计算机图形学-第4章建模的数学基础(自学)

计算机图形学-第4章建模的数学基础(自学)目录CONTENCT引言几何建模基础曲线与曲面建模光照与材质建模纹理映射与细节增强数学基础在高级建模中的应用01引言计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理和显示图形的科学。它涉及到计算机图形硬件、图形软件标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。计算机图形学概述建模是计算机图形学的核心，它是将现实世界中的物体或场景转化为计算机能够处理的数学模型的过程。建模的质量直接影响到最终生成的图形的真实感和视觉效果。在游戏开发、电影制作、工业设计、建筑设计等领域中，建模都扮演着至关重要的角色。建模的重要性01020304线性代数几何学微积分学概率论和统计学数学基础在建模中的应用用于描述物体的表面细节和纹理，以及进行光照和阴影计算。用于描述物体的形状和结构，包括点、线、面等几何元素。用于描述物体的变换（如平移、旋转、缩放等）和光照计算。用于处理图形数据中的不确定性和噪声，以及进行图像分析和理解。02几何建模基础点的表示线的表示面的表示在计算机图形学中，点是最基本的图形元素，通常使用三维坐标(x,y,z)来表示一个点。线可以由两个点确定，表示为两点之间的所有点的集合。常见的线表示方法包括参数方程和隐式方程。面可以由三个或更多点确定，表示为这些点之间的所有点的集合。常见的面表示方法包括三角形网格、多边形网格和隐式曲面。点、线、面的表示坐标系坐标变换坐标系与坐标变换在计算机图形学中，常用的坐标系包括笛卡尔坐标系、极坐标系和柱坐标系等。不同的坐标系适用于不同的场景和需求。坐标变换是指将一个点或一组点在一种坐标系下的坐标转换为另一种坐标系下的坐标的过程。常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放等。平移变换平移变换是指将图形在平面上沿某一方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。平移变换可以通过向每个点的坐标添加一个常数向量来实现。旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点旋转一定的角度。旋转变换可以通过乘以一个旋转矩阵来实现，该矩阵描述了旋转的角度和方向。缩放变换缩放变换是指改变图形的大小，即沿各个方向放大或缩小一定的比例。缩放变换可以通过乘以一个缩放矩阵来实现，该矩阵描述了各个方向上的缩放因子。几何变换03曲线与曲面建模010203曲线的定义曲线的性质曲线的表示方法曲线的基本概念与性质曲线是空间中点的集合，可以表示为参数方程或隐式方程。连续性、光滑性、可微性、闭合性等。参数表示法、隐式表示法、显式表示法等。插值方法拟合方法逼近方法插值、拟合与逼近方法通过已知的点集，构造一个函数，使得该函数在某种意义下最接近已知点集。常见的拟合方法有最小二乘法、加权最小二乘法等。通过已知的函数或数据，构造一个近似函数，使得该函数在某种范数下最接近已知函数或数据。常见的逼近方法有最佳一致逼近、最佳平方逼近等。通过已知的点集，构造一个函数，使得该函数在已知点上取值与给定值相等。常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。80%80%100%曲面建模方法参数表示法、隐式表示法、显式表示法等。Coons曲面、Bézier曲面、B样条曲面、NURBS曲面等。计算机图形学、计算机辅助设计、计算机动画等领域中广泛应用曲面建模技术，如三维模型的建立、动画的制作、虚拟现实等。曲面的表示方法常见的曲面建模方法曲面建模的应用04光照与材质建模描述光线在场景中多次反射后形成的均匀照明效果。环境光模型模拟远距离光源，如太阳，光线平行且方向一致。平行光源模型模拟近距离光源，光线从一点向四周发散。点光源模型模拟有方向性的光源，如手电筒或舞台聚光灯。聚光灯模型光照模型描述不透明、无光泽的物体表面，反射光强度与入射角余弦成正比。Lambert材质模型在Lambert基础上添加高光效果，模拟光滑表面的反射。Phong材质模型改进Phong模型的高光计算，使其更加真实。Blinn-Phong材质模型描述表面微结构导致的光线反射方向不同的现象。各向异性材质模型材质模型漫反射光线照射到光滑物体表面后按照一定规律反射的现象。镜面反射折射阴影01020403光线被物体遮挡后在另一物体上形成的暗区。光线照射到物体表面后向各个方向均匀反射的现象。光线从一种介质进入另一种介质时发生的方向改变现象。光照与材质的交互05纹理映射与细节增强03纹理过滤在纹理映射过程中，由于物体表面和纹理图像分辨率不匹配，需要进行纹理过滤以保证图像质量。01纹理坐标定义在纹理空间中的坐标系统，用于确定纹理图像上每个点的位置。02纹理映射函数将物体表面上的点映射到纹理坐标空间中的函数，实现物体表面细节的添加。纹理映射原理基于物理模型的过程纹理生成利用物理模型模拟自然现象的纹理生成方法，如模拟水流、火焰等效果的纹理。基于噪声的过程纹理生成利用噪声函数生成随机性纹理，如石头、木材等。基于分形的过程纹理生成利用分形理论生成具有自相似性的纹理，如山脉、云朵等。过程纹理生成方法位移映射通过改变物体表面的几何形状来增强细节表现的技术，如凹凸贴图。法线映射通过改变物体表面的法线方向来模拟细节的技术，也被称为凹凸映射。视差映射利用视差原理增强物体表面细节的技术，通过计算视线与物体表面的交点并调整纹理坐标实现。细节增强技术06数学基础在高级建模中的应用123分形几何是一种研究不规则、自相似结构的数学分支，对于自然景物的建模具有重要意义。分形几何的基本概念分形维数是描述分形结构复杂度的重要参数，对于刻画自然景物的细节和纹理具有重要作用。分形维数与复杂度常见的分形生成算法包括迭代函数系统、L系统、分形噪声等，可用于生成山脉、云朵、树木等自然景物的三维模型。分形生成算法分形几何与自然景物建模刚体动力学与软体动力学刚体动力学研究刚体的运动规律，而软体动力学则研究可变形物体的运动规律，两者在基于物理的建模中都有广泛应用。碰撞检测与响应碰撞检测是判断两个物体是否发生接触的过程，而碰撞响应则是处理物体接触后的行为，如反弹、穿透、粘连等。物理引擎的基本原理物理引擎是一种模拟真实世界物理现象的计算机程序，可用于实现基于物理的建模与仿真。基于物理的建模与仿真数据采集与处理数据驱动的建模方法需要从现实世界或虚拟世界中采集数据，并进行预处理和后处理，以便