2024年新高考新结构数学大题-概率统计题型分类汇编（解析版）

概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。回顾 11PA=,PAB=，故PBA===； X的分布列为X012p 25 )》》(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望.(1)(1)(1)借助相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；(1)因为甲四局比赛后获胜的概率为4=，22 2 2 2 2 4 4CCCCC所以甲最终获胜的概率P=+++=；因此有P(X=4)=4+4=，则随机变量X的分布列为：X4567P 所以随机变量X的数学期望是.22布列及数学期望.PA=⋅+⋅+⋅+⋅=又PAB=⋅+⋅=，有PBA==；CC 5==CC 5== CC CC+C==，PX=3=⋅+33PX=4=C+C=，X234P1 PAB的值，利用条件概率公式可求得PBA的值，即为所求.则PX=0=3=，PX=1=C⋅⋅2=，PX=2=C⋅2⋅=，PX=3=3=，X0123P8 则PA==，PAB==.由条件概率公式可得PBA==×=，4455》》解法指导.数.》》(2)首先算出PB进一步结合二项分布的概率运算可得分布列以及数学期望.2=，2=，PX=2=C×2×PX=2=C×2×=PX=4=2×2=，所以X的分布列为X01234P 故EX的值为.22测.(1)结合分层抽样的性质分析求解；所以随机变量X的分布列为X01234P5 1所以PA=1-PA=1-PX=0-PX=4=1-16-16=.6677 设每次操作能否成功相互独立.选择的无人运输机进行操作.用事件B表示“选中的无人运输机操作成功”所以EX>EY，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值.》》解法指导.利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变》》6(1)(1)所以PA=++=；22p(其中0<p<1).现甲乙两名学生独立解题. 2 288决策(只需选择帮助一人做出决策即可).(1)；(2)答案见解析P(A(=4×C×P(B(=C×3×P(C(=C×3×=.2=.=.P=P(A(+P(B(+P(C(=.记A1表示选1个选项的得分，则期望为EP(A2=0(=p×+(1-p(×=(1+p(P(A2=2(=(1-p(，P(A2=5(=p，P(A3=0(=p+(1-p(×=，P(A3=5(=(1-p(×=，此时期望为E(A3(=0×+5×=.则E(B1(=0×-p(×1=2-p此时E(B2(=0×∵2-p<2-，2--(5-5p(=99 2，且P(M<248)=0.1.所以P(M≥248)=1-0.1=0.9，2》》解法指导.(1)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ)，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值.①正态曲线关于直线x=μ对称，从而在②P(X<a)=1-P(X≥a)，P(X<μ-a)=P(X≥μ+a).》》X1-μσ说明：对任何一个正态分布X∼Nμ,σ2来说，通过ZX1-μσ准正态分布表得到PX<X1=ΦZ.ZΦ(Z(ZΦ(Z((1)求出P(X≥6.04(，进而求出P(X<6.04)即可求解；(2)根据题意求出P(5.95<X<6.05)即可求解.(1)P(X≥6.04(==0.0228，∴P(X<6.04)=0.9772，2(2024·全国·一模)正态分布与指数分连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)=P(X≤x)．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C间工作相互独立.2(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)-F(38)；r0,t<01-,t≥0.>t2>0|T>t2)=P(T>t1-t2)；(1)根据正态分布的对称性即可结合F(x)=P(X≤x)的定义求解，(2)(ⅰ)根据条件概率的计算公式集合F(x)=P(X≤x)的定义以及G(t(的定义域即可求解，(1)由题设得P(38<X<42)=0.6827，P(36<X<44)=0.9545， 2所以F(44)-F(38)=P(X≤44)-P(X≤38)=P(40≤X≤44)+P(38≤X≤ 2P))==所以P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-t2).(ⅱ)由(ⅰ)得P（T>n+1|T>n)=P(T>1)=1-P(T≤1)=1-G(1)=，所以第n+1天元件B，C正常工作的概率均为.=. 速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带播带货后的销售金额情况统计.123456(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；xiyi-n(xi-((yixiyi-n==(xi-(2i=1x-n2样本相关系数r=(xi-((yi-( (yi-(2(xi- (yi-(2xiyi-n y-n2x-n y-n2;(yi-(2(yi-(2所以r=6xiyi-6==≈0.96.x-62y-62(2)由题意=i-=≈38.3，所以=85.4-×38.3=-48.7，所以y关于x的经验回归方程为y=38.3x-48.7，》》解法指导.》》份t的散点图.tiyii-(2=tiyin-Σtiyi-nt⋅t-n2(ti-((yi-(.(ti-(2(yi-(2.理量.由题意得===4，(ti-(2=(-3(2+(-2(2+(-1(2+02+12+22+32=28，(ti-((yi-(=tiyi-7=39.33-4×9.06=3.09，故r=≈≈0.97，(ti-)228，(2)由=≈1.29以及(1)可得=(-(yi-)=(ti-)228，则=-≈1.29-0.11×4≈0.85，故y关于t的回归方程为=0.8522x123456y136z=lny-0.70(1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，留到小数点后一位)y=bx+anx+my=e残差平方和(yi-i(2xi-xyi-yyi-i266参考公式及数据：=，=y-x，R2=1-，Σxiyi=121，Σx=91，xi-x2yi-y2i=1i=1【解析】(1)x==3.5,y==4，所以==≈2.11,=4-×3.5=-3.40，所以y=2.1x-3.4.由y=enx+m，两边取以e为底的对数得lny=nx+m，即z=nx+m，0.85=≈0.63,=0.85-×3.5=-1.36，(2)yi-y2=0.5-42+1-42+1.5-42+3-42+6-42+12-42=96.5，对于y=2.1x-3.4，R=1-；对于y=e0.6x-1.4，R=1-6， 媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓．某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对①χ2=，其中n=a+b+c+d；A3,B1，A3,B2，B1,B2共7种，故所求概率为P=.》》解法指导.(3)根据列联表中的数据及计算公式χ2=求出χ2的值；》》PX=1Y=0与PX=1Y=1的值；2=nad-bc2a+bc+da+cb+dαxα【答案】(1)PX=1Y=0=，PX=1Y=1=；(2)答案见解析【分析】(1)利用条件概率公式结合表格中数据可求得PX=1Y=0与PX=1Y=1的值；【解析】(1)由表格中的数据可得PX=1Y=0===，PX=1Y=1=PX=1Y=1=,==.nY=190922a+bc+da+cb+d2=nad-bca+bc+da+cb+dP(K2≥k0)k 则K2==≈12.659>10.828 光.且P(An(=f(n)，P(Bn(=g(n)，则P(Cn(=1-f(n)-g(n)，由题意知f(1)=P(A1(=1，当n≥2时，P(An(=P(Bn-1(P(An|Bn-1(+P(Cn-1(P(An|Cn-1(，即f(n)=g(n-1)+[1-f(n-1)-g(n-1)]，整理得f(n)=-f(n-1)，所以f(n)-=-f(n-1)-，f(n)-〈是以f(1)-=为首项，-为公所以f(n)-=⋅（-n-1，故P(An(=f(n)=⋅（-n-1+，即第n次闪红光的概率为⋅（-n-1+.》》解法指导.B发生的条件概率.2、全概率公式：P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)；P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P()P(B|)》》A2,A3(1)求P(Ai),i=1,2,3；(2)求P(B).,P(A3)=【答案】(1)P(A1)=,P(A3)=3,P(A3)=3,P(A3)==.=,P(A2)=(2)依题意，P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.7，3,P(A2)3,P(A2)=,P(A3)=3+0.7×+0.9×由全概率公式得P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3+0.7×+0.9×22胜负32=αxα胜负52358此时χ2==≈8.003>6.635，则P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2,P(D|A)=0.7,P(D|B)=0.8,P(D|C)=0.6,P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3×0.7+0.5×0.8+0.2×0.6=0.73.甲球员打中锋的概率为P(B|D)===≈0.55. (2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[30,45的概率；数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率).(3)根据条件概率公式求解即可.(3)设从苗圃中任选一棵高度位于区间[40,50的果苗为事则PBA===0.0225.》》解法指导.①×组距=频率.①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.横坐标之和，即有x=x1p1+x1p1+⋯+xnpn，其中xn为每个小长方形底边的中点，pn为每个小长方形的面积.》》所以PA=；PX=0==，PX=1==，PX=2==，所以X的分布列为X012P 27 47 722布列和数学期望Eξ;Pξ=0=(1-0.4)3=0.216,Pξ=1,Pξ=3=0.43=0.064.ξ0123P (2)求Xn能被3整除的概率Pn.(2)先得到递推关系Pn=(1-Pn-1(，再构造等比数列求解. Y012P 2 4 4所以Pn=(1-Pn-1(，则Pn-=-Pn-1-,则Pn-=-×（-n-1，即Pn=-×（-n-1.》》解法指导.系所学知识对已知条件进行转化。这类问题的命题方向总的来说有》》；i服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1,2,⋯,n,则EXi（=(2)证明见解析，Pn=-n-1+；(3)E(Y)=1-（-n+则Pn+1=(1-Pn)⋅，变形可得Pn+1-=-Pn-,即Pn+1=-Pn+，即Pn+1-=-Pn-,又P1-=，所以数列所以Pn-=-n-1，即Pn=-n-1+.*.由(2)可知，Pi=-i-1+，则E(Y)=Pi=-i-1+=1-（-n+. 于是得甲赢得全部赌注的概率为++ 23 23 = 8=当Y=4时，乙以4:3赢，P(Y=4(=Cp(1-p则乙赢得全部赌注的概率为P(A(=(1-p(3+3p(1-p(3=(1+3p((1-p(3，于是甲赢得全部赌注的概率f(p(=1-P(A(=1-(1+3p((1-p(3，f'(p(=-3(1-p)3-(1+3p(⋅3(1-p)2(-1(=12p(1-p)2，因此f(p(min=f=，乙赢的概率P(A(最大值为1-==0.0272， 爱好者中抽选人员分批次参加社区共建活动.共建活动共分3批次进行，每次活动需要同时派送2名选 =C 5C则有：Pξ=0==，Pξ=1===，Pξ=2==，(法一)因为Pξ=1>Pξ=2>Pξ=0，(3)按照先A后B的顺序所需人数期望最小.由题意：0<pB<pA<1，设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则X12PpA1-pAEX=pA+21-pA=2-pA，设Y表示先B后A完成任务所需人员数目，则Y12PpB1-pBEY=pB+21-pB=2-pB，∵EY-EX=pA-pB>0，∴故按照先A后B的顺序所需人数期望最小.》》解法指导.》》此时X=4，Px=4=0.5×0.5×2=0.5，此时X=6，Px=6=0.5×0.5×0.5×2=0.25；此时X=8，Px=8=0.5×0.5×0.5×2=0.25；所以三人总积分X的分布列为X468P所以EX=0.5×4+0.25×6+0.25×8=5.5.故PA=p31-p1+p3p11-p2p3+1-p3p21-p1p3；同理可得PB=1-p1p3+1-p11-p3p21-p1+p11-p2p31-p1；PC=p21-p1p3+1-p2p31-p1=p31-p1；显然PB-PC=1-p11-p3p21-p1+p11-p2p31-p1>0，故PB>PC，PA-PB=[p3p11-p2p3-p11-p2p31-p1[+[1-p3p21-p1p3-1-p11-p3p21-p1[=p1+p3-1p11-p2p3+p1+p3-11-p3p21-p1=p1+p3-1[p11-p2p3+1-p3p21-p1[，由于p1+p3>1，故PA-PB=p1+p3-1[p11-p2p3+1-p3p21-p1[>0，所以PA>PB；故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局. n=--n-1；(3)这方案不合理，见解析.1-an=an-1，由此可求得答案；P(X=3)=3=，P(X=4)=C⋅3=，P(X=5)=C⋅3=，P(X=6)=3=.X3456P 8 38 38 8n-1，n=an-1，即an-=-an-1-.又a1=1-=-，∴an-=--n-1，即an=--n-1.-1 -1--1 -1-1-199> 99=100=100>a99，1验.1 ,P(X=2)==,P(X=3)=,P(X=2)==,P(X=3)==故抽取次数X的概率分布为：X123P 353 22则PC=1-=，即小灯泡发亮的概率为.则小灯泡发亮的概率P=P1+P2+P3=0.081+0.081+0.729=0.891. 数为X，X=k(k=0,1,⋯,n)的概率记为PX=k，则n为何值时，PX=6的值最大？由题意可知：P=0.1,PB|A=0.8,PB|=0.3，则PA=1-P=0.9，所以PB=PB|P+PB|APA=0.75.可得PX=6=C6（1-n-6=C6n-6，令>1，解得n<7，可知当n≤6，可得an+1>an；令<1，解得n>7，可知当n≥8，可得an+1>an；8=a7；44在每轮答题中取胜的概率的最大值.再由二次函数的性质求出结果.Pξ=0==，Pξ=1=C=，Pξ=2=C=，Pξ=3==，ξ0123P 则P(A(=P(χ=1(P(η=2(+P(χ=2(P(η=1(+P(χ=2(P(η=2(2PP+P1P2+p2==PP,， 5(2024·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学开学考试)为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治药物M疾病A望.(a+b((c+d((a+c((b+d(.(a+b((c+d((a+c((b+d(.αxα(1)提出零假设为H0:药物M对预防疾量X的分布列，进而可得出E(X(的值.(1)零假设为H0:药物M对预防疾病A无效果，即认为药物M对预防疾病A有效果.(2)设A表示药物N的治愈率，B1表示对未服用过药物M，B2表示服用过药物M，由题意可得P(B1(==0.6，P(B2(=且PAB1=0.5，PAB2=0.75，所以PX=0=C3=，PX=1=C12=，PX=2=C21=，PX=3=C3=，X0123P8 66(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布Nμ,σ2，其中μ可近似为(1)根据超几何分布的概率计算即可求解分布列；(2)根据正态分布的对称性即可求解.则P(X≥1)==，又P(X=0)==,P(X=1)=C5=,P(X=2)==，则X的分布列为：X012P5 2=又Z~N(53,362)，故P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=[1-P(μ-2σ<Z<μ+2σ)]≈0.02275，77男女7 2 2(ⅱ)求第n(n∈N*(天他去甲餐厅用餐的概率pn.(a+b((c+d((a+c((b+d(,2(a+b((c+d((a+c((b+d(,αxα（9--n+1,(n≥（9--n+1,(n≥2(根据题意得P(A1(=P(B1(=,P(C1(=,P(Ai+1|Ai(=,P(Ai+1|Bi(=,P(Ai+1|Ci(=，P(Bi+1|Ai(=,P(Bi+1|Ci(=,P(Ci+1|Bi(=.P(B2(=P(B2A1+B2C1(=P(A1(P(B2|A1(+P(C1(P(B2|C1(=×+×=，*pn=P(An(=P(AnAn-1+AnBn-1+AnCn-1(=P(AnAn-1(+P(AnBn-1(+P(AnCn-1(=P(An-1(P(An|An-1(+P(Bn-1(P(An|Bn-1(+P(Cn-1(P(An|Cn-1(故pn=pn-1+qn-1+rn-1(n≥2(①n=pn-1+rn-1(n≥2(②rn=qn-1(n≥2(③pn+qn+rn=1④n=qn+qn-1，n-1=1-qn-1-rn-1，代入②,得：qn=-qn-1，即qn-=-qn-1-,n-=-n=qn+qn-1=1-（-n+1+1-（-n=--n+1n=,--n+1, 12345t(2)求y关于x的线性回归方程=x+.=-. (xi-(2=4+1+1+4=10，故=(i-((yi-(=1.47，(xi-(299i123456789xi则P(|Y-μ|≤σ(≈0.6827,P(|Y-μ|≤2σ(≈0.9545,P(|Y-μ|≤3σ(≈0.9973.2=16.内等价于P(|Y-μ|≤σ(≈0.6827发生，计算得出P(A(=0.682【解析】(1)样本均值μ=xi=30，所以P(A(=0.954512≈0.57.此时事件A发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.所以认为护林员给出的结论是错误的.先发球.n+(1-pi-1(，进而构造等比数列进行证明即可；②根据题意得到记第i回合甲得分为Xi，显然Xi服从两点(2)①第i(i≥2(回合是甲发球分两种情况：则pi=pi-1+(1-pi-1(，即pi=pi-1+，所以pi-=pi-1-,i≥2，所以pi-=×i-1，即pi=×i-1+，记第i回合甲得分为Xi，显然Xi服从两点分布，且事件Xi=1等价于第i+1回合是甲发球，故P(Xi=1(=pi+1，又因为求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为X=X1+X2+⋯+Xn，所以E(X(=EXi（=pi+1=×i+=+=+1-n，故甲的总得分的期望为+11互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法P=P(ABC(+P(BC(+P(AC(+P(AB(即X的分布列为X0P22i-1+；(3)E(Y)=1-n+ii，所以，P(B2(=P(A1B2(+P(B1B2(=P(A1(P(B2|A1(+P(B1(P(B2|B1(=0.5×(1-0.6(+0.5×0.8=0.6.(2)设P(Ai(=pi，依题可知，P(Bi(=1-pi，则P(Ai+1(=P(AiAi+1(+P(BiAi+1(=P(Ai(P(Ai+1|Ai(+P(Bi(P(Ai+1|Bi(，即pi+1=0.6pi+(1-0.8(×(1-pi(=0.4pi+0.2，构造等比数列{pi+λ{，设pi+1+λ=(pi+λ(，解得λ=-，则pi+1-=pi-,又p1=,p1-=，所以即pi-=×i-1,pi=×i-1+.所