2023年湖南省新高考某校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023年湖南省新高考教学教研联盟高一(下)期中联考

数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合4={y|y=3，,x€R},B=(x\x2<4},则ADB=()

A.(-2,2)B,(0,2)C.(-2,4-00)D.(0,+oo)

2.已知函数/Q)=cos(2x+J则下列结论错误的是()

A./(x)的最小正周期为兀B.f(x)的图象关于直线x=驱寸称

C./(x)的一个零点为x=5D./(x)在区间(04)上单调递减

3.如果一组数据%2>x3>…，Xn的方差是2,那么另一组数据5%+1,5%2+1，5打+1，

…，5%+1的方差为()

A.11B.20C.50D.51

4.已知向量五与3的夹角为等，且|五|=2,忸|=3,贝啜在B方向上的投影向量是()

O11

A./B.—宇方C.-^-bD.

3JJD

5.已知定义在R上的奇函数/(%)满足：当X>0时,f(x)=log2(x+2)+x+b,则|/(%)|>8

的解集为()

A.(—8,—6]U[6,+8)B.(-00,-4]U[4,4-00)

C.[-6,6]D.[-4,4]

6.记函数/(x)=sin(3x+骸3>0)的最小正周期为T,若称<T<*且/(x)W|%)|,则

3=()

A.4B.5C.6D.7

7.很多人的童年都少不了折纸的乐趣，如今传统意义上的手工折纸已经与数学联系在一起,

并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张矩形纸片ABCD,BC=4,Q为BC的中点，将

△ABQ^^0CQ分别沿AQ,0Q翻折，使点B与点C重合于点P,若-iPD=90°,三棱锥P-QAD

的所有顶点都在球。的表面上，则球。的表面积为()

A.IOTTB.16兀C.207rD.40TT

8.已知。为△ABC的外心，若cos??!+cosA•cos(C-8)=|sinBsinC,~A0=AAB+

e/?).则；L+〃的最大值为()

A.—4B.1C.4—D.2V2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的有（）

A.若复数z满足z26R,则z€R

B.若复数Z=[2021,i为虚数单位，则z的共数复数£=-i

C.复数Z一定都满足|z|2=z2

D.若复数z满足|z|=1,则复数Z在复平面上对应的点的轨迹为圆

10.如图，在△ABC中，AC=4,AB=8,D,E,F分别是4B边上的三个四等分点，若而.而=

8,则（）

A.CD=^CA+^CBB.COSNSO=：

448

C.AE-AC=10D.I函=40

11.已知x、y为正实数，x+y=l,贝ij()

1

Ao<<

-4-B.C+万的最大值为，1

C.4/+y2的最小值为qD.4x+9y的最大值为方

12.如图，在三棱柱力BC-ABiG中，侧面BCC/i为矩形，若

平面BCG&J•平面4B&a,平面BCCiBi1平面/BG，记平面

ABC1与平面&B1G的夹角为a,直线4cl与平面BCC/i所成的角

为B，异面直线AC】与BC所成的角为中，则（）

A.侧面为矩形

B.若M为4B的中点，N为BiG的中点，则MN〃平面Cp4i4

C.sinp=sina-sincp

D.若a,£满足cosa-cos0=m(0<zn<1且m为常数)，则sing=71一m?

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.数据4、7、6、8、2、5、9、20的第70百分位数为

14.已知向量成=(12,/c).OB=(5,4)，元=(10,-/<),若力、8、。三点共线，则/£=

15.如图，在平行四边形4BCD中，AB=4,乙48c=60°,

E为线段48的中点，AFLBC,则存•谓=.

16.如图，在A4BC中，4C==会点4与点。分

别在直线8c的两侧，且BO=CD=1,则40的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

某实验中学对选择生物学科的200名学生的高一下学期期中考试成绩进行统计，得到如图所

示的频率直方图.已知成绩均在区间［40,100］内，不低于90分视为优秀，低于60分视为不及格.

同一组中数据用该组区间中间值做代表值.

(1)根据此次成绩采用分层抽样从中抽取40人开座谈会，求在区间［70,80)应抽取多少人？

(2)根据频率直方图，估计这次考试成绩的平均数和中位数.

18.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2sin|cos|+2V_3cos21—V-3+m(m6R).

(1)求〃X)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若/(%)在区间(0,亨］上有两个不同的零点，求实数m的取值范围.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为矩形，PA1平面ABCD,E为线段PD上一点，PB//

平面AEC.

(1)证明：E为P。的中点;

(2)若直线CE与平面P4)所成的角为45。，且AP=AD=1,求三棱锥E-HCD的体积.

20.(本小题12.0分)

记锐角AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,己知则宇=理等

cosAcosB

(1)求证：A=B；

(2)若csinB=l,求白+今的最大值.

21.(本小题12.0分)

如图，已知△力BC是边长为4的等边三角形，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿着DE翻

折，使点4到点P处，得到四棱锥P-BCED.

(1)若PC=CU，证明：平面PDE1平面BCED；

(2)若PB1PC,求直线PB与平面BCE。所成角的正弦值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2/—ax+3,g(x)=4X—2x~a,aER.

(1)若/(sinx)(xGR)的最大值为6,求a的值；

(2)当a<0时，设九(外=匕像二:，若九。)的最小值为一，求实数a的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={y|y=3*,xeR}=(0,+8),

B=[x\x2<4]=(-2,2),

因此，4nB=(0,2).

故选:B.

求出集合力、B,利用交集的定义可求得集合4nB.

本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由于/(x)=cos(2x+9的最小正周期为7=年=兀，所以A正确.

因为居)=cos(2W+》=cosw=-l,为最小值,所以f(x)的图象关于直线％=，对称,故8

正确.

因为f给)=cos(2x^1+卞=cos]=0,所以/(x)的一个零点为x=所以C正确.

由工€(0,分，得2%+江或阴，而、=cosx在(0,兀)上递减，在(兀,2兀)上递增，

所以/(x)在区间(0,今上不单调递减，所以力错误.

故选：D.

对于A,利用周期公式分析判断，对于B,将％=%弋入函数判断是否能取得最值，对于C,将％=工

代入函数中计算判断，对于D,由xe(03)求出2x+g的范围，然后根据余弦函数的性质判断.

本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，数据匕，*2,与，…，％n的方差是2，

则另一组数据5%+1,5&+1，5巧+1,…，5%+1的方差52=25乂2=50.

故选：C.

根据题意，由方差的性质分析可得答案.

本题考查数据的方差计算，注意方差的计算公式，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：因为向量弓与方的夹角为名且|方|=2,@=3，

所以五•方=|a|-|K|cos^=2x3x(-^?)=-3/3,

oL

所以其在方方向上的投影向量为箴X［*x|=-毕.

\b\335

故选：C.

E

根据数量积的定义求出五.b,再根据五在方方向上的投影向量为萼-

固也

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为定义在R上的奇函数/'(x)满足：当xNO时，/(x)=log2(x+2)+x+b,

则/(O)=log22+b=b+l=O,解得b=-1,

故当x20时，f(x)=log2(x+2)+x-1,

因为y=log2(x+2)、y=x-1在［0,+8)上均为增函数，故函数/'(x)在［0,+8)上为增函数，

且当x20时，/(%)>/(0)=0,

令9(x)=If0)1，则函数g(x)的定义域为R，

g(-x)=|/(-x)|-|-/(x)|=|/(x)|=g(x),故函数g(x)为偶函数,

且。(6)=f(6)=log28+5=8,

由|f(x)|>8可得g(x)>g(6),即g(|x|)>g(6),

因为函数/(x)在［0,+8)上为增函数，则函数g(x)在［0,+8)上为增函数，

所以|x|N6,解得工〈一6或%26.

故选：A.

由奇函数的性质可得出/'(0)=0,求出b的值，分析函数/(X)在［0,+8)上的单调性，令g(x)=|/(%)|,

分析函数g(x)的奇偶性及其在［0,+8)上的单调性，将所求不等式变形为g(阳)2以6),结合函数

g(x)的单调性可得出原不等式的解集.

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：根据最小正周期3<7<今可得］<之<多解得4<3<8；

4240)2

又f(X)<即％=/是函数/。)的一条对称轴，

所以刍3+*=*+ZTT,k£Z,解得to=1+3",kGZf

DOL

又4<3<8,当卜=2时，0)=7.

故选：D.

由最小正周期］<7<今可得4<3<8,再由f(x)W|/G)|即可得加+*=?+而，k6Z,从

而求出3的值.

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意可得4P=OP,Z4P0=90。，AD=BC=4,

DP=AP=2「，又PQ=2,

•：DP工PQ,AP1PQ,故以PA,PD,PQ为同一个顶点的正方形的外接球即为三棱锥P-QAD的

外接球，

D

设外接球的半径为R,则(2/?产=(2。)2x2+22=20,

•••三棱锥P-QAO的所有顶点都在球。的表面积为4兀产=207r.

故选：C.

由题意可得以P4PD,PQ为同一个顶点的正方形的外接球即为三棱锥P-Q4D的外接球，求解

可得球。的表面积.

本题考查求空间几何体的外接球的表面积，属中档题.

8.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，设内角4、B、C的对边分别为a、b、c,

2

vcos27l+cosA•cos(C—B)=-sinBsinC^cosA=-cos(B+C),

2

:.-sinBsinC=cosA[cos(B—C)+cosA]=cosA[cos(^B—C)—cos(B+C)]

=cosA^cosBcosC+sinBsinC—cosBcosC+sinBsinC)=2cosAsinBsinC,

vsinB>0,sinC>0,/.cosA=

如下图所示：

取线段4B的中点E,连接OE,则OEJ.AB,

.-.AO-AB=(AE+EO)-AB=AE-AB+EO-AB=同理而■AC=^AC',

•.•AO=AAB+nAC(A，neR)，则而•而=4而？+“四.而，

Hp|c2=Ac2+ncbcosA=Ac2+~fj.bc,:"c+；4b=gc,①

AO-AC=AABAC+nAC2<即那=AcbcosA+nb2=^Xbc+nb2,

+nb=^b,（2）

联立①②可得2=卷一需〃建一施，

一93*।，93Q1-b_c3

•11A+^=8-16Q+b）-8-16-2Jc-b=4'

当且仅当b=C时，等号成立，故4+〃的最大值为

故选：A.

由三角恒等变换化简可得出COS4的值，推导出而.而=2荏2,AO-AC^^AC2,利用平面向量

的数量积可得出入〃的表达式，利用基本不等式可求得;1+〃的最大值，

本题主要考查平面向量基本定理，向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4：若z=2i,则z2=(2i)2=-4,显然z=2i为纯虚数，故4错误；

对于8：Z=[2021=14x505+1=@4)505xi=i,所以£=-j,故B正确；

对于C：若z=4+3i,则|z|2=a42+32)2=25,z2=(4+3i)2=42+24i+9i2=7+24i,

显然|z12rz2,故C错误；

对于D：复数z满足|z|=1,所以复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，

故。正确.

故选：BD.

利用反例说明人C,根据复数的乘方及共轨复数判断B,根据复数的几何意义判断C.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于从前=刀+而=备+3通=市+白雨-的=河+3祉故A正确；

对于B：•.•在AABC中，AC=4,AB=8,CD-CF=8，

.••而•而=(而一硝•港-就)=(同一硝•(3而一硝

=3AD2-4AD-AC+AC2=12-4AD-AC+16=8>即而•就=5.

,9皿。=濡焉=/号，故B正确；

对于C：AE-AC=\AE\\AC\xcos^CAE=4x4xl=10,故C正确；

O

对于•丽=亚-前，

•••CB2=(AB-AC)2=AB2+AC2-2AB-AC=

64+16-2x8x4x^=40,

o

.-.\CB\=2Af7o.故。错误.

故选：ABC.

根据图形，结合向量加，减，数乘运算，即可判断4利用向量而，而表示丽•加，利用数量积

公式，判断B；根据B的判断，代入数量积和模的公式，即可判断CD.

本题考查平面向量的线性运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题，

11.【答案】ABD

【解析】解：因为x、y为正实数，x+y=1,

对于4选项，0<0式(燮)2=1，当且仅当x=y=；时，等号成立，4对；

对于B选项，因为V~^+/y>0,则(，^+J~y)2=x+y+2厂彳W2(x+y)=2,

故，+攵，当且仅当x=y=：时，等号成立，

所以，C+/5的最大值为，9，B对；

对于C选项，4/+y2=4x2+(1-x)2=5x2-2x+1=5(x-|)2+|>1,

fx=I4

当且仅当｛:时，等号成立，故4/+y2的最小值为右c错；

xy_1_]_]]_J_

对于°选项，4x+9y一泊-e+$(x+y)-13+当+亨一丁+2J鹭一元，

当且仅当时，即X=|,y=|时等号成立，故儡的最大值为煮D对.

故选：ABD.

利用基本不等式可判断力BD选项，利用二次函数的基本性质可判断C选项.

本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4丫BCGBi是矩形，BC1

又平面4BB141_L平面BCGBi，平面ABB141n平面BCG/=BB…

BC1平面ABu平面4BB送i，ABIBC,

过点C作CO1BC「

•••平面BCGBiJ•平面ABC1，平面BCGB】n平面ZBG=BG，COu平面孔。出,

CO_L平面力BCi，

又ABu平面4BG，•••ABICO,

■■■AB1BC,COCiBC=C,CO,BCu平面BCGB1,

AB1平面BCGBi，又BBiu平面BCGBi，

AB1

在三棱柱ABC-AiBiG中4BB1&为平行四边形，所以4BB1&为矩形，故A正确;

对于B：取的中点G,连接GN、GM,

因为M为力B的中点，N为8传1的中点，所以GN〃&C「GNu平面MNG,

4G仁平面MNG,所以4G〃平面MNG,

又GM〃/Mi，GMu平面MNG,

ArAC平面MNG,所以&4〃面MNG,

为6门44=41，&G，&Au平面41cl4所以平面464〃平面MNG,

MNu平面MNG,所以MN〃平面的力遇，故8正确

对于C、D：由棱柱知AB〃4Bi，又48_L平面BCGBi，•••_L平面BCG为,

以Bi为坐标原点，B〃i，BiB,BiG分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如下所示,

则明=(a,0,0),岗=(0,-b,c)，

取平面4181G的一个法向量元=(0,1,0),

cosa—|cos(n7，n)|—”厂,一：则sina=：-1一

I-2I2.

取平面BCGBi的一个法向量破=(1,0,0),

设近=(%i，yi，Zi)为平面48cl的法向量，

ax

则色-i-°,...X1=o,令yi=c,则Zi=b,.•・厄=(0,c,b),

(汨•BC]=—by1+cz1—0

由CM=(a,b,—c)f

・•・sinp=\cos(C^A,n^)\=.a=

cosB=1X,贝破。sacosB=

a24-b2+c2'

Ja2+b2+c2

cc

|cos(Ci4,BC)\=coscp=i==i=y

cja2+b2+c2Ja24-b2+c2

则5比0=,J0+b=,

Ja2+b2+c2

・•・coscp=cosacosp,sinpHsina•sin(p.

•.cosacosp=m且mG(0,1),<PG(0,,

:.sirup=yj1—cos2<p=V1—m2,

故sing=V1—m2＞故C错误，。正确.

故选：ABD.

证明力B工平面BCGBi，即可得到AB_LB8i，从而判断4,取治当的中点G,连接GN、GM,即可

证明平面平面MNG,从而判断B,对于C、D,建立空间直角坐标系，利用空间向量法计

算可得.

本题考查空间角、距离，利用空间向量法可以将几何问题转化为代数计算等相关知识，属于中档

13.【答案】8

【解析】解：将数据由小到大进行排列为2、4、5、6、7、8、9、20,共8个数,

因为8x0.7=5.6,故该组数据的第70百分位数为8.

故答案为：8.

将数据由小到大排列，利用百分位数的定义可求得该组数据的第70百分位数.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

14.（答案】—弓

【解析】解：已知向量耐=(12,k)，OB=(5,4),OC=(10,-Zc)，

则荏=OB-OA=(5,4)-(12,fc)=(-7,4-k)，AC=OC-OA=(10,-/c)-(12,k)=

(—2,-2k),

因为4、B、C三点共线，则荏〃痔所以，-7x(-2k)=-2x(4-k),解得k=-|.

故答案为：-全

计算出尼、荏的坐标，由题意可知说〃而，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数k的值.

本题考查了向量坐标的减法运算，向量减法的几何意义，共线向量的坐标关系，考查了计算能力,

属于基础题.

15.【答案】-6

【解析】解：在平行四边形4BC0中，E为4B中点，则有通=下一:同，

因为4FJ.BC,Z.ABC=60°,所以在RtAAFB中，

BF=BAxcos^ABC=4x1=2,AF=BA-sin^ABC=4x卒=

因为AF1BC,所以刀•述=0，

则而-CE=AF-(CB-^AB)=-^AF-AB

=-^x20x4xcos30°=-40x?=-6,

故答案为：—6.

以不共线的两个向量作为平面向量基底，用基底表示出需要的向量，在求解过程中涉及到垂直,

可用数量积为0来突破，留意向量的方向，准确找出两向量的夹角.

本题考查平面向量数量积的应用，属基础题.

16.【答案】2+C

【解析】解：设BC=>0),则由4C=，3BC,得AC=Cm,

在△由中，-8C.由正弦定理得缶=焉石

所以翼=而鼠，得sin/BAC，

因为NB4C6(0,等,所以的C=

所以44cB=7T-Z.ABC-^BAC=兀一?一?=£

3oZ

设4BCD=a,因为BD=CD=1,

所以々BCD=4CBD=a,

所以NBDC=TT—2a,

BC_BD

在4BCD中由正弦定理得,

sinzBDCsinaBC。'

所以而看=亮，得BC=2cosa,

所以AC=2j~^cosa,

在△AC。中，AC=2y/~~3cosafCD=1,Z-ACD=4-a,

由余弦定理得力。2=AC2+CD2_2AC.CDcos^ACD

=12cos2a+1—2x2y/~3cosax1xcos(^+a)

=12xi+,；s2a+1+2x2yf_3cosasina

=6cos2a4-2y/~-3sin2a+7

=4V-3sin(2a+1)+7,

所以4D=J4，3sin(2a+今+7,

所以当2a+R*即0:=各寸，AD取得最大值)4c+7=J(2+6丫=2+「•

故答案为：2+，~5.

由AC=GBC/ABC=J结合正弦定理可求得NB4C=%则〃CB=以设立BCD=a,在△BCD

3OL

中由正弦定理可求得BC=2cosa,则4c=2/?cosa，然后在△4CD中由余弦定理表示出4。，再

结合正弦函数的性质可求得结果.

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解：⑴由频率分布直方图可知［70,80)的频数为0.03x10x200=60人,

所以在区间［70,80)中应抽取黑X40=12人.

(2)由频率分布直方图可知平均数为：

45X0.14-55x0.15+65X0.2+75X0.34-85x0.15+95X0.1=70.5,

又0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0,75>0.5,

所以中位数位于［70,80)之间，

设中位数为a,则0.1+0.15+0.2+0.03x(a-70)=0.5,解得a=等,

故中位数为学.

【解析】(1)首先求出［70,80)中的频数，按照分层抽样计数可得：

(2)根据频率分布直方图中平均数与中位数计算规则计算可得.

本题主要考查频率分布直方图，平均数、中位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】(l)/(x)=2sin^cos^+2/3cos2^-<3-m

=sinx+2>/-3x1+；°”——m

=sinx4-y/~3cosx—m

=2sin(x4-^)-m,

最小正周期T=2TT；

令-2+2々兀W%+?42+2々兀，kEZ,得一警+2/CTTW%W?+2k兀，k6Z

，5N66

所以函数/'(x)的单调递增区间是[一系+2七*+2时，kez；

(2)xG(0,^],x+G(^,TT])

令2sin(x+§-m=0,得sin(x+^)=/,

令t=x6G，7T］,如图，画出函数、=sint,t6G，初的图象,

若f。)在区间(0,等上有两个不同的零点，败"粘y=sint.te尊利的图象，有2个不同的交

点，即可?〈卷<i，

得<m<2

所以实数徵的取值范围是(C,2).

【解析】（1）首先化简函数/（X）,再根据三角函数的性质判断周期和单调递增区间;

（2）将方程转化为sin（x+》=/,再结合函数的图象，转化为两个函数图象的交点问题，即可求

解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】解：（1）连接BD,设4CDBD=。，连接0E,

因为PB〃平面力EC,PBanPBD,平面PBDn平面AEC=E。,

所以PB〃E。，又底面4BCD为矩形，所以。为BD的中点，

所以E为PD的中点.

（2）因为24_L平面力BCD,CDu平面ZBCD,所以PA1CD,

又CO14。，ADdPA=A,AD,P4u平面P40,所以C。_L平面PAO,

所以NCE。为直线CE与平面240所成的角，即“EO=45°,

又4P=AD=L所以PD=>HP2+则DE=：PD=3，

由CDJ■平面PAD,PDu平面PAD,所以CD1PD,

所以在Rt△CDE中CO=OE=与，

所以%-4CD=IVP-ACD=|Xgs“CDXPA=|x|x|xlX^Xl=分.

【解析】（1）连接BD,设acn8D=0,连接0E,根据线面平行的性质得到PB〃EO,即可证明;

（2）首先证明CD，平面PAD,则NCEC为直线CE与平面PAD所成的角，再求出CD,最后根据

^E-ACD=5%-AC。=2XXP4计算可得・

本题考查线面平行的性质定理，三棱锥的体积的求解，属中档题.

20.【答案】解：（1）证明：因为呵宇=网支鲁,

cosAcosB

pisinCcosA-cosCsinA_sinCcosB-cosCsinB

""cosA-~cosB'

rrKI.ccosCsinA.》cosCsinB

所以sin。------=sinC-----------,

cosAcosB

VXcosCsinAcosB=cosCsinBcosA,

因为△ABC为锐角三角形，

所以cosC丰0,

所以sinAcosB=sinBcosA,

所以sin（A-B）=O

因为△ABC为锐角三角形，

所以A—B6（一

所以A—B=0,

所以4=8；

（2）因为益=最,cs讥B=l,

所以加讥。=csinB=1,

所以c=焉，b=焉，

因为A=B,所以Q=b,

所以。=短

所以,+今=sin2^+sin2C,

sin2B+sin2（7r—2B）,

1-COS2B_2no

——-——+1-cosQB,

cl3

=­COS22B--cos2B+百,

一（c°s28+,）2

i0<8<3”n

因为2兀，所以3<B<*

0<TT-2B42

2

所以V/r,

所以cos2Be(-1,0),

所以当cos2B=-扣j,%+上取得最大值

【解析】（1）利用三角函数恒等变换公式对已知式子化简变形可证得结论；

（2）由已知条件结合正弦定理可得c==—二，a=-二，从而可得a+马=siMB+siMc,

''sinBsinCsinCaL

然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得结果.

本题考查解三角形相关知识，属于中档题.

21.【答案】解：（1）证明：翻折前，：。、E分别是48、4c的中点，则。E〃BC,

•••/-AED=乙ACB=60°,/LADE=AABC=60°,

.•・△40E为等边三角形，所以，/.CED=120°,

且DE=AD=AE=34C=2,CE=2,

翻折后，取OE的中点0,连接P。、CO,如下图所示：

B

由题意可知，APDE是边长为2的等边三角形,

:。为。E的中点，所以，POS.DE,且p。=VPD2—DM=p22-了=q,

OE=1,CE=2,Z.OEC=120°,

由余弦定理可得。。2=OE2+CE2-2OE-CEcosl20°=l+4-2xlx2cosl20°=7,

•••PC=/IU，所以，PO2+OC2=PC2,贝iJPO_LOC,

DEC\OC=0,DE.OCu平面BCED,则P。平面BCED,

又：POu平面PDE,

因此，平面PDE1平面BCED.

(2)取BC的中点凡连接。尸、OB,如下图所示：

•・・OD=1,BD=2,乙ODB=120°,

由余弦定理可得OB?=OD2+BD2-2OD•BDcosl200=1+4-2x1x2x(-1)=7,

OB=OC=V"-7>

vBC=4,且尸为BC的中点，所以，O