.

⑤、如果a>b>0,那么。〃>匕“（neN,且n>1）

⑥、如果a>b>0,那么痴>十方（neN,且n>1）。

三、典型例题：

例1、比较。+3）。+7）和（x+4）（x+6）的大小。

分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关

例2、已知求证：a-c>b-d.

例3、已知a>b>0,c>d>0,求证：5

四、课堂练习："'

1：已知x>3,比较冗3+1lx与6x2+6的大小。

2：已知a>b>Qc〈d<0,求证：/_<，一。

a-cb-d

课本P第1、2、3、4题

9

六、教学后记：

3

课题：第02课时基本不等式

教学目标：

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

教学过程：

一、知识学习：

定理1：如果a、bGR,那么a2+b222ab（当且仅当a=b时取

号）

证明：a?+b2—2ab=（a—b）2

当aRb时，（a—b）2>0,当a=b时，（a—b）2=0

所以，（a—b）220即a2+b222ab

由上面的结论，我们又可得到

a+b.—

定理2（基本不等式）：如果a,b是正数，那么一二2舸（当且仅当

a=b时取“=””

号）

证明：./（/）2+）222.

:.a+b22,ab?,即?—--2,ab

显然，当且仅当a=b时，一--=-\/ab

a+b2_

说明：1）我们称一y-为a,b的算术平均数，称婀为a,b的几何平均

数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均

数.

a+b.—

2）a?+b2、2ab和一^—2啊成立的条件是不同的：前者只要求a,b

都是实数，而后者要求a,b都是正数.

3）“当且仅当”的含义是充要条件

4）几何意义.

二'例题讲解：

例1已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2#；

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值;Sz

证明：因为X,y都是正数，所以「广，皿

（1）积xy为定值P时，有六一；.x+y》2群

上式当x=y时，取“=”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值2铲.

4

LS1

(2)和x+y为定值S时，有皿，xyW7S?

上式当x=y时取"=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值。S2.

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件:

i)函数式中各项必须都是正数；

ii)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

iii)等号成立条件必须存在。

例2:已知a、b、c、d都是正数，求证：

(ab+cd)(ac+bd)24abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正

确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识

证明：由a、b、c、d都是正数，得

ab+cd，―-------,ac+bd-.......—,

--~•cd>0,——S：Jac•bd>0,

^ab+cd)(ac+bd)2v

/.---------；---------^abcd

4

即(ab+cd)(ac+bd)24abcd

例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800叫深为3m,

如果池底每1m?的造价为150元，池壁每1m?的造价为120元，问怎样设计水池

能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然

后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为^^*据题意，得

,,1600、/1600

1=240000+720(x+——)2240000+720X2、/x--------

xVx

=240000+720X2X40=297600

当x=?,即x=40时，I有最小值297600

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低

总造价是297600元.

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函

数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适

用条件.

三、课堂练习：课本P练习1,2,3,4.

91

四'课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平

均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，

5

应注意定理的适用条件。

五'课后作业

课本P习题第5,6,7题

10

六、教学后记匚—，

课题：第03课时三个正数的算术-几何平

均不等式

教学目标：

1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最

值问题；

2.了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决

最值问题

教学过程：

一、知识学习：

定理3：如果,那么"+"+'之Rabe。当且仅当a=b=c时，等号

+3

成立。

推广：4+<+•••+%2城.0…。当且仅当。=。=-=。时，等号成

YI*12n12n

立。

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果那么。3+加+>3abe

(当且仅当a=b=c时，等号成立)呢？试证明。

二'例题分析：

例1:求函数y=2x2+(%>0)的最小值。

3x1?/i~2

解一：y=2x2+_=2x2+—+—>3^2x2.—•_=3</4y=

2XIXVXX7/l^in

解二：y=2产+—>212x2•—=2J6x当2x2=—即x=-3--时

2

...y.=2丁|6--场--=2丫J3—4/12=2—Q3T24Hx

min2

上述两种做法哪种是错的错误的原因是什么

变式训练1若eR且a>b,求a+--!---的最小值。

»(a-b)b

由此题，你觉得在利用不续式■决这类题目时关键是要

6

例2：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方

形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长

是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2已知：长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高

各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值.

由例题，我们应该更牢记一___二三,三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定,和定.

三、巩固练习

17

1.函数y=3x+—（x〉0）的最小值是（）

X2_

B.676

2.函数y=4m+I，-.的最小值息___

-（X2+1）2

3.函数y=x4（2-尤2）（«<x<J5）的最大值是（）

C史D,当

2727

4.（2009浙江自选）已知正数满足x+y+z=l,求4,+4>，+4/的最小值。

5（2008,江苏，21）设a,6,c为正实数，求证：—+-L+-+abc>2y/3

Q3加

四'课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平

均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，

应注意定理的适用条件。

五、课后作业

P户题第11,12,13题

六'教学后记：

7

课题：第04课时绝对值三角不等式

教学目标：

1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方

法，会进行简

单的应用。

2：充分运用观察、类比'猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数

形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和

证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

教学过程：

一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一

类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1.耳同骊崛忆(广下绝对值的意义。

凶={0,如果c=0o

几何叫义：喇轴ot,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对

值。

2.证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质

之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:

(1)|«|>«,当且仅当“20时等号成立，回》-。.当且仅当时等号成

立。

(2)|a|=y[a^,(3)网.例=QH，(4)H=：吐0)

b

那么+W=\a+.?|a|—=\a+h\?

8

二'讲解新课:

探究：网,例之间的什么关系？F3b-x

结论：|a+耳W|a|+p|（当且仅当为20时,等号成立.）

已知a仍是实数，试证明：卜+。尸同+回（当且仅当初'0时，等号成立.）

方法一：证明：1。.当ab，0时，2.当ab<0时，

ah=—\ab\,

ab=labI,

IQ+AI=J(a+b)2

\a+b\=,（a+b）2

=J-2+2〃"+匕2

=yja2+2ah-\-b2=Ja|2二21"I+I。|2-

=^\a\i+l\a\\b\+\b\2

<^\a\2+2\a\\b\+\b\2

综合1。,气知流理成立.

=加1+而

方法二：=命柝海,l两边平方（略）

=\a\+\b\

定理1如果小〃是实数，则a\+\b\(当且仅当打20时，等号成

立.）

（1）若把〃换为向量情形又怎样呢？

a+b

根据定理1,有「+4+|-4却a+b-q,就是，K+q+码；网：所以,

|a+&|>|a|-1/?|o

定理（绝对值三角形不等式）

如果生分是实数，贝IJ网一网尸\a±b\^|«|+|Z»|

注：当。/为复数或向量时结论也成立.

推论1：|a+。++a|W|a|+|«|++|«I

9

推论2：如果4、6、C是实数，那么悭-。乒.-耳+口-斗当且仅当

(a—b)(b—c)20时,等号成立.

思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？

(设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c,则线段

M《AC+C8.当且仅当C在A,B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特

别的，取c=0(即C为原点)，就得到例2的后半部分。)

三'典型例题：

例1、已知|x-a|<-/?|<i.,求证|(x+y)-(a+b)\<c.

证明|(x+y)-(a+b)|=|(尤-a)+(y-b)|<|x-a|+|y-Z>|(1)

■：\x-a\<L,\y-b\<L,

..\x-a\+\y-k\<-^+—=c

(2)一一

由(1),(2)得：|(x+y)-(a+b)\<c

例2、已知W<二,|y|<2.求证：Rx—3yl<<。

证明•.・因

4.622〃〃

由例1及上式，|2x-3y|<|2A|+|3y|<_+-=ao

注意：在推理比较简单时，我们常常将几N不喜式连在一起写。但这种写

法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例3两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工这两个地点分别

位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同

临时生活区每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次要使两个施工

队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处？

解：如果生活区建于公路路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为

—®-----------------------------------®-----------

那么S(x)MJ(|x-10|+|x-20|)%20

四'课堂练习：

1.(课本P习题第1题)求证：

20

(1)|a+Zr|+|a-6|>2|a|;(2)|a+*|-|a-6|2\b\

2.(课本P习题第3题)求证：

19

(1)|x-a|+|x-£>|^|a-Z»|;(2)|x-a|-|x-Z>|^|a-Z>|

3.(1)、已知忸一句<多求证：|(A_8)_(a—划<c°

10

(2)、已知|x-a|<£,|y-b|<£.求证：|2x-3y-2a+3b|<c。

五'课堂小结：46

1.实邓自辘劝直的意义：

⑴何=<0(a=0);(定义)

⑵同的人何意义)

2.定理(绝对值三角形不等式)

如果方是实数，贝4网-网|忘w士外w网+加注意取等的条件。

六、课后作业：课本P第2,4,5题

19

七.教学后记:

课题：第05课时绝对值不等式的解法

教学目标：

1：理解并掌握凶<a与凶>a(a>0)型不等式的解法.

2：掌握叵+.<c与W+M>c(c>0)型不等式的解法.

教学重点：国<。与因>。3>0)型不等式的解法.

教学难点：把绝对值不等式转化为一次不等式(组)来求解.

教学过程：

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一

定的了解。

请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴冲右个做到惊点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

|x|=<0,如果x=0o

在此基3七，本牌讨袍含有绝对值的不等式。

二、新课学习：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一

11

类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在

于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式因〈。的解集是

[x\-a<x<a},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开

区间（-a,a）,如图所示。

图1-1

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式因>。的解集是

{xIx>。或x<-a},它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合

是两个开区间（F,-a）,（a,8）的并集。如图1-2所示。

图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

3、|ax+44c和+.2c型不等式的解法。

Wc。-cWax+b<c

|ax+/?|>c<=>ax+b<—c或ax+8>c

4、|x—a|+k—b|«c和卜一4+,一耳2。型不等式的解法。（三种思路）

三、典型例题：

例1、解不等式内一1|<》+2。

例2、解不等式|3尤-1|〉2-x。

方法1：分类讨论。

方法2：依题意，原不等式等价于3x-l〉2-x或3x-l<x-2,然后去

解。

例3、解不等式|2尤+1|+|3%-2|25。

例4、解不等式,一2|+,一1|»5。

解：本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不

等式即数轴上的点x到1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所

12

以X在2的右边，与2的距离大于等于2(=(5-1)+2)；或者X在1的左

边，与1的距离大于等于2。这就是说，xN4或X4-1.

例5、不等式|x-l|+|x+3|>a,对一切实数x都成立，求实数a的取值范

围。

四、课堂练习：解下列不等式：

1、2|2x-l|>l.2、4|1-3A|-1<03、|3-2x|<x+4.

4、|x+1|>2—x.5\卜2-2x-4|<16、|x2-1|>x+2.

7、|Aj+|x-2]>48、|x-l|+|x+3|>6.9、N+|x+l]<2

10、||x|-|x-4||>2.

五'课后作业：课本20第6、7、8、9题。

六'教学后记:

第二讲证明不等式的基本方法

课题：第01课时不等式的证明方法之

一:比较法

教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学过程：

一、新课学习：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的

性质：

a>b<^>a-b>0

a=b<^>a-b=0

a<b<^>a-b<0

13

二'典型例题：

例1、设a,6都是正数，且求证：a3+b3>a2b+aba。

例2、若实数XHl,求证：3(1+X2+X4)>(1+X+X2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1+X2+X4)-(1+X+X2)2

=3+3x2+3x4—1—x2—X4—2x—2x2-2x3

二2(X4—X3—X+1)

=2(X-1)2(X2+X+1)

-2(x-l)2[(x+—)2+_].

,24]3

•••XW1,从而(x—l)2>0,且(X+_)2+二>0,

1324

2(X-1)2[(X+-)2+_]>0,

3(l+x2+X4)>(1+X+X2)2.

讨论：若题设中去掉xHl这一限制条件，要求证的结论如何变换?

例3、已知a/eR+,求证。血2

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1)堂直势较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设aN6>0.

,从而原不等式得证。

2)商值比蚊法：设a、b>0,

=(2)f>1.故原不等式得证。

ba>bah

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度加

行走，另一半时间以速度〃行走；乙有一半路程以速度加行走，另一半路程以

速度〃行走。如果问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用

的时间分别为/Jo要回答题目中的问题，只要比较/的大小就可以了。

1212

解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的

时间分别为,根据题意有Lm+L〃=s,1-+g=f,可得/=三一，

S(m+n)12222m2n21m+n

A2加〃2SS(m+n)S[4mn—(/n+n)2]S(m-几)2

IIIJt—t------c=---------------=—----------,

12+2mn2(m++n)mn

其中S,W,"都m是在n数，甬H"。手是/-t<0,即f<tO

I2I2

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果加=〃，甲、乙两人谁先到达指定地点？

14

三'课堂练习：

1.比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）X2与X2-X+1;（2）X2+/+1与（*+1）2.

2.已知GHI.求证：（1）。2>2。一1;（2）2"_<1.

、"+，，+，、1+42

3.^a>h>c>0,求证a”从C。2（abc）3.

四、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本'最重要的方法。用比较法证明不等式

的步骤是：作差（或作商）'变形'判断符号。“变形”是解题的关键，是最

重一步。因式分解'配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。

六'教学后记：

课题：第02课时不等式的证明方法之

二：综合法与分析法

教学目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综

口后O

2、了解分析法和综合法的思考过程。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明

15

方法。

教学过程：

一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的

基本方法。由

于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学

习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐

步推导出要证

的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显

的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比

方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是

“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。

二'典型例题：

例1、已知a,6,c>0,且不全相等。求证：

a(Jn+c2)+/?(c2+〃2)+C(Q2+/?2)>6abe

分析：用综合法。

例2、设。求证+加

证法一分析法

要证。3+/?3>成立.

只需证(。+b)(Q2-ab+b2)>ab(a+b)成立，又因a+b〉0,

只需证。2-ab+b^2成立，又需证a2-2ab+b?>0成立，

即需证(a-份2NO成立而(a-32>0显然成立由此命题得证。

证法二综合法

(a-b)220na2-2ab+b220=。2—+>ab

注意至>0,/?>0,即。+〃〉()，

由上式即得(a+。)(。2-ab+b^)>ab(a+b),从而。3+加2。2匕+ab?成立。

议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

例3、已知a,b,m都是正数，并且。求证：竺竺>2.

b+mb

(1)

证法一要证(1),只需证优。+加)>々S+机)(2)

要证(2),只需证加m(3)

16

要证（3）,只需证b〉a（4）

已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。

证法二因为〃>"7是正数，所以Am>am

两边同时加上ab得仇a+m）>a（b+m）两边同时除以正数b（b+m）

得（1）O

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相

等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积§勺大小。设

截面的周长为L,则周长为勺圆的半径为截面积为周长为L

的正方形为4,截面积为（4丫。所以本题只亲证明/上丫率丫。

证明：设截面的周长名匚则整面是圆的水管的截面再积名,截面

是正方形的水管的截面面积为才。只需证明：兀隹卜（打。2兀

为了证明上式成立，只需端如巴〉与。⑴

414fi216

两边同乘以正贮，得：->lo因此，只需证明兀。

L2（j*14/V

上式显然成立，所以:（>[:。

这就证明了：通过水磊朵鲁克速相同时，如果水管横截面的周长相

等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例5、证明：6Z2+/?2+c2>ah+hc-\-cao

证法一：因为«2+/?2>2ah（2）

Z?2+。222bc（3）

C2+tz2>2ca（4）

所以三式相加得23+/?2+c2）22{abbe+cd）

（5）

两边同时除以2即得（1）。

证法二：

。2+。2+C2—（ab+be+ca）=—（a-b）2+_（。-c）2+—（c—a）i>0,

222

所以（1）成立。

例6、证明：（。2+/?2）（C2+"2）之（〃C+Z?d）2.（1）

证明（1）=（〃2+〃2）（C2+d2）-（QC+/M）220（2）

=42c2+b2c2+Q2d2+/72d2-（。2。2+2abe4+b2d2）>0

（3）

0/?2c2+Q2d2-2abcd>0(4)

=(hc-ad)2>0(5)

17

(5)显然成立。因此(1)成立。

例7、已知a,6,c都是正数，求证公+加+c323a儿.并指出等号在什么时候

成立？

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

+bi+。3-3abc-(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)着手°

证明：。3+加+c3-3abc

TQ+/?+C)(Q2+/72+c2-ab-bc-cd)

+〃+c)[(〃―/?)2+S-C)2+(C-Q)2].

由于a,仇c都是正数，所以。+b+c>0.而

(a-b)2+(b-C)2+(c-a)2>0,

可知。3+/73+。3-3ahc>0

即+加4-C3>3abe(等号在a=b=c时成立)

探究：如果将不等式。3+加+C3>3aoe中的。3,/?3,c3分别用a,6,c来代替,

并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(l+a+0)(l+b+c)(l+c+a)>27,其中a,瓦c是互不相等的正数，且

abc-1.

三、课堂小结:

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上

(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个

正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也

是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。

四、课堂练习：

1、已知x>0,求证：X+—>2.

%、、114

2、已知x>0,y>0,xy,求证一+—>----.

、"____xyx+y

3、已知。>0,求证yja-b>y/a-y[b.

4、已知a>0,〃>0.求证：

(1)伍+/?)(〃—+/?-!)>4.(2)(。+b)(Q2+82)(。3+加)>8。3b3.

5、已知a,bed都是正数。求证：

z.xa+b+c+d、(-T-r—ra+Z?+c+d、―

(1)----------->yjab+y[cd;(2)----------->《abedr.

6、已知a,，c都是互不相等的正数,求证(«+/?+c)(qb+/?(?+co)>9ahc.

18

五、课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。

六'教学后记：

课题：第03课时不等式的证明方法之

三：反证法

教学目标：

通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会

用反证法证明简单的命题。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。

教学过程：

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出

发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，

有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是

指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它

的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方

法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体

地说，反证法不直接证明命题“若P则q”，而是先肯定命题的条件P,并否定

命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论

是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原

证不等式成立。

二'典型例题：

19

例1、已知。〉人>0,求证：nja>Hjb(九EN且〃>1)

例1、设〃3+加=2,求证a+b<2.

证明：假设〃+人>2,则有。>2-匕，从而

。3>8-12/?+6/?2一加，

。3+加>61n-12/?+8=6s-1)2+2.

因为6(8-1)2+222,所以原+加>2,这与题设条伟3+加=2矛

盾，所以，原不等由+。工2成立。

例2、设二次函数/(x)=x2+p无+外求证：J⑴|,|/(2)|,|/(3)］中至少有一

个不小于JL.

2

证明：假设|川)|,|/(2)|,|/(3)|都小于;，则

|/(1)|+2|/(2)|+|/(3)|<2.(D

另一方面，由绝对值不等式的性质，有

|/(D|+2|/⑵|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|

二|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2

(1)、(2)两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个

不等式时，通常采用反证法进行。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通

常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及

与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有

什么特点？

例3、设0<a,b,c<1,求证：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可

能同时大于L

4

证：设(1?a)b>1,(1?b)c>1,(1?c)a>1,

444

20

则三式相乘：ab<(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a<1①

64

(1?)

又<a,b,c<1,,-0<(l-q)a<|~^tfT=L

24

同理：(l-b)b<1,(l-c)c<1

44

以上三式相乘：(1?a)a?(1?b)b?(1?c)cW-L与①矛盾...原

64

式成立

例4、已知a+b+c>0,ab+be+ca>0,abc>0,求证：a,b,

c>0

证：设a<0,,「abc>0,.'.be<0又由a+b+c>0,则b+

c=?a>0

.".ab+be+ca=a(b+c)+be<0与题设矛盾又：若a=

0,则与abc>0矛盾，必有a>0

同理可证：b>0,c>0

三、课堂练习：

1、利用反证法证明：若已知a,b,m都是正数，并且a<6,则

a+ma

------->—.

b+mb

2、设0<a,b,c<2,求证：(2?a)c,(2?b)a,(2?c)b,不可能

同时大于1

3、若x,y>0,且x+y>2,则3和士中至少有一个小于2。

xy

提示：反设22,火22..)，y>0,可得x+yW2与x+

xy

V>2矛盾。

四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果;

21

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原

证不等式成立。

五'课后作业：

课本29页第1、4题。

六'教学后记：

课题：第04课时不等式的证明方法之

四：放缩法

教学目标：

1.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

2.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重、难点：

1.掌握证明不等式的两种放缩技巧。

2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程：

一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出

明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明

的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用

处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

22

二、典型例题：

例1、若“是自然数，求证_L+_L+JL+…+」_<2.

11112[2232〃2

证明：:——<------=----——=2,3,4,…，几

勺24(大一《)氏-1]111

/__+—+—+…+—<-+——+---+…+-------

122232«211-212-i31(n-l)-nii

=彳+(7一彳)+(不一不)+・••+(---7——

111223n-1n

=2——<2.

..111〃1

注意：实际上，我们在证明上+一+—+・••+—<2的过程中，已经得到

1I112122321〃2

一个更强的结论」■+-!-+上+--+」-<2-1，这恰恰在一定程度上体现了放缩

122232几2n

法的基本思想。

1

例2、求证：1+1+J-+-L+・・・+<3.

J1__1x_2l_x_2xj广31xi2x3x•••xH

证明：由-----f----------<--——-<--：-一----,(k是大于2的自然数)

甲2X我…x51-2-2...2J2A-I

得1+_+---+-------+…+--------.——L

1112ilx2x31[X2X3XG巧7ri

v1+1+—+——+——+•••+—=1+"=3一<3.

222232”1T112〃-1

例3、若a,b,c,d?R+,求证：1一2

iabcd

1<--------+------+--------+--------<2

、。+。+db+£+ac+y+bd+w+cj

证：记m=-------+--------+--------+/a,b,c,d?R+

a+b-^db+c+abc+d+bd^-a+cd

••m>+---------+----------+-------=-1---

Q方Z?+c%da卞b+c%c+d+a+Z?d+a+b+c

m<----+----+----+——二2/.1<m<2即原式成

a+ba+bc+dd+c

立。

例4、当n>2时，求证：log(n-l)log(n4-1)<1

nn

证：'/n>2log(n-1)>0,log(n4-1)>0

log(H-l)log(〃；1)<厚产一甘做(〃+1邛=吗(〃口

“«1吃〃2卜]」12

-'.n>2时，log(n-l)log(n+1)<1

三、课堂练习：

1、设〃为大于1的自然数，求证」…+_L>_L.

1,?^1〃彳2〃+2a2

2、设〃为自然数，求证(2-_)(2-一)(2-_)…(2-----)>-.

nnnn/i!

四、

常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

(I)如果分子不变，分母缩小(分母仍为正数)，则分式的值放大;

(II)如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。

五、课后作业：课本29页第