二次函数中四边形的存在性问题-2023年中考数学二轮复习题型归纳与练习 （原卷版）

专题02二次函数中四边形的存在性问题

目录

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【题型一】梯形存在性

【题型二】平行四边形存在性

【题型三】矩形存在性

【题型四】菱形存在性

【题型五】正方形存在性

【题型一】梯形存在性

【典例分析】

(2023杨浦区一模)如图，在平面直角坐标系Xoy中，抛物线y=αx2+bx+c过

点A(-1,0)、B(3,0).C(2,3)三点，且与y轴交于点。.

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；

(2)分别联结A。、DC,CB,直线y=4x+"z与线段OC交于点E,当此直

线将四边形ABCO的面积平分时，求m的值；

(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、尸为顶点的四

边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点尸的坐标.

【提分秘籍】

梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平

行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制(在某一直线

上)，要么对梯形形状有较高要求(等腰或直角)。综合利用各个条件，才能求出最后的结

果

【变式演练】

L(2023青浦区一模)在平面直角坐标系Xoy中(如图)，已知抛物线y=x2-

2x,其顶点为A.

(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；

(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不

动点”.

①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；

②向左或向右平移抛物线y=f-2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线

的“不动点”，其对称轴与X轴交于点C,且四边形OABC是梯形，求新抛

物线的表达式.

/

y

I「

--l5-I-

I

÷-「

--⅛-

-

I-⅛-I

-⅛-l-I

>

^

IX

L÷

l

-

--43-∙「

→

I⅛1-

-

-

2.【2021年青浦二模】(12分)已知：如图，在平面直角坐标系Xay中，抛物线

y=oc2+公+3的图象与X轴交于点A(-1,0)和点3,与y轴交于点C,对称

轴是直线X=1,顶点是点。.

(1)求该抛物线的解析式和顶点。的坐标;

(2)点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBOC为梯形时，求点

P的坐标;

(3)在(2)的条件下，点E为X轴正半轴上的一点，当tan(ZPBO+Z

PEo)=S时，求OE的长.

【题型二】平行四边形存在性

【典例分析】

（2022•宝山区二模）已知抛物线y=a/+Ax-2（a≠0）经过点Z（1,0）、B

（2,0）,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）将抛物线向左平移加个单位（卬＞2）,平移后点/、B、。的对应点分别记

作4、3、G,过点G作X轴，垂足为点。，点后在y轴负半轴上，使得

以。、E、6为顶点的三角形与G〃相似，

①求点后的坐标；（用含力的代数式表示）

②如果平移后的抛物线上存在点E使得四边形4月%为平行四边形，求力的

值.

【提分秘籍】

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也

可以使计算又好又快.

已知定点的个数不同，选用的方法也不同，通常有以下两种情况：

1、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已

知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3

个交点.

2、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.

【变式演练】

1.[2021年杨浦二模】如图，已知在平面直角坐标系Xo)，中，直线y=x-5与X

轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=αr+6x+c经过AxB两点.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)设抛物线与Λ-轴的另一个交点为C,点尸是抛物线上一点，点Q是直线

AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)在第(2)小题的条件下，联结QC,在NQCB内作射线CO与抛物线的

对称轴相交于点D,使得NQCD=ZABC1求线段DQ的长.

5^

4-

3-

2-

1.

12345X

2.(2021•上海宝山区•九年级一模)已知抛物线丁=亦2+加5。0)经过

A(4,0),8(-1,3)两点，抛物线的对称轴与X轴交于点。，点。与点B关于抛

物线的对称轴对称，联结BC、BD.

B.

(1)求该抛物线的表达式以及对称轴；

(2)点E在线段BC上，当NCED=NoBD时,求点E的坐标；

(3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点。、A、M、N为顶点的

四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积.

3.【2021年崇明二模】(12分)已知抛物线y=0r2+bχ-4经过点A(-1,0),

B(4,0),与y轴交于点C,点。是该抛物线上一点，且在第四象限内，联

结AC、BC、CD、BD.

(1)求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；

(2)当SAB8=4SMOC时，求点。的坐标;

(3)在(2)的条件下，如果点E是X轴上的一点，点F是抛物线上一点,

当点A、D、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标.

【题型三】矩形的存在性

【典例分析】

例L在平面直角坐标系中，抛物境∙=-χ2+fcc+3过点4(T,0),点M是该抛物线

的顶点，点尸是ʃ轴上一点，点。是坐标中面内一点，如果以“、M、P、Q为顶点的四边

形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标.

有一个是直用以A、M为定点，找出y轴上符合题意的点

P的坐标

"边形A、M.P、Q是利用平行四边形的性质求出符合题

平行旧边形意的点Q的坐标：

1、C

例2：直线V=X-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线V=IX-X-3经过点B

与直线y=x-3交于点E(8,5),且与X轴交于点C、D两点。若点P在抛物线上,

在坐标平面内是否存在一点Q,使得以P、Q、B、C为顶点的四边为矩形？若存在,

求出点Q坐标.

有一个是直角以A、C为定点，找出抛物线上符合条件

的P点

四边形C、B、P,Q是利用平行四边形的性质求出符合题

平行B边形意的点Q的坐标；________________

Iy

MM

②以为对角线,，有两

①以AM为边，有两种AM

情况，以勾股定理求种情况，以勾股定理

出点P坐标后，再根据求出点P坐标后，再根

对称性，利用中点坐据对称性，利用中点

坐标求出点坐标

标求出点Q坐标Q

--------------------->-X.AX

例3：将抛物线S)=MV+状沿X轴翻折，得到

抛物线C2,如图，现将抛物线C向左平移冽个单位长度,

平移后得到新抛物线的顶点为M,与X轴的交点从翎

右依次为.4、Bi将抛物线C向右也平移也个单位长度,

平移后得到新抛物线的顶点为N,与X轴的交点从左到右

依次为D、E.在平移谑中，渴N、N、E.

M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时

的值；若不存在，请说明理由.

【提分秘籍】

二次函数中的矩形存在性问题相交于平行四边形的存在性问题而言，其难度更大。本

文将从知识梳理和例题讲解两部分进行讲解，具体分析矩形存在性问题中的“定”与

“动”以及具体的解题策略。

能宿存急•类商说韶解泡茶父

【题型四】菱形的存在性

【典例分析】

(2022・嘉定区二模)在平面直角坐标系(如图)中，已知抛物线y=

a*+Δx+3经过点力(3,0)、6(4,1)两点，与y轴的交点为。点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求四边形加%的面积；

(3)设抛物线y=aV+33的对称轴是直线1,点〃与点6关于直线/对称，

在线段a'上是否存在一点£,使四边形力〃◎'是菱形，如果存在，请求出点E

的坐标；如果不存在，请说明理由.

5-

4-

3-

2-

1-

Illll__________11II1.

-5-4-3-2-1°12345x

【提分秘籍】

在解决函数背景下的菱形的存在性问题，我们需要先厘清菱形的判定：

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边是菱形；

(3)对角线互相垂足平分的四边形是菱形。在目前的问题中，涉及的是：两个定点+一个半

动点+一个全动点问题或一个定点，三个半动点的问题。

解题思路：

思路1：先平四，再菱形

先根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式确定一组方程，再利用邻边相

等，即利用距离公式列出一个方程，联立求解。

思路2：先菱形，再平四

在构成菱形的4个点中取2个定点和1个半动点，构成等腰三角形，利用距离公式求

出半动点的坐标。再根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式求出另一个全动点

的坐标。

模型分析：

分析：根据题意，先标出四个点的坐标，A(l,l),B(5,4),C(m,O),D(x,y),再

依据思路1和思路2分析解答。

以思路1为例：先平四，再等腰以AB为对角线为例，先计算AB、CD中点，再利用AC=BC,

可以得到C、D坐标。

以此类推，得出另外两种情况，即以AC、AD为对角线，解关于m,x,y的三元一次方

程组，进而得到点的坐标。

以思路2为例：先等腰，再平四

先求点C,点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的

存在性问题确定点C,在确定点D。

以AB=AC为例，利用距离公式求出点C坐标，然后再利用平行四边形的存在性，计

算BC、AD的中点，求出点D坐标。

以此类推，得到另外两种情况，即AC=BC,AB=BCo先求出m的值，再解关于x,y的

二元一次方程组。

但是针对具体的问题要具体分析，画出图形，看能否简便运算。

【变式演练】

1.(2021年虹口区)(本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第

(3)小题4分)

如图8,在平面直角坐标系XQy中，直线/：y=—x+b与X轴、歹轴分别交于点4、3,

4

与双曲线H：y=&交于点P(2,-),直线x=m分别与直线/和双曲线H交于点E、D.

X2

(1)求A和6的值；

(2)当点K在线段48上时，如果ED=B0,求/的值；

(3)点。是y轴上一点，如果四边形比必是菱形，求点C的坐标.

2.[2021年徐汇区二模】如图，已知抛物线γ=2f+〃?与y轴交于点C,直线

4

y=-5χ+4与y轴和X轴分别交于点A和点B,过点C作CoLAjB,垂足为

点D,设点E在X轴上，以CD为对角线作口CEDF.

(1)当点C在NABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；

(2)在(1)的条件下，如果口CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐

标；

(3)如果点E是Bo的中点,且。"DF是菱形，求m的值.

【题型五】正方形的存在性

【典例分析】

(2022・长宁区二模)如图，已知菱形4≡的顶点4、8分别在X轴、y轴的正

半轴上，点〃的坐标为(4,1),抛物线y=8*+Zzr<∙c经过点月、B、D,对称

6

轴为直线X=图.

10

(1)求抛物线的表达式;

（2）求证：菱形4朋是正方形；

（3）联结OC,如果P是X轴上一点，且它的横坐标大于点〃的横坐标，NPCD

=ΛBCO,求点尸的坐标.

【提分秘籍】

从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考

虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）.

比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如

果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个

数，可能无解.

从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：