高中抛物线标准方程及几何性质

关于高中抛物线标准方程及几何性质第一节

抛物线的标准方程和几何性质第2页,共24页，2024年2月25日，星期天平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。

︳︳一、定义··FMlNd的轨迹是抛物线。则点e=MdMF,1=新课讲解第3页,共24页，2024年2月25日，星期天二、标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？第4页,共24页，2024年2月25日，星期天xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-

p2p2设点M的坐标为（x,y），由定义可知，化简得y2=2px（p＞0）第5页,共24页，2024年2月25日，星期天

方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。其中p为正常数，它的几何意义是焦准距

xyo··FMlNK第6页,共24页，2024年2月25日，星期天(m,n)··FMlNK若顶点在O1(m,n)，则方程为(y-n)2=2p(x-m)第7页,共24页，2024年2月25日，星期天图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）第8页,共24页，2024年2月25日，星期天四种抛物线标准方程的异同:共同点:

(1)原点在抛物线上；

(2)对称轴为X轴、Y轴；

(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点,与原点的距离等于一次项前面的系数的绝对值的1/4；即焦点与准线的距离等于一次项系数的绝对值的一半。不同点:(1)对称轴为x轴时，方程右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程右端为±2py，左端为x2

。

(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取+号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取-号。第9页,共24页，2024年2月25日，星期天O(0,0)AB·F(p/2,0)L:x=-p/2Kpy2=2pxO1(m,n)AB·F(h+p/2,k)L:x=h-p/2Kp(y-n)2=2p(x-m)顶点在原点顶点在点(m,n)抛物线草图画法：第10页,共24页，2024年2月25日，星期天O(0,0)AB·F(0,p/2)L:y=-p/2Kpx2=2py顶点在原点顶点在点(m,n)O1(m,n)AB·F(h,k-p/2)Kp(x-m)2=-2p(y-n)L:y=k+p/2第11页,共24页，2024年2月25日，星期天例1、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．分析：

例题讲解第12页,共24页，2024年2月25日，星期天例2、已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：y2=x1a即2p=1

a4a1∴焦点坐标是（，0），准线方程是：

x=4a1②当a<0时,,抛物线的开口向左p2=14a∴焦点坐标是（，0），准线方程是：

x=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向右p2=14a第13页,共24页，2024年2月25日，星期天例3、求抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=6x(2)y=－6x2(4)已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。(3)y=x2-4x+3(5)y2-mx-2y+4m+1=0的准线为x=3，求m。第14页,共24页，2024年2月25日，星期天例4、抛物线的焦点为F(1)若斜率为1的直线经过点F，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长。(2)抛物线上有三点A,B,C，且FA+FB+FC

=0，求|FA|+|FB|+|FC|。第15页,共24页，2024年2月25日，星期天1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2=-20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（-5，0）x=5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式跟踪练习第16页,共24页，2024年2月25日，星期天2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程是x=（3）焦点到准线的距离是2解：y2=12x解：y2=x解：y2=4x或y2=-4x

或x2=4y或x2=-4y第17页,共24页，2024年2月25日，星期天例5、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：1）设抛物线的标准方程为

x2=2py，把A（-3，2）代入，得p=2）设抛物线的标准方程为

y2=-2px，把A（-3，2）代入，得p=∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x

。第18页,共24页，2024年2月25日，星期天1.已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标准方程。

提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py跟踪练习第19页,共24页，2024年2月25日，星期天2.求顶点在，准线为的抛物线方程和焦点坐标。第20页,共24页，2024年2月25日，星期天例6、已知抛物线形古城门底部宽12m,高6m，建立适当的坐标系，求出它的标准方程。引申:(1)一辆货车宽4m,高4m，问能否通过此城门?(2)若城门为双向行道，那么该货车能否通过呢？第21页,共24页，2024年2月25日，星期天三、抛物线的几何性质x··FMlNKy·O对于y2=2px(p>0)1、范围：2、对称性：关于x轴对称3、顶点：O(0,0)顶准距=顶焦距=p/2，焦准距=p4、离心率e=1第22页,共2