河北省秦皇岛市昌黎县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

河北省秦皇岛市昌黎县2023-2024学年九年级上学期期末数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在数据整理时，出

现了一处错误，将最高成绩写得更高了，统计过程中不受影响的是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

2.若x=-2是一元二次方程/+2尤+〃?=0的一个根，则方程的另一个根及力的值分别

是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

3.用配方法将方程d-4x+3=0化成（无一人的形式，则。一人的值是（）

A.1B.-1C.3D.-3

4.已知硬，AB：DE=1：2则1）EF与.ABC面积的比为（）

A.1:2B.1:4C.2:1D.4:1

5.在ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,则下列三角函数值不正确的是（）

512125

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.cos3=—

1313513

2_

6.对于反比例函数＞=-,下列说法不正确的是（）

x

A.点（-2,-1）在它的图象上B.它的图象在第一、三象限

C.当x＞0时，y随x的增大而增大D.当尤＜0时，y随尤的增大而减小

7.如图，ABC内接于。，/C=45。，AB=6,贝U0半径为（）

A.3亚B.8C.2A/3D.10

8.如图，已知AB〃CD〃£F,AD=3,BC=4,DF=5,则CE的长为（）

9.如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，贝I]tan/BAC=（）

10.如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且IDLBC,若NB=44。，ZC=56°,

则/AID的度数为何？（）

A.174B.176C.178D.180

11.如图，沿A3方向架桥3。，以桥两端出发,修公路BC和DC,测得ZABC=150°,

8c=1800m,ZBCD=105°,则公路QC的长为（）

A.900mB.900A/2mC.900A/3mD.1800m

12.如图，在中，CA=CB=16,ZACB=90°,以AB中点D为圆心，作圆心角

为90。的扇形DE尸，点C恰好在弧所上，则图中阴影部分的面积是（）

试卷第2页，共8页

B

A.16/r—32B.167r—64C.32乃一64D.不确定

二、填空题

13./tz为锐角，且2sina-l=0,则°.

14.用半径为2的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于.

15.关于龙的一元二次方程("Z+1)尤2-(2〃z+l)x+〃z-2=o有实数根，则"Z的取值范围

是.

12

16.已知点4-6,%),3(-2,%),C(4,%)在反比例函数y=-上的图像上.则%,内,

x

力的大小关系是.(用“〈”连接)

17.某火箭从地面尸处发射，当火箭达到A点时，从位于地面0处雷达站测得A、。的

距离是500米，仰角NAQP为a,此时火箭A的高度是米.

18.如图所示，AB,AC与国O相切于点B,C,回A=50。，点P是圆上异于B,C的一动点,

则回BPC的度数是.

19.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在

水中的倒影距自己51n远，淇淇的身高为L6m,则树高为m.

20.如图，点A,B分别在反比例函数y=0(x>0)与y=2(尤<0)的图像上，连接A8,

XX

OA,OB,且。4J_O3,sinA=—,则4的值为_______.

3区

三、解答题

21.计算：

(1)cos60°-sin245°+^-tan260°+cos30°；

⑵解方程：尤+4)=8X+12.

22.某水果店的榴莲水果盒进货价为70元/盒，根据一个月的市场调研，商家发现当售

价为110元/盒时，日销售量为20盒，售价每降低1元，日销售量增加2盒.

⑴当日销售量为30盒时，产品售价为每盒________元；

(2)为吸引顾客，扩大销售量，该产品的售价每盒应定为多少，该水果店的榴莲水果盒每

天可盈利1200元？

试卷第4页，共8页

23.如图，楼房A2后有一假山C。，8的坡度为i=3:4,测得B与C的距离为24米，

山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE=10米，小丽从楼房房顶A处测得E

(1)求点E到水平地面的距离;

(2)求楼房的高.

24.如图，己知反比例函数＞=勺笈R0)与正比例函数y=2x的图象交于A(l,〃?)，3两

点.

(1)求该反比例函数的表达式；

(2)若点C在x轴上，且30c的面积为3,求点C的坐标.

25.已知四边形ABCD内接于，O,C是DBA的中点，JFC，AC于C,。及AD的

延长线分别交于点E,F,且DE=BC•

⑴求证：CBA~FDC-,

⑵如果AC=9,A3=4,求tanZACB的值.

试卷第6页，共8页

26.如图，已知一次函数％=依+人的图像与反比例函数的图像交于点A(-3,w),

且与y轴交于点8,第一象限内点C在反比例函数为%=?的图像上，且以点C为圆心

x

的圆与X轴，y轴分别相切于点。，B.

⑴求〃的值；

⑵求一次函数的表达式；

(3)当%<%时，直接写出尤的取值范围.

27.附加题.

如图，点A在射线0P上，且。4=16,过点0在射线0P上方作射线0B，且cosZAOB=

点E从点A出发，沿49方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点尸从点。出发,

沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点£到达点。时，点E,尸都停止运动.以

点P为圆心，OF为半径的半圆与射线0P交于点C,与射线0B交于点D,连接FC,DE,

设运动时间为t秒”>0).

B,

a

oEAP

⑴用含f的式子表示oc的长为_;当点E与点C重合时,0E的长为

(2)若DE与半圆厂相切，求OE的长;

⑶若半圆尸与线段DE只有一个公共点，直接写出0E的取值范围.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.C

【分析】中位数是数据按照大小顺序排列后，位于这组数据值大小的中间位置，不受极端值

的影响.

【详解】由于五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了.计

算结果不受影响的是中位数.

故答案为：C

【点睛】本题主要考查中位数，理解中位数的定义是解题的关键.

2.B

【分析】直接把彳=-2代入方程，可求出机的值，再解方程，即可求出另一个根.

【详解】解：根据题意，

x=-2是一元二次方程/+2元+加=0的一个根，

把x=—2代入f+2尤+机=0,贝！J

(-2)2+2x(-2)+???=0,

解得：〃2=0；

x2+2x=0>

x(x+2)=0,

「・玉=-2,%=0,

...方程的另一个根是x=0；

故选：B

【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤

进行计算.

3.A

【分析】先将将方程Y-4x+3=0化成的形式，进而可得的值.

【详解】解：•.•--49+3=0,

x2—4x=-3>

尤？—4x+4=—3+4,

(尤一2)2=1,

a=2,b=l,

答案第1页，共17页

a-b-1,

故选A.

【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法一配方法，熟练一元二次方程的解法是解题的关

键.

4.D

【分析】两三角形相似，面积比等于相似比的平方；据此即可求解.

【详解】解：AB:DE=1:2,

，三=2,

AB

△ABCs/\DEF,

•q•s—4-1

一uDEF-u,ABCr,1>

故选：D

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握性质是解题的关键.

5.C

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解答本题的关键,

根据锐角三角函数的定义计算即可.

【详解】ZC=90°,

AB=yjAC2+BC2=V122+52=13，

ABC5AC12BC5BC_5

/.sinA=——=—,cosAA=-----=—,tanAA=-----=一,cosBo=

AB13AB13AC12AB-13*

故选：c.

6.C

【详解】把点(-2,-1)代入可得，x=-2时，y=-l,所以该点在函数图象上，A正确，不符

合题意；

因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确，不符合题意；

因为2大于0,所以该函数在x>0时，y随x的增大而减小，所以C错误，符合题意；

当尤<0时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单

答案第2页，共17页

调性的变化是解题关键.

7.A

【分析】根据圆周角定理得出NAOB=90。，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，连接0A06,

/C=45。，

NAO5=90。，

,：OA=OB,AB=6,

：.OA=—x6=3yf2,

2

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

8.B

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识.由AB〃CD〃砂，推出g=空，

DFCE

推出3==三4，可得结论.

5CE

【详解】解：・・・AB〃CD〃印，

.ADBC

・・拓一瓦’

••——，

5CE

：.CE=—,

3

故选：B.

9.A

【分析】取格点。，连接B。，可得根据格点和勾股定理先求出A。、BD,最后

求出N8AC的正切.

【详解】解：如图，取格点。，连接2。，

答案第3页，共17页

由格点图可以得出，BDLAC,

由格点三角形可得：AD=A/32+32=3A/2­jF+/=陛,

・..tan®C=^=g」,

AD303

故选：A

【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的

关键.

10.A

【详解】分析：连接CI,利用三角形内角和定理可求出/BAC的度数，由I点为AABC的

内心，可得出/CAI、ZACLNDCI的度数，利用三角形内角和定理可得出NAIC、ZCID

的度数，再由NAID=/AIC+NCID即可求出NAID的度数.

详解：连接CI,如图所示.

在AABC中，ZB=44°,ZACB=56°,

.,.ZBAC=180°-ZB-ZACB=80°.

「I点为AABC的内心，

ZCAI=|ZBAC=40°,NACI=NDCI=；ZACB=28°,

ZAIC=180°-ZCAI-ZACI=112°,

又ID_LBC,

/CID=90°-ZDCI=62°,

答案第4页，共17页

ZAID=ZAIC+ZCID=112°+62°=174°.

故选A.

点睛：本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心

的性质结合三角形内角和定理求出NAIC、ZCID的度数是解题的关键.

11.B

【分析】过点C作垂足为E,根据三角形内角和定理可求出/CB。，ZBCE的度

数，进而求出，。CE的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的

关系可得答案.

【详解】过点C作垂足为E,

ZABC=150°,

NCBD=180°-150°=30°,

Z.BCE=90°-30°=60°,

ZBCD=105°,

ZDCE=105°-60°=45°,

在RtBCE中，ZCBE=30°,=1800m,

CE=-BC=900m,

2

在RtCDE中,ZDCE=45°,

:.CD=yj2CE=900y/2m,

【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题

的关键.

12.C

【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形DEF的面积与四边形

OVQW的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题.

【详解】解：连接C。，设。尸交BC于M,DE交AC于N,如图所示，

答案第5页，共17页

B

在ABC中，C4=CB=16,ZACB=90°,

AB=16A/2，

•••以AB中点。为圆心，作圆心角为90。的扇形Z）跳，点C恰好在弧E尸上,

/.CD=8A/2,NB=ZDCE=45°,CD=BD,

,/ZADC=Z.BDC=Z.EDF=90°,

NEDC+ZCDF=90°,ZCDF+NBDF=90°,

NBDM=NCDN,

在和ACDN中,

ZB=NDCN

<BD=CD,

ZBDM=ZCDN

.•…BDMg.CZW（ASA）,

/.ACDN与7CDM的面积之和等于VCDM与BDM的面积之和，

，四边形DNCM的面积等于△CDB的面积，

阴影部分的面积是：兰坐@__迈竺也=327-64，

3602

故选C.

【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

13.30

【分析】本题考查了特殊的三角函数值，根据条件2sina-1=0,可以推出sina=：,再根

据特殊的三角函数值即可解出。.

【详解】解：.2sintz-l=0,

答案第6页，共17页

2

e=30°,

故答案为：30.

14.1

【分析】由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为2万，底面半径

=2万+2万.本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是

一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关

键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长.

【详解】解：由题意知：底面周长=2%,

二底面半径=2乃+2万=1.

故答案为：1.

9

15.m＞--且777H-1

8

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于x的一元二次方程

（加+1）/-（2m+1）尤+机-2=0有实数根，得出其根的判别式大于等于0,列不等式求解即

可.特别注意二次项系数不为零.

【详解】解：,关于x的一元二次方程（加+1）炉-（2m+l）x+机-2=。有实数根，

[-（2租+1）丁—4（/n+l）（/n—2）＞0,

即（2租+1）—-4（加2—〃2—2）20,整理得8m之一9,解得加士一],

又加+1。0,解得相。一1,

9

的取值范围是加2-三且加力一1.

8

9

故答案为：加之—且加W-1.

8

16.

【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小以及反比例函数图象上点的坐标特征：反比例

函数y=&（左为常数，左wo）的图象是双曲线，图象上的点（无，＞）的横纵坐标的积是定值%,即

X

孙=左，学会将图象上的点的坐标代入函数关系式求解是解决本题的关键.

根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点A、8、C的坐标分别代入解析式计算出%、%、

答案第7页，共17页

%的值，然后比较大小即可.

【详解】解：点4-6,%),8(-2,%),。(4,%)都在反比例函数y二-上12的图象上，

x

121212

必=-=2,%=—―o=6f必=_7=_3，

-6-24

%<%<%•

故答案为：为<%<%.

17.500sin6Z

AP

【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题；在Rt2\APQ中，由sina=：

可求得AP,即可得出答案.

【详解】解:由题意得，AQ=500米，

AP

在RtAAPQ中，sina=—,

解得：AP=500sin«,

.,•火箭A的高度是5005吊&米.

故答案为：500sintz.

18.65°或115°/115°或65。

【详解】本题要分两种情况考虑，如下图，分别连接OC；OB；BPi；BP2；CPi：CP2

(1)当/BPC为锐角，也就是/BPiC时：

VAB,AC与。。相切于点B,C两点

Z.OCXAC,OBXAB,

.\ZACO=ZABO=90°,

,/ZA=50°,

.,•在四边形ABOC中,ZCOB=130°,

.,.ZBPiC=65°,

(2)如果当NBPC为钝角，也就是NBP2c时

:四边形BP1CP2为。O的内接四边形，

VZBPiC=65°,

；./BP2c=115。.

综合⑴、(2)可知,NBPC的度数为65。或115。.

答案第8页，共17页

19.4.8

【分析】本题考查相似三角形的应用，由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个

相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：如图所示：

20

・・,入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，

・•・ZAOB=ZCODf

9：ZABO=ZCDO=9Q0,

：.AAOBACOD,

.ABOB1.65

••=,艮nn,

CDODCD20-5

解得：CD=4.8,

・•・树高为4.8m.

故答案为：4.8

20.--

2

【分析】本题考查反比例函数上值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角

形，过点A作AELx轴于点E,过点8作3广，x轴于点尸，证明”。岳-4。.，根据

sinA=」l,求出tan/Q4B,从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到多的值，

即可解题.

【详解】解：过点A作AEJLx轴于点E,过点8作妙轴于点/，

答案第9页，共17页

ZAEO=ZBFO=9009ZAOE+ZOAE=90°f

OALOB,

.•.ZA0E+N3OF=9O。，

..ZBOF=ZOAE,

/.AOE^-,OBF，

—=tanZOAB,

OA

sinA=S即出=3,

3AB3

设0B=®,AB=3a,则OA=“3Q)2耳j，

OByfia^2

tanNOAB=

OAy[6a2

q-OFBF-IjtJ

八OBF2,2Jk2

q2

口△AOE-OEAE1商k1

22111

b__L

~k^~~2

故答案为：-].

21.(1)3+26

(2)斗=6,X]=-2

【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算及解一元二次方程，熟练掌握配方法并熟记

特殊角的三角函数值是解题关键.

(1)将各个特殊角的三角函数值代入，再计算即可；

(2)根据配方法即可求解.

答案第10页，共17页

【详解】(1)cos600-sin245°+—tan260°+cos30°

_113V3

2242

_3+26

-4；

(2)x(x+4)=8x+12

x2+4x=8x+12

X2-4X+4=12+4

(x-2)2=16

x—2=±4

x=2±4,

・・%]=6,x?——2.

22.(1)105

(2)该产品的售价每盒应定为90元.

【分析】本题考查一元一次方程应用，一元二次方程的应用，读懂题意，正确的列出方程,

是解题的关键.

(1)设产品售价为每盒。元，根据售价每降低1元，日销售量增加2盒，列出方程进行求

解即可；

(2)设产品售价为每盒x元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，求解即可.

【详解】(1)解：设产品售价为每盒。元，由题意，得：20+2(110-0)=30,

解得：a—105；

故答案为：105；

(2)设产品售价为每盒x元，

根据题意得：(%-70)[20+2(100-x)]=1200,

整理得：x2-190.r+9000=0,

解得：玉=90,%=100.

答案第11页，共17页

•••要扩大销量,

尤=90.

答：该产品的售价每盒应定为90元.

23.（1）6米

（2）38米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，坡度坡角问题，（1）过点E作

4

EF±BC的延长线于F,根据CD的坡度为i=3:4得CF=耳跖，再由勾股定理可得EF=6

米，Cb=8米；

（2）过E作于点H,根据等腰直角三角形的性质求出A”的长，进而可得A3的

长.

【详解】（1）解：过点石作所工3。的延长线于F，

在RtACEF中,

：8的坡度为i=3:4,CE=10米，

..EF3

•»I=-----=—.

CF4

4

：.CF=-EF,

3

EF2+CF2=CE2,

：.EF2+[^EF^=102,

:.EF=6（米），CF=8（米），

则3H=EF=6米,

答案第12页，共17页

由题意得：HE=3b=3C+CF=24+8=32（米），

在1中，ZHAE=45°,

：.AH=tan45°-HE=32（米），

:.AB=AH+HB=32+6=38（米）.

答：楼房AB的高为38米.

24.（1）j=-;（2）C（—3,0）或C（3,0）

【分析】（1）直接利用待定系数法将A点坐标代入正比例函数解析式中可以求出祖，再将A

点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k；

（2）先确定8点坐标，再通过面积确定OC的长，最后即可确定C点坐标.

【详解】解：（1）将4。,加）点坐标代入，=2x中可得：m=2,

A（l,2）；

将4（1,2）代入y=?”0）可得：k=2,

2

该反比例函数的表达式为y=—；

X

（2）因为该反比例函数的图像和一次函数的图像交于A。,2）,B两点，

"（1,2）,■B两点关于原点对称，

二5（-1,-2）,

•••8点到OC的距离为2,

,/3OC的面积为3,

-x2xOC=3,

2

OC=3,

当C点在。点左侧时，C（-3,0）；

当C点在。点右侧时，C（3,0）；

•••点C的坐标为C（—3,0）或C（3,0）.

【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了用待定系数法求函数解析式、平

面直角坐标系中点的坐标、三角形的面积公式等内容，解决本题的关键是理解点的坐标与函

数解析式之间的关系以及利用三角形的面积建立相等关系求对应线段的长，本题涉及到的方

答案第13页，共17页

法为分类讨论的思想方法.

25.⑴见详解;

【分析】(1)欲证&®~FDC,只要证明两个角对应相等就可以.可以转化为证明DE=BC

就可以；

Q1

(2)由CBA〜FDC可得Cb=—,ZACB=ZF,进而即可得到答案.

4

【详解】(1)证明：・・•四边形ABCD内接于O,

JZCBA=ZCDF.

DE=BC，

：.ZBCA=ZDCE.

：.CBA-FDC；

(2)解：是£)区4的中点，

：.CD=AC=9

:CBA〜FDC,AB=4

"工即一，

CDCF9CF

.g81

4

•；.CBA〜FDC,

AC94

.tanZACB=tanZF=——-

..CF819.

Z

【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及弧、弦的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的

判定与性质，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键.

26.(1)〃=一3；

⑵一次函数解析式为％=2x+3；

3

(3)x的取值范围为：一3＜工＜0和

【分析】本题主要考查了切线的性质，一次函数与反比例函数综合：

答案第14页，共17页

（1）直接把点A坐标代入反比例函数解析式中求解即可；

（2）如图所示，连接CB,CD,由切线的性质得到CB=CD,轴，8U轴，可设

点C的坐标为（帆m）,则〃z=2,解方程求出点2的坐标为（0,3）,再利用待定系数法可求

m

出一次函数解析式为％=2X+3；

（3）先求出一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为（方6］根据函数图象找到一次函数

图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案.

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【详解】（1）解：在％=-中，当了=-3时，y=-=-3

x2xf

"=-3；

（2）解:如图所示，连接CB,CD,

•••以点C为圆心的圆与x轴，）轴分别相切于点。，B,

:.CB=CD,CB_Ly轴，CD_Lx轴,

；•可设点