陕西省高二年级上册10月期中考试数学（理）试题（解析版）

一、单选题

1.设命题pHxeZllx+l,则。的否定为（）

A.VxgZ,x2<2x+1B.VxeZ,x2<2x+l

C.3xgZ,x2<2x+\D.eZ,x2<2x

【答案】B

【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.

【详解】命题pHxeZ./zZx+l,则P的否定为：VxeZ,x2<2x+1.

故选：B

【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词

命题.

2.已知x,y的取值如下表所示：

X0134

y2.24.34.86.7

若y与x线性相关，且y=0.95x+a,贝I」4=（）A.2.2B.2.9C.2.8D.2.6

【答案】D

【分析】利用平均数可得样本的中心点为（2,4.5）,将中心点对应的值代入题目中的等式即可求出“

的值.

【详解】由表格，得£=:（0+1+3+4）=2,

歹=；（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5,

线性回归直线过样本中心点（2,4.5）,

所以4.5=0.95x2+°,所以a=2.6.

故选：D

3.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑

球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑

球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说

法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可

【详解】①“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发

生，不是互斥事件，故错误.

②“至少有一个黑球，，等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球，，，“至少有一个红球，，等价于“一个黑

球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.

③“恰好有一个黑球”等价于"一个黑球和一个红球“，与“恰好有两个黑球“，不同时发生，还有可能

都是红球，不是对立事件，故正确.

④“至少有一个黑球,，等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球,,，与，，都是红球，，，不同时发生，但一

定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.

故选：C

【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题

4.点/(1,1)到抛物线^=公2的准线的距离为2,则。=()

11-11„

A.--B.-丘或工C.-D.-12或4

【答案】B

【分析】根据抛物线的准线方程的公式结合抛物线的开口分类讨论求解.

【详解】由题可得抛物线方程为：x2=-y,所以2。=」，

aa

若空0,则抛物线开口向上，准线为、=-4=-』，

24。

所以点到准线的距离为1+；=2解得：，

4a4

若“<0,则抛物线开口向下，准线为夕=-4=-；,

24a

所以点到准线的距离为1+；=2解得(舍)或。=-二，

4a412

故选:B.

5.某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”

与“剪纸”两个社团.已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社

团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级高二年级高三年级

泥塑abC

剪纸XyZ

3

其中x：y：z=5：3：2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的为了了解学生对两个社团活

动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽

取的人数为()A.4B.6C.9D.10

【答案】B

【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.

【详解】因为“泥塑''社团的人数占总人数的

22

所以“剪纸”社团的人数占总人数的：，人数为800X：=320.

v33

因为，，剪纸，，社团中高二年级人数比例为一—二---=-,

x+y+z5+3+210

3

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320x5=96.

以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为96'黑=96'上=6.

oOO16

故选：B.

6.执行如下所示的程序框图，则输出的。=()

‘开始'

n=n+1

/输出a/

A.2B.1C.-1D.

【答案】D

【分析】由初始条件进入循环体，求出每一次。的值，可以发现规律，最后求出答案.

【详解】«="=2,。=-1；«=3,«=2.—；：…，。的值构成以3为周期的数列，因

为2020=3x673+1,所以当“=2020时，a=~.

2

故选：D

【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.

7.已知命题P：Vx€R,2*<3,；命题0：3xeR,x3=1—x2>则下列命题中为真命题的是：

A.B.RMc.p—qD.rp—q

【答案】B

【详解】x=0可知：命题P：VxeR,2*<3,为假命题，由函数图象可知命题qHxeR,/=1-V

为真命题，所以「夕人"为真命题.

【解析】命题的真假判断.

V-2V2

8.已知耳鸟分别是双曲线氏与-4=l（a>0,6>0）的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF、

ab~

与x轴垂直，sin/g4=；,则双曲线E的离心率为（）

3厂厂

A.-B.V2C.y/3D.2

【答案】B

【分析】根据直角三角形边与角的关系可得其巴=3崎，再利用双曲线的定义可求出

MF}=a,MF2=3a,利用勾股定理即可求解.

【详解】在直角三角形好工中，5出乙明与=饕=；,所以屿=3加百，

/V/2/23

根据双曲线的定义可知屿-吟=2町=2%

所以峙=a,屿=3°,

所以在直角三角形肛旦中由勾股定理得/+4/=9.2,

则4=2,所以e=£=也，

aa

故选:B.

9.已知抛物线/=4x,过焦点尸的直线与抛物线交于4,B两点,过4B分别作丁轴的垂

线，垂足分别为C,D,则I/CI+IB0的最小值为（）

B.2C.3D.5

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义可得|"。+忸。=|/1用-2,直线与抛物线联立求出焦点弦长，讨论最值

求解.

【详解】因为抛物线为V=4x,所以p=2,焦点尸（1,0）

设”（西，乂），8（七,%）,

根据抛物线的定义可得|工1+5=玉+5=以尸忸。|+5=%+5=忸3，

所以以1+怛q+「=|/可+忸尸

所以+忸a=,尸|+忸可一2,即|4C|+\BC\=\AB\-2

因为过F的直线与抛物线交于48两点，所以直线的斜率不等于0,

设为x=/ny+],

联立<1，得/一4叩-4=0,

x=my+1

所以必+=4〃？,再+尢2=加乂+1+叩2+1=机（乂+>2）+2=4〃/+2,

所以|力却=网+幽=%+勺X2+^=玉+/+P=4加2+4,

所以当且仅当机=0时有最小值为4,

则Mq+忸。=|/邳-2有最小值为2.

故选:B.

10.如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）尸为其中一个焦点的椭圆.已知它的近

地点A（离地面最近的点）距地面加千米，远地点8（离地面最远的距离）距离地面“千米，并且

F,A,5在同一条直线上，地球的半径为R千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（）千

A.2mnB.J(M+R)(〃+R)

C.mnD.2&m+R)(n+R)

【答案】D

【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长.

【详解】由题设条件可得|必|i+H,|用|=/?+加，

设椭圆的半长轴长为。，半焦距为则。+。=〃+火，a-c=R+m,

故短半轴长为b=yicr-c2=+R)(n+R),

所以短轴长为2j(〃z+&(〃+/?),

故选：D.

11.设e是椭圆片+《=1的离心率，且则实数上的取值范围是()

4k\2)

A.(0,3)B.p,牛)C.(O,3)U(4,+℃10。

【答案】C

【分析】对k分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数上的取值范围.

■>2

【详解】由椭圆方程上+二=1,

4k

当0<“<4时，/=4,及=k,c2=4-k,

所以e2=4=tA,由ee©[],解得0<左<3,

当%>4时，d=卜,z>2=4,c2=Zr-4,

所以e2=1=I,由ee佶/)，解得上>¥，

ak)3

故实数k的取值范围为(O,3)U(g,+8).

故选：C.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于基

础题.

12.已知点P为双曲线捺-£=15>0力>0)上任意一点，耳、名为其左、右焦点，。为坐标原

点.过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为〃、N,则下列所述错误的是()

A.为定值

B.0、尸、M、N四点一定共圆

C.两•庵的最小值为

D.存在点P满足P、M、4三点共线时，P、N、g三点也共线

【答案】D

【分析】对于A,设尸（x。,后）,表示出即可判断A；对于B,由题目可得，M,N

两点在以0P为直径的圆上，故可判断B；对于C,由双曲线的对称性可知西•丽=|丽|2-02,

由|由122a2,故可判断C；对于D,利用双曲线的对称性，不妨设直线EN垂直一条渐近线，垂足

为N；直线鸟河垂直另一条渐近线且交双曲线于点P,易知直线6N与直线月〃的交点始终落在y

轴上，可判断D.

【详解】解：设尸（X。,％）,点尸仇,外）到渐近线y=<的距离为1PM=、：。,一叫,

Q7CT+b

212

•••|尸根疗闸=户7层（定值），故A正确；

•••NOMP=NCWP=90°,.•.口OMP和△<?*均为直角三角形，M,N两点在以0P为直径的圆上，

故B正确：

由双曲线的对称性可知所.电=（而+西）•（所-砒）=|而西『=|而其中

c2=a2+b2,

22222

■■■|P0|>aPFxPF2>a-c=-b成立，故C正确；

如图利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线乙M垂直另一条渐近

线且交双曲线于点尸，易知直线6N与直线鸟”的交点始终落在y轴上，故D不正确.

故选：D.

二、填空题

13.双曲线［-/=1的渐近线方程为

【答案】y=+-^-x

2

【分析】由双曲线方程得。=血,6=1,再计算渐近线方程.

1

【详解】岭--，得。故渐近线方程为y=±

正2

故答案为：y—+-^-x

2

14.下列命题正确的是.(填入序号)

①若命题P为假命题，命题g是真命题，则(rp)v(「g)为真命题.

②命题“若2与5的夹角为锐角，则展月＞0”及它的逆命题均为真命题.

③命题“若/+》=0,则x=0或x=-l”的逆否命题为“若xwO且xw-1,贝吐+"0”.

【答案】①③

【分析】通过命题的性质一一判定即可.

【详解】对于①：

命题p为假命题，命题q是真命题，

则命题「。为真命题，命题为假命题，

对于(rP)v(-＞4)有真为真，则为真命题;

对于②：

命题“若2与5的夹角为锐角，则万万＞0”中，

当3与很的夹角为锐角，

则cos®,>0,

则。=同.Wcos(1,B)>0,

则原命题为真命题，

它的逆命题“若晨B>o,则]与5的夹角为锐角”中，

当a石>o,

则展月=|a|-|fe|cos/a,6\>0,

则cosG，5)>0,

则2与5的夹角为锐角或0,

则它的逆命题为假命题；

对于③：

对于命题“若一+x=o,则x=o或L1”,

它的逆否命题为“若XH0且XH-1,则/+XR0”；

综上所述：①③正确，

故答案为：①③.

15.设。为实常数，y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=9x+y-7,若“

*e[0,+8),+是假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】

【分析】先利用y=/(x)是定义在R上的奇函数求出x>0函数的解析式，

再根据Fxe[0,+oo),〃x)<a+l”是假命题，可得该命题的否定是真命题，即/(x)2a+l对一切

xNO成立，利用基本不等式求出了(力的最小值,解不等式求出a的范围.

【详解】因为V=/(x)是定义在R上的奇函数，所以当x=0时J(x)=0；

2

当x>0时，则—x<0,所以/(-x)=-9x—幺+7.

X

所以/(x)=-/(-x)=9x+--7.

因为/(切2。+1对一切“0成立，

所以当x=0时,02。+1成立，所以；

当x>0时,9%+^--7N.+1成立,只需要9x+---7>a+\

X[X}m.n

因为9x+幺一72—7=6时一7,所以6同一7之〃+1,

QQ

解得：嘿或“4-；；

Q

综上所述：«<-y.

故。的取值范围为

三、双空题

16.椭圆工+乙=1上一点P满足到左焦点耳的距离为8,则点尸到右焦点的距离为

®\PF?的面积是

【分析】由椭圆定义可知尸耳+尸乙=2。，可得归周=12；结合余弦定理算得cosN片「乙=-；，再

结合面积公式求解.

2,

【详解】由三+二=1,则"=10)=6,。=8,|耳闾=16

10036

故归用+俨周=2a=20,且归用=8,则|尸周=12；

64+144-256_1

2x8x12—-4

故答案为：12,12而

四、解答题

17.在①Zc8=0；②"xeZ“是“xe3”的充分不必要条件：③/uB=8这三个条件中任选一

个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合N={x|a-14x4a+l},8={x|-14x43}.

⑴当。=2时，求/1U8；

(2)若,求实数a的取值范围.

【答案】(1)/U8={X|-14X43}

(2)答案见解析

【分析】(1)由并集运算求解即可；

(2)选①：由交集运算的结果列出不等式，得出实数”的取值范围.选②：由A是8的真子集，结

合包含关系得出实数。的取值范围.选③：由力勺8,结合包含关系得出实数a的取值范围.

【详解】(1)当〃=2时，集合Z={X|14X43},B={X|-14X43},

所以NUB={X|-1VXM3}.

(2)若选择①Nc8=0,

因为Z={x|a-14xWa+l},所以/六0,

又8={x|-14x43},所以a-l>3或a+l<-l,解得a>4或a<-2,

所以实数a的取值范围是(V,-2)U(4,+8),

若选择②，"xe4”是“xe8”的充分不必要条件，则"a'ZwB,

因为/={x|“-14x4a+l},所以/H0,

(a-12—1[Q—\.>—1

又8={x|-1"W3},所以或解得04心2,

[a+1<3[a+l<3

所以实数a的取值范围是[0,2].

若选择③，=则/仁8,

因为』={x|“-lMx4a+l},所以/H0,

—12—1

又B="|UW3},所以,解得0Wa42,

kz4-1<3

所以实数a的取值范围是[0,2].

18.已知集合”=卜卜34x<4},8=卜|2机-14x4机+1}

（1）若求实数切的取值范围.

（2）命题q：l43xe使得xe8”是真命题，求实数，〃的取值范围.

【答案】（Dm2—1；（2）[-4,2].

【分析】（1）B=A,分8为空集和8不是空集两种情况讨论求解即可：

（2）由HxeZ,使得xeB,可知8为非空集合且W0,然后求解=0的情况，求出

机的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当8为空集时，加+1<2布-1,加>2成立.

m+l>2m-l

②当8不是空集时，•.,8勺工，，2机-12-3,m<2

+1<4

综上①②，〃此一1.

（2）BxeAf使得xe8,・・.8为非空集合且力PlB/+122〃?-K2.

[2m—1>4[w+1<-3

当Zc8=0时1,无解或{,m<-4,

[m<2[m<2

/Cl8=0,me[-4,2].

19.下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：

年份20172018201920202021

年份代码X12345

N（单位：人）24478

经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现y与x的线性相关程度很高.

（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程？=&+&；

（2）根据所得的经验回归方程，预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数.

〃〃

-^（x,-x）（x-7）2卬厂师

参考公式：=-----------T---------，a=y-b-x.

£（土一可。fx；-而2

/=1/=1

【答案】（1）夕=1&+0.5

⑵11人

【分析】（1）利用最小二乘法计算可得经验回归方程;

（2）将x=7代入经验回归方程即可求得所求预估值.

।-t-1*,,14/if-1+2+3+4+5,—2+44-4+7+8

【详解】(1)由表格数据r1知：x=----------------=3,y=------------------=5,

2升必=2+8+12+28+40=90,^x,2=1+4+9+16+25=55,

i=1/=!

^90-5x3x5

=1.5,.*.5=5-1.5x3=0.5,

55-5x9

「J关于五的经验回归方程为：夕=L5x+0.5.

(2)2023年对应的x=7,则＞=1.5x7+0.5=11,

即该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数约为11人.

20.2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育

中心举行.某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分

钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.

04080120160200240280时长/分钟

（1）求频率分布直方图中。的值，并估计样本数据的中位数；

（2）采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在［200,280］的学生中抽取6人.现从

这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在［200,240）”

为事件A,求尸（⑷.

【答案】⑴。=0.004,中位数为160；

⑵|

【分析】（1）先利用频率的和为1求出“，利用频率分布直方图计算得观看时长在160分钟以下的

样本所占比例为0.5,即可得到中位数；

（2）利用分层抽样确定［200,240）,［240,280］应抽取的人数，对6人进行编号，用列举法写出任取

3人的所有基本事件，得出事件A的基本事件，计数后计算概率

【详解】(1)由题意得40x(0.0005+0.002x2+2^+0.006+0.0065)=1，解得a=0.004,

由频率分布直方图可知，观看时长在160分钟以下的样本所占比例为

40x(0.0005+0.002+0.004+0.006)=0.5,

所以样本数据的中位数为160；

(2)由题意，观看时长在［200,240),［240,280］对应的频率分别为0.004x40=0.16和

0.002x40=0.08,

所以采用分层随机抽样的方式在这两个区间中应分别抽取4人和2人，

设观看时长在［200,240)的4人为48c。，观看时长在［240,280］的2人为瓦尸，

从中抽取3人的基本事件有：ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,

ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF共20个，

其中事件A的基本事件有/8瓦/8尸,/CE,力CF,ADE,ADF,BCE,BCF,BDE,BDF,CDE,CDF共12

123

个，所求概率为尸(4)=去=《

21.已知抛物线C:/=2PMp>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满足而=9/，求直线。。斜率的最大值.

【答案】⑴y2=4x；(2)最大值为g.

【分析】(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

(2)设。(%,为)，由平面向量的知识可得尸(10x0-9,10%),进而可得X°=25；：+9,再由斜率公

式及基本不等式即可得解.

【详解】(1)抛物线。：/=2川5>0)的焦点/怎,0),准线方程为x=g,

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为与-［-5)=0=2,

所以该抛物线的方程为/=4x；

(2)［方法一］:轨迹方程+基本不等式法

设。(%,4)，则而=9/=(9-9x0,-9%),

所以P(10x0-9,10必),

由P在抛物线上可得(10%)2=4(10%-9),即X。=25；；9,

2a

据此整理可得点。的轨迹方程为/

k―典广盟_10)'。

所以直线。。的斜率'型/25尤+925诉+9,

10

当儿=0时，自°=0;

,10

当盟‘°时，”。一嬴R，

当儿>0时，因为25%+2之225%,2=30,

NoV凡

i93

此时0<%0《，当且仅当25%=一，即%.时，等号成立；

SNo5

当为<0时，自°<0;

综上，直线。。的斜率的最大值为!.

［方法二］:【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为V=(x-

,29

设直线。。的方程为y=履，则当直线。。与抛物线V=gx-三相切时，其斜率左取到最值.联立

y=kx,

得“-%+盘=0,其判别式△=(一2］-4/X2=0,解得左=±；,所以直线0。

-22

卜=:525I5/253

斜率的最大值为;.

［方法三I:轨迹方程+换元求最值法

2Q

同方法一得点Q的轨迹方程为/=丁一福.

设直线0。的斜率为肌则〃2=化1=5_-".

IXJ5x25x

令„</吟)，贝西=一家+|/的对称轴为/=£,所以04Mq故直线。2

斜率的最大值为;.

［方法四|：参数+基本不等式法

由题可设尸(",4f)(f>O),0(x,歹).

因为尸(1,0),而=9/，所以(x-4/,y-4/)=9(l-x,-y).

X-4/=9(l-x)10x=4/+9

于是,所以<

y-4t=-9y\0y=4t

y4t4,41

-=--------=s—।=-

则直线。。的斜率为X4r+94/+2-2和53.

当且仅当4/='9,即f=39时等号成立，所以直线。。斜率的最大值为1：.

t23

【整体点评】方法一根据向量关系，利用代