浙江省宁波市余姚第七中学2022年高二数学理期末试题含解析

浙江省宁波市余姚第七中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点A（0，2），B（﹣2，2），且圆心在直线x﹣y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=26 B．（x+1）2+（y+3）2=26 C．（x+2）2+（y+4）2=26 D．（x﹣2）2+y2=26参考答案：B【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得AB的垂直平分线的方程，可得圆心，再由距离公式可得半径，可得圆的方程．【解答】解：由题意可得AB的中点为（﹣1，2），AB的斜率k=0，∴AB的垂直平分线的方程为x=﹣1，联立可解得，即圆心为（﹣1，﹣3），∴半径r==，∴所求圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=26故选：B【点评】本题考查圆的标准方程，涉及直线和圆的性质，属基础题．2.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（）A.

B.-

C.3

D.-3参考答案：B略3.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（

）A

210个

B

300个

C

464个

D

600个参考答案：B略4.经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1B．﹣3C．0D．2参考答案：B考点：直线的倾斜角．分析：首先根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．解答：解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型．5.已知，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是A.[－1,+∞)B.[－1,0)C. [0,+∞)

D.[1,+∞)参考答案：A6.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若=，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜）等于（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】方法一．设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理表示出x2﹣x1，根据抛物线的性质表示丨AF丨，丨BF丨，由题意可知求得k的值，求得倾斜角θ；方法二，由抛物线焦点弦的性质+=1，与=，求得丨AF丨，丨BF丨，丨AB丨=即可求得倾斜角θ．【解答】解：方法一：由题意可得直线AB的斜率k存在设A（x1，y1）B（x2，y2），F（1，0）则可得直线AB的方程为y=k（x﹣1）联立方程，整理可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0∴x1+x2=，x1x2=1∴x2﹣x1==，∵=﹣===，∴解得：k=或k=﹣，∵0＜θ＜，∴k=，∴θ=，故选B．方法二：由抛物线的焦点弦性质，+==1，由=，解得：丨AF丨=，丨BF丨=4，∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨===，解得：sinα=，∵θ=，故选B．7.在△ABC中，三个内角之比为A：B：C＝1：2：3，那么相对应的三边之比a：b：c等于（）A、B、1：2：3C、D、3：2：1参考答案：A8.已知F1，F2是椭圆E：与双曲线E2的公共焦点，P是E1，E2在第一象限内的交点，若，则E2的离心率是（

）A．3

B．2

C．

D．参考答案：B9.为等比数列，是其前项和，若，且与的等差中项为，则

A．29

B．30

C．31

D．32参考答案：C10.在△中，，，，则边

A．1 B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为

▲

．参考答案：7212.已知向量

______.参考答案：120013.给出下面四个命题： ①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等

其中正确的命题序号为

.参考答案：②④14.已知二面角α－AB－β为120°，CDα，CD⊥AB，EFβ，EF与AB成30°角，则异面直线CD与EF所成角的余弦值为

参考答案：15.已知直线的倾斜角大小是,则_____________；参考答案：略16.在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为

．参考答案：50π【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．17..以，所连线段为直径的圆的方程是

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参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知函数，求函数的最小正周期和值域参考答案：略19.已知f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，当时，函数解析式为.（1）求b的值，并求出f(x)在(0,1]上的解析式；（2）若对任意的，总有，求实数a的取值范围.参考答案：（1）因为函数为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为.所以，解得，即当时的解析式，当时，，所以又因为，所以-----------------------------------（6分）（2）由（1）得：当时，，令，则，令，则易得出当时，y有最小值-2，即在上的最小值为-2，因为对任意的，总有，所以.----------------------------------(12分)

20.已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（Ⅰ）求通项及；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和参考答案：略21.若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【分析】（1）首先求出n=1时，一个不等式猜想a的最大值．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1，假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立，即可证明结果．【解答】解：（1）当n=1时，，即，所以a＜26，a是正整数，所以猜想a=25．（2）下面利用数学归纳法证明，①当n=1时，已证；②假设n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，有=因为所以，所以当n=k+1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25．…（14分）【点评】本题考查数学归纳法证明猜想的步骤，注意证明n=k+1时必须用上假设，注意证明的方法，考查计算能力．22.（本题14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．

（1）求圆C的方程；

（2