高等数学曲线积分与曲面积分

关于高等数学曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义第2页,共43页，2024年2月25日，星期天被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量第3页,共43页，2024年2月25日，星期天2.存在条件：3.推广第4页,共43页，2024年2月25日，星期天注意：第5页,共43页，2024年2月25日，星期天二、对弧长的曲线积分的性质第6页,共43页，2024年2月25日，星期天三、对坐标的曲线积分的概念1.定义第7页,共43页，2024年2月25日，星期天类似地定义第8页,共43页，2024年2月25日，星期天2.存在条件：3.组合形式第9页,共43页，2024年2月25日，星期天4.推广第10页,共43页，2024年2月25日，星期天即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.四、对坐标的曲线积分的性质第11页,共43页，2024年2月25日，星期天五、对面积的曲面积分的定义1.定义第12页,共43页，2024年2月25日，星期天六、对面积的曲面积分的性质第13页,共43页，2024年2月25日，星期天基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧第14页,共43页，2024年2月25日，星期天曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面第15页,共43页，2024年2月25日，星期天莫比乌斯带典型单侧曲面:播放第16页,共43页，2024年2月25日，星期天曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:第17页,共43页，2024年2月25日，星期天七、对坐标的曲面积分的定义第18页,共43页，2024年2月25日，星期天被积函数积分曲面类似可定义第19页,共43页，2024年2月25日，星期天存在条件:组合形式:物理意义:第20页,共43页，2024年2月25日，星期天八、对坐标的曲面积分的性质第21页,共43页，2024年2月25日，星期天九、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终第22页,共43页，2024年2月25日，星期天对弧长曲线积分的计算定理第23页,共43页，2024年2月25日，星期天注意:特殊情形第24页,共43页，2024年2月25日，星期天推广:第25页,共43页，2024年2月25日，星期天例1解第26页,共43页，2024年2月25日，星期天例2解例3解第27页,共43页，2024年2月25日，星期天例4解由对称性,知第28页,共43页，2024年2月25日，星期天对坐标的曲线积分的计算定理第29页,共43页，2024年2月25日，星期天特殊情形第30页,共43页，2024年2月25日，星期天第31页,共43页，2024年2月25日，星期天例5计算其中L为摆线上对应t从0到2

的一段弧.提示:第32页,共43页，2024年2月25日，星期天例6计算其中

由平面y=z

截球面提示:

因在

上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.第33页,共43页，2024年2月25日，星期天十、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)选择积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面第34页,共43页，2024年2月25日，星期天定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分第35页,共43页，2024年2月25日，星期天例7解第36页,共43页，2024年2月25日，星期天第37页,共43页，2024年2月25日，星期天

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若则有•若则有(前正后负)(右正左负)对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号(上正下负)则有

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若第38页,共43页，2024年2月25日，星期天解:

把分为上下两部分根据对称性

思考:

下述解法是否正确:例8.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第五卦限部分.第39页,共43页，2024年2月25日，星期天第40页,共43页，2024年2