省直辖县级行政区划潜江市国营后湖农场前湖中学高二数学理期末试题含解析

省直辖县级行政区划潜江市国营后湖农场前湖中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数图像上一点，以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是

（

）A.

B． C．

D．参考答案：D略2.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于(

)A．4 B． C．4 D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．3.复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分子，然后分母实数化，化复数为a+bi（a、b∈R）可得对应的点位于的象限．【解答】解：复数=故选B．【点评】该题主要考查复数的基本概念和运算，以及复平面上点的对应问题，属于容易题．4.图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于A.10

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知全集，，，则等于

（

）A.

B．

C．

D．参考答案：C6.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（

）A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°参考答案：B7.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为(

)A． B． C． D．参考答案：B8.已知集合A={0,2,3}，B={x|x=ab,a,b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是

(

）A．4

B．8

C．16

D．15参考答案：A9.函数的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过A（2，2）时，z取得最大值，代入求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由图知，直线过A（2，2）时，z取得最大值，∴z的最大值是2，故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在伸缩变换φ：作用下，点P（1，﹣2）变换为P′的坐标为

．参考答案：（2，﹣1）【考点】Q5：平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】根据题意，由伸缩变换公式可得x′=2x=2，y′=y=﹣1，代入即可得答案．【解答】解：根据题意，点P（1，﹣2），即x=1，y=﹣2，x′=2x=2，y′=y=﹣1，故P′的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．12.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值

．参考答案：略13.已知，则不等式的解集是____________.参考答案：14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________．(用数值作答)参考答案：略15.若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.

参考答案：【分析】选出的男女同学均不少于1名有两种情况：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解.【详解】从5名男同学和2名女同学中选出3人，有种选法；选出的男女同学均不少于1名，有种选法；故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：.【点睛】本题考查排列组合和古典概型.排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.16.向量的夹角为60°，且||=2，||=1，则__________.参考答案：6【分析】由题意，利用向量的数量积的运算，可得，即可求解.【详解】由题意，可知向量的夹角为，且则.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.17.命题“存在R，0”的否定是_________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为，直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D.若，求点D的轨迹方程；（3）设直线OA，l，OB的斜率分别为，，，其中且.设的面积为S.以OA、OB为直径的圆的面积分别为，，求的取值范围.参考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由题意知a＝2b，且，由此能求出椭圆方程．（2）先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m，k的关系式，从而求得．再验证斜率不存在时也满足，则可得点的轨迹方程.（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的取值范围．【详解】（1）由题可知，，且，解得：，，故椭圆的方程为：.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且∵，∴，即∴由韦达定理代入化简得：∵垂直直线，∴当直线斜率不存在时，设：，易求，此时所以点的轨迹方程为.（3）设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且∵，∴，即由韦达定理代入化简得：.∵，∴此时，即.故又为定值.∴∴当且仅当时等号成立.综上：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题．19.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）． （Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率； （Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值． 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；点到直线的距离公式． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x﹣4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），因为点F到直线l的距离为，所以，由此能求出直线l的斜率． （Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB不垂直于x轴，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为，由此能够证明线段AB中点的横坐标为定值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x﹣4）， 由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分） 因为点F到直线l的距离为， 所以，…（3分） 解得，所以直线l的斜率为．…（5分） （Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为AB不垂直于x轴， 则直线MN的斜率为， 直线AB的斜率为，…（7分） 直线AB的方程为，…（8分） 联立方程 消去x得，…（10分） 所以，…（11分） 因为N为AB中点， 所以，即，…（13分） 所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分） 【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．本题的易错点是计算量大，容易出错． 20.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点，离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程.

参考答案：解：（1）设椭圆的方程为：，由已知：得：，，所以，椭圆的方程为：.………3分（2）由已知直线过左焦点．①当直线与轴垂直时，，，此时，则，不满足条件．②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：由得所以，，而，由已知得，所以，则，所以，所以直线的方程为：或．………12分

21.已知各项均为正数的数列前项和为，对总有2，，成等差数列.（1）求数列{}的通项公式；（2）若，，求数列{}的前项和.参考答案：解：（1）∵2，,成等差数列，当时，，解得．

…2分当时，．即．

∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，

……4分（2）又

………5分①②①—②，得

………6分

………8分22.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）令f'（x）＞0得：，