《应用多元分析》第三版(第二章)

《应用多元分析》第三版ppt第二章大纲CATALOGUE目录数据矩阵与多元分布多元正态分布及其性质多元正态总体均值向量和协方差矩阵估计判别分析与聚类分析初步主成分分析及其应用因子分析模型及其求解方法01数据矩阵与多元分布由多个变量的观测值按一定顺序排列而成的矩阵，行表示观测个体，列表示变量。数据矩阵定义数据矩阵类型数据矩阵性质根据数据类型不同，可分为连续型、离散型和混合型数据矩阵。具有维度、秩、迹等基本性质，是进行多元统计分析的基础。030201数据矩阵基本概念03多元分布的矩包括均值向量、协方差矩阵和相关系数矩阵等，用于描述多元分布的数字特征。01多元分布定义描述多个随机变量联合分布情况的概率分布，是一元分布的推广。02多元正态分布最常见的一种多元分布，具有很多良好的性质，如线性变换不变性、独立性与不相关性等。多元分布及其性质01样本各变量的均值构成的向量，是总体均值向量的估计。样本均值向量02反映样本各变量之间协方差关系的矩阵，是总体协方差矩阵的估计。样本协方差矩阵03具有无偏性、一致性等优良性质，是进行多元统计分析的重要工具。样本均值向量与协方差矩阵的性质样本均值向量与协方差矩阵数据标准化处理提高数据分析的准确性和可靠性；消除指标之间的量纲影响；避免数值问题，如计算过程中的溢出等。数据标准化的意义将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间，以去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。数据标准化定义包括Z-score标准化、最小-最大标准化、小数定标标准化等。数据标准化的方法02多元正态分布及其性质二元正态分布从二维随机变量的分布出发，介绍二元正态分布的定义、性质及其图像。多元正态分布将二元正态分布的概念推广到多维情况，给出多元正态分布的定义和性质。密度函数与分布函数详细解释多元正态分布的密度函数和分布函数，以及它们的性质和特点。多元正态分布定义期望、方差和协方差介绍多元正态分布的期望、方差和协方差等数字特征，以及它们与分布的关系。线性变换不变性阐述多元正态分布在线性变换下的不变性，即经过线性变换后仍为多元正态分布。独立性与相关性讨论多元正态分布中各个分量之间的独立性和相关性，以及它们对分布的影响。多元正态分布性质在给定部分分量的条件下，推导多元正态分布的条件分布，并讨论其性质和应用。条件分布通过积分或其他方式，求出多元正态分布中部分分量的边缘分布，并讨论其与其他分量的关系。边缘分布结合实例，介绍条件分布和边缘分布在统计推断、回归分析等领域的应用。应用举例条件分布与边缘分布独立性、相关性与不相关性独立性概念明确多元随机变量独立性的定义和性质，以及独立性在多元正态分布中的特殊性质。相关性度量介绍相关系数、协方差矩阵等度量多元随机变量相关性的方法和指标，以及它们在多元正态分布中的应用。不相关性与独立性关系讨论不相关性与独立性之间的关系和区别，特别是在多元正态分布中的表现和解释。应用举例结合实例，阐述独立性、相关性和不相关性在多元统计分析中的实际应用和意义。03多元正态总体均值向量和协方差矩阵估计样本均值向量作为均值向量估计对于多元正态总体，其均值向量可以通过样本均值向量进行估计，样本均值向量是各个样本点在每个维度上的均值组成的向量。样本均值向量的性质样本均值向量是总体均值向量的无偏估计，当样本量增加时，样本均值向量依概率收敛于总体均值向量。样本均值向量的应用在实际应用中，可以通过抽取一定数量的样本，计算样本均值向量来估计总体的均值向量。样本均值向量的定义样本协方差矩阵的定义对于多元正态总体，其协方差矩阵可以通过样本协方差矩阵进行估计，样本协方差矩阵是各个样本点在各个维度上的偏差乘积的平均值组成的矩阵。样本协方差矩阵的性质样本协方差矩阵是总体协方差矩阵的无偏估计，当样本量增加时，样本协方差矩阵依概率收敛于总体协方差矩阵。样本协方差矩阵的应用在实际应用中，可以通过抽取一定数量的样本，计算样本协方差矩阵来估计总体的协方差矩阵，从而了解总体各个维度之间的相关性和变异程度。010203样本协方差矩阵作为协方差矩阵估计一致性随着样本量的增加，样本均值向量和样本协方差矩阵都依概率收敛于总体参数的真实值，即它们具有一致性。有效性在无偏估计量中，样本均值向量和样本协方差矩阵具有最小的方差，即它们是最有效的无偏估计量。无偏性样本均值向量和样本协方差矩阵都是总体参数的无偏估计量，即它们的期望值等于总体参数的真实值。估计量性质置信区间对于总体均值向量和协方差矩阵的估计，可以构造置信区间来表示估计的可靠程度。置信区间是指在一定置信水平下，总体参数落入的区间范围。假设检验在实际应用中，常常需要对总体参数进行假设检验，即根据样本信息对总体参数做出推断。例如，可以检验两个总体的均值向量是否有显著差异，或者检验总体协方差矩阵是否等于某个给定的矩阵。置信区间与假设检验04判别分析与聚类分析初步123判别分析是一种统计方法，用于判断一个或多个定量变量的取值对样本所属类别的影响，进而对未知类别的样本进行预测。判别分析定义判别函数是用于描述各类别之间差异的函数，通常由样本的定量变量和类别变量构成。判别函数判别准则是用于评价判别效果的指标，如误判率、准确率等。判别准则判别分析基本概念聚类分析是一种无监督学习方法，用于将样本划分为若干个类别，使得同一类别内的样本相似度较高，不同类别间的样本相似度较低。聚类分析定义常见的聚类方法包括K-means聚类、层次聚类、密度聚类等。聚类方法聚类效果评价通常使用轮廓系数、Calinski-Harabasz指数等指标。聚类效果评价聚类分析基本概念距离与相似度度量方法距离度量距离度量是衡量样本间相似度的一种方法，常见的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等。相似度度量相似度度量是衡量样本间相似程度的另一种方法，常见的相似度度量方法包括余弦相似度、皮尔逊相关系数等。类别数确定类别数的确定通常需要根据实际问题和数据特点进行综合考虑，可以使用一些统计方法或可视化工具进行辅助判断。类别命名与解释对划分出的各类别进行命名和解释，以便于理解和应用。类别划分原则类别划分应遵循同一类别内差异最小、不同类别间差异最大的原则。类别划分标准05主成分分析及其应用线性变换与降维通过线性变换将原始变量转换为新的综合变量，实现数据降维。方差最大化主成分分析旨在找到使新变量方差最大的方向，以保留尽可能多的原始信息。不相关主成分各主成分之间相互独立，即协方差为0，避免信息重叠。主成分分析基本原理协方差矩阵或相关矩阵根据原始数据计算协方差矩阵或相关矩阵。主成分表达式将特征向量按对应特征值大小排序，得到各主成分的表达式。特征值与特征向量求解协方差矩阵或相关矩阵的特征值和特征向量。主成分求解方法通常选择累计贡献率达到80%或85%以上的前几个主成分。累计贡献率Kaiser准则建议保留特征值大于1的主成分。特征值大于1通过绘制碎石图（ScreePlot）观察主成分变化的拐点，确定主成分个数。碎石图主成分个数选择标准主成分得分将原始数据代入主成分表达式，计算各样本在各主成分上的得分。主成分解释结合专业知识，对主成分的实际意义进行解释，如某主成分可能代表某种经济现象或社会现象。主成分应用将主成分得分作为新的变量，用于聚类、回归、评价等多元分析方法。主成分得分及解释03020106因子分析模型及其求解方法因子分析基本概念通过降维技术，将多个相关变量转化为少数几个不相关的综合指标，即因子。因子分析假设条件包括变量间的相关性、因子载荷的特殊性等。因子分析数学模型描述观测变量与因子之间的关系，包括因子载荷、公因子方差等概念。因子分析模型介绍通过主成分分析，将原始变量转换为新的主成分，进而求解因子载荷矩阵。主成分法基于概率统计原理，通过最大化样本数据的似然函数来估计因子载荷矩阵。最大似然法如最小二乘法、迭代法等，可根据具体情况选择使用。其他方法因子载荷矩阵求解方法使因子载荷矩阵结构简化，便于对因子进行解释和命名。因子旋转目的包括正交旋转和斜交旋转两大类，具体方法如方差最大法、四次方最大法等。因子旋转方法根据旋转后的因子载荷矩阵，结合专业知识和实际背景，对因子进行解释和命名。因子解释与命名因子旋转与解释因子得分概念