2022-2023学年广东省广州市高一年级上册册期末数学模拟测试题（含答案）

2022-2023学年广东省广州市高一上册期末数学模拟测试题

（含答案）

一、单选题

1.已知全集"={1,3,5},且电工={3},则集合A的真子集的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】求出集合A后，写出集合A的真子集，数出个数即可.

【详解】解:由题知U={l,3,5},q〃={3},

所以{={1,5},

所以集合A的真子集有：

。，{1}，{5},

共3个.

故选:B

2.已知命题p：“玄£凡--》+1<0"，则可为（）

A.BxG/?,x2-x+1>0B.Bxi.R,x2-x+1>0

C.Vxe7?,x2-jr+l>0D.Vxe7?,x2-x+1<0

【答案】C

【分析】根据命题的否定的定义判断.

【详解】特称命题的否定是全称命题.

命题p：“lxe-x+1<0”,的否定为：VxG/?,x+1^0.

故选：C.

3.若cosa=立，且角a的终边经过点尸（x,-2）,则尸点的横坐标》是（）

2

A.2百B.±273C.272D.-2万

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可.

【详解】由三角函数的定义可得：

X=等，。＞0）,

cosa=.=

"+(-2)2

解得X=2A/J，

故选：A

4.要得到函数V=3sin2x的图象，只需将y=3sin（2x+?的图象（

)

A.向左平移?个单位B.向右平移9个单位

OO

c.向左平移£个单位D.向右平吟个单位

4

【答案】B

【分析】将y=3sin（2x+nj）写为y=3sin2（x+；）,根据三角函数的平移变换即可得出选项.

4

卜sin[2卜刈,

【详解】解:由题知y=3sin2x+；

所以由y=3sin2x变到y=3sin（2x+：）只需向左平移5个单位,

4

故由尸3sin（2吒）变到y=3sin2x只需向右平移1个单位.

4

故选:B

5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是7；（℃）,空气的温度是7；（℃）以经过，分钟后物

体的温度7仁）可由公式T=4+口-1）建矽求得.把温度是130℃的物体，放在10℃的空气中冷却f

分钟后，物体的温度是50℃,那么f的值约等于（）（参考数据：ln3z1.099』n2*0.693）

A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40

【答案】D

【分析】根据题意代入数据，利用指数和对数的互化求解即可.

【详解】由题意可得工=130,4=10,T=50,代入7=4+口-4门心“可得：

50=10+（130-10）e«2",即e«25,=1,

所以一0.25/=In；=-In3=-1.099,解得t«4.40,

故选：D

6.若1211。/211/?是方程12一6工+4=0的两个根，则tan（a+p）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可.

【详解】因为1@11。,1311夕是方程乂2-6*+4=0的两个根,

由韦达定理得tana+tan/?=6,tanatan〃=4,

tana+tan夕

所以tan(a+£)=

1-tan«tan0

故选：C

7.下列4个选项中，p是q的充分不必要条件的是()

A.p:x>y,q.^>y1B.p:sma=smj3,q:a-J3

C.p:x>^,q:2x2+x-l>0D.p:/+b2h0,g:4,6中至少有一个不为零

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可.

【详解】对于选项A,取x=l,y=-l,则x>y,但-=所以不是/>/的充分条件，

A错误；

对于选项B,取。=$夕=弓，则sina=sin6，但是a*/?,所以sina=sin/不是a=夕的充分条

件，B错误；

对于选项C,因为不等式2/+、-1>0的解集为(-8,-1卜(；,+8),

所以由x>「可推出2/+x—1>0,但由2x?+x—1>0不能推出x>；,所以x>：是2x?+x—1>0的

222

充分不必要条件，C正确；

对于选项D,由工0可推出。力中至少有一个不为0,由”,方中至少有一个不为0能推出

/+从*0,所以/+b2Ho是a,b中至少有一个不为0的充分必要条件，D错误；

故选：C.

8.若定义在R上的偶函数/(X),对任意的阳广,€(-8,0],且看中々，都有,」)-/(%)>o且

须~X2

"2)=0,则满足M(x)>0的x的取值范围是()

A.(-2,2)B.(―2,0)U(2,+8)C.(―°o,-2)U(2,+oo)D.(―8,—2)U(0,2)

【答案】D

【分析】依题意可得“X)在(-8,0]上单调递增，根据偶函数的性质可得/(x)在(0,+8)上单调递减,

再根据〃2)=0,即可得到了("的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集;

【详解】因为函数“X)满足对任意的国,当£(-8,0],且X产X2,有，a)-/(x2)>0,

Xj-x2

即/(X)在(-00,0]上单调递增，又/(x)是定义在R上的偶函数，所以/(X)在(0,+8)上单调递减,

又"2)=0,所以/(-2)=〃2)=0,函数的大致图像可如下所示：

所以当-2<x<2时/(x)>0,当x<—2或x>2时/(x)<0,

ffix)>0|7(x)<0

又不等式mXx)>0等价于八二或二，

[x>0[x<0

解得0<%<2或4v—2,即原不等式的解集为(F,-2)U(0,2)；

故选：D.

二、多选题

9.已知Qb>c,且ac<0,则下列不等式恒成立的有()

b-a_ebc11b1a2

A.---<0B.—>—C.—>—D.—>—

caaaccc

【答案】BC

【解析】根据不等式的性质判断.错误的可举反例.

【详解1a>h>c,且ac<0,则。>0,c<0,

b-a<0,-―—>0,A错误；

c

bc

h>c,a>0,则一>一,B正确；

aa

tz>0>c,贝C正确；

ac

/与/不能比较大小.如〃=2/=-3,c=-4,此时《=_1,Q=_2<_1,D错误.

cc4

故选：BC.

10.若角48,C是/8C的三个内角，则下列等式中一定成立的是()

//-/1.-4+C,B.B+CA

A.cos(A+B)=cosCB.sin(Z+8)=smCC.cos---=sin-D.sm---=cosy

【答案】BCD

【分析】利用三角形内角和为兀及诱导公式逐项判断即可.

【详解】cos(J+fi)=cos(7t-C)=-cosC,A错误;

sin(^4+B)=sin(7t-C)=sinC,B正确；

故选：BCD

11.下列4个函数中，零点个数为2的有()

rx2

A./(x)=2|log05x|-lB.f(x')=2-x

2

C./(x)=log31x|-sin|x|D./(x)=lnx-x+4x+5

【答案】ACD

【分析】对于ACD,构造两个函数，分别作出两函数的图象，根据函数图象交点的个数即可得出函

数零点的个数，根据零点的存在性定理即可判断B.

则有|唾＜"|=(；)，

【详解】解：对于A,令/(口=2'|108。5司-1=0

作出函数y=|log05x|,y=(g)的函数图象,

由图可知两函数有两个交点，即函数/(幻=2］唾(3|-1有2个零点；

2都是增函数,

所以函数/(司=2、-/在(-8,0)上递增,

又=J(o)=l，所以函数/(x)在(TO)上有且只有一个零点,

又因/(2)=0,/(4)=0,

所以函数=的零点不止2个；

对于C,令/(x)=log3|x|-sin卜|=0,则唾3国=5M国,

作出函数夕=1083,|,了=$时M的函数图象，

由图可知两函数有两个交点，即函数/(x)=log3|x|-sink|有2个零点；

作出函数y=lnxj=$-4x-5的函数图象，

由图可知两函数有两个交点，即函数/(x)=lnx-x2+4x+5<2个零点.

12.已知函数/(*)=卜"""8‘:，则下列结论中正确的是()

[cosx,(sinx<cosx)

A.八%)的值域为[TJB./⑴的最小正周期为2兀

4TTTT

C./(X)在---,0上单调递增D./(X)的对称轴为x=-+E(〃eZ)

4J2

【答案】BC

【分析】作出函数/(x)的图象，结合函数图像逐一判断即可.

【详解】解：如图，作出函数/（X）的图象,

由图可知函数/（X）的值域为-坐,1,故A错误；

函数/（X）的最小正周期为2兀，故B正确；

3兀

函数/（X）在一二,0上单调递增，故C正确；

函数/（X）的对称轴为》=：+2反或》=-亨+"兀"GZ）,故D错误.

故选：BC.

三、双空题

13.在扇形中，已知半径为4,弧长为12,则圆心角是弧度，扇形面积是.

【答案】324

【分析】利用扇形的弧长、圆心角以及半径的关系可求得圆心角的值，利用扇形的面积公式可求得

该扇形的面积.

【详解】由已知可得，该扇形的圆心角a=上=3弧度，面积S=：xl2x4=24,

42

故答案为：3；24

四、填空题

3_________

14.164_4咽"+J（3-7t）2-log,3log32=；________•

【答案】4

【分析】根据根式的性质，指数基的运算性质和对数的运算性质运算即可.

k

【详解】因为16彳=（2,=2?=8，4&*=兀，J（3-7t）2=|3-司=兀一3,log231og32=log22=1,

3_________

所以［6』-4喻"+招=iF-bg23/og32=8-出■a3-i=4，

故答案为：4.

21

15.已知x>0,y>0,且一+—=1,若2x+y>加恒成立，则实数加的取值范围是,

工y

【答案】(F,9)

【分析】将2x+y与2+，相乘，展开后利用基本不等式求出2x+y的最小值，即可得出实数〃?的取

%y

值范围.

【详解】因为x>o,y>o,且2+1=1,

xy

所以，2x+y=(2x+y)(：+£|=5+)+竽5+2后§=9,

当且仅当x=y=3时，等号成立，故2x+y的最小值为9.

因为2x+y>加恒成立，所以,m<(2x+y)mM=9.

故答案为：(口,9).

16.若函数/(x)="+3?而世8存在最大值和最小值,记M="对2,"=/(外面„,侧

JT+1

M+N=.

【答案】16

【分析】设8(X)=吆3/7s当inY,“€口，证明g(x)为奇函数，利用奇函数的性质得出答案.

X+\

2

T、斗，/、8x+3asinx+83asinx人/、3asinx

【详解】/(x)=------；-------=8o+———，令g(x)=-丁，一,xeR

x+1x+1x+1

,、3asin(-x)3asinx,、

X=0

则g(-x)=,_^2+1=-=-g(X)，即g(x)为奇函数，由此g(x)min+^()max

故M+N=8+g(x)a+8+g(x)1nto=16

故答案为：16.

五、解答题

17.已知集合”={小(2或x)6},8={x|aWa+3}.

(1)若a=3时，求入8;

(2)/c8=0时，求0的取值范围.

【答案】(l)/u8={x|x<2或xN3}

⑵[2,3]

【分析】（1）直接代入得到集合8,利用并集含义即可得到答案;

a>2

(2)根据4c8=0,而,则〈,,解出即可.

[a+3<6

【详解】(1)a=3时，5={x[3<x<6),

=x<2或xN3}.

(2)因为Nc8=0,又a+3>a,：.B0

[a>2

24a43,故a的取值范围[2,3].

[a+3<6

18.设/.(x)=log«(3+x)-log“(3-x)(a>0且awl),且f⑴=1.

⑴求实数a的值及函数/(x)的定义域；

(2)证明/")的奇偶性，并求函数/(x)在区间[-1,2]上的最值.

【答案】⑴。=2,(-3,3)

(2)证明见解析，/(x)min=-1,/(%)_=log25

【分析】（1）由对数函数的运算性质及定义域求解即可；

（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可.

【详解】⑴由/（1）=1可得/。）=log.4-log.2=log.2=1,解得a=2,

[3+x>0

所以函数/(x)=lo&(3+x)-log2(3-x),则满足，八，解得一3<x<3,

[3-x>0

所以函数/(x)的定义域是(-3,3).

(2)由题意，函数的定义域为(-3,3)关于原点对称，

f(-x)=log,,(3-x)-log„(3+x)=-f(x),即/(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,

3+x

因为/(X)=log(3+x)-log(3-x)=log——,Xe(-3,3),

2223-x

法一：设任意的玉e(-3,3),有-3<%<X2<3

贝1J/(x,)-/(x)=log,乎%-log拄迨_io„（3+XI）（3-X2）

22一场（3-网）（3+々）

3一再j—X

因为（3+占）（3-X2）-（3-阳）（3+》2）=6（网-X2）＜0,所以。＜（3+%）（3-二）＜（3-%）（3+々）,

所以。嘴:卜1，所以1。/：：嘿丹＜。，即/（占卜/㈤，

所以函数/(x)在区间(-3,3)上单调递增

所以〃x)在区间［-1,2］上单调递增

=/(T)=TJ。)而=〃2)=1。45

法二：设g(x)=^=_J-l,可得函数g(x)在区间［-1,2］上单调递增，

根据复数函数的单调性，可得函数/(X)在区间上单调递增，

“X)1nm=/(-1)=-l,/(x)max=/⑵=10g25.

19.百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统.这场史无

前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14

亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果.习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下

同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民'’的脱贫攻坚精神.在脱贫攻坚过程中，

某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府

无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了

x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25X)倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网

店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为015(a-0.875x)万元，其中”>0.

(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围：

(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值.

【答案】(l)xe(0,6］

(2)«的最大值为6.5

【分析】(1)由题意得0.15(l+0.25x)(10-x)N0.15xl0,解不等式即可得解;

(2)分别求出网店销售的利润和技术指导后养羊的利润，再分离参数结合基本不等死即可得出答案.

【详解】(1)解：由题意,^0.15(l+0.25x)(10-x)>0.15xl0,

整理得V-6x40,解得04x46,又x>0,故xe(0,6］；

(2)解：由题意知网店销售的利润为0/5(a-0.875x)x万元，

技术指导后，养羊的利润为0.15(l+0.25x)(10-x)万元，

则0.15(a-0.875x)x<0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立，

X0<x<10,a4---1---hl.5恒成立，

8x

又把+"*2但&=5,当且仅当x=4时等号成立，

8xV8x

所以停+3+1.5)=6.5,

I*X/min

0<a<6.5,即“的最大值为6.5.

20.已知函数/(x)=2sinxcosx+2忑*sin%-6.

(1)求函数〃x)的单调递增区间；

TT771

(2)求函数/⑴在区间上的最大值和最小值;

(3)若。为锐角，/(g+/)=g,求cose的值.

TT5冗

【答案】(1)A7t--,^+—#eZ；

(2)最大值为2,最小值为-1；

⑶cos9=^^.

10

【分析】(1)化筒函数解析式，结合正弦函数单调性求其单调递增区间；

(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的最大值和最小值；

(3)由条件可求sin,-：)利用同角关系求cos(e-；),然后利用cosO=cos算出答案

即可.

【详解】(1)由已知/(x)=sin2x+2百X"!~~C^S"A-^3=sin2x->/3cos2x=2sin^2x-y^.

令2E-乌42x-—<2kn+—J<eZ,解得女兀一44》4kn+—JieZ

2321212

故函数/(x)的单调递增区间为kn-^,kn+^-,«eZ

I7T7兀/n71_7t571

(2)由—4xV—,可r得—W2x—W—

1212636

所以-净*咱卜，故一14/(x)42,

所以函数/(x)在区间去署上的最大值为2,此时2x-X即x=!|，

函数/(x)在区间卷上的最小值为-1,此时2X4Y，即x*，

⑶由/序/)=2sin(。用g可得sin(，T《

因为0<。<大，可得一二<。一〈二，

2444

6»---sin

4

21.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心。距离水面1米：已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒

转一圈，如果当水轮上点户从水中浮现时（图中点外）开始计算时间.

（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点。且与水面垂直的直线为V轴，建立如图所示的

直角坐标系，试将点P距离水面的高度分（单位：米）表示为时间I（单位：秒）的函数;

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米?

【答案】（1）1=2sin+10>0）：（2）有1s时间点P距水面的高度超过2米.

【分析】（1）设〃=asin（0f+s）+b,根据题意求得。、b的值，以及函数”="sin®+s）+b的最小

正周期，可求得。的值，根据的大小可得出夕的值，由此可得出力关于，的函数解析式;

=令止[0,3],求得竺的取值范围，进而可解不等式

（2）由〃>2得出sin

367236

sin（子可得出,的取值范围，进而得解.

【详解】（1）设水轮上圆心。正右侧点为A,歹轴与水面交点为8,如图所示:

可得NB0R=W，所以N/O兄

36

71

..a=2,b=T,(D=------

6

由题意可知，函数/?=2sin(a-5J+1的最小正周期为7=3,242〃

CD=——=——

T3

2袱71

所以点P距离水面的高度力关于时间/的函数为〃=2sin+1"0)；

-3_一7

1

(2)由〃=2sin+1>2,得sin>2,

.「八72九7冗「乃1

令fe[0,3],则m|三一--e

3ooo

,7t17T万54〃刀,口13「31,

由二＜二/一7＜二，解得彳＜/＜＜，又二一二=1，

63662222

所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米.

【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能

力，属于中等题.

22.已知函数8(X