正弦、余弦定理解三角形（典型例题+练习）-2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）

专题01正弦、余弦定理解三角形

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解

四、解题技巧实战

五、跟踪训练达标

六、高考真题衔接

、梳理必备知识

L正弦定理

==-^=2R.（其中火为MBC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

oα=2RsinA,b=27?sinB,c=2ΛsinC;（边化角）

<=>sinA=-^-,sinB=-^-,sinC=（角化边）

2R2R2R

用法：

□已知三角形两角和任一边，求其它元素；

□已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素.

2.余弦定理:

⅛2÷c2-a2

cosAλ=--------

Ibca2=b1+c1—2bccosA,

a2+c2-b2

cosBd=--------<b2=a1+c1-2。CCoSB,

2ac

222

a1Λ-b1-C2c=a+b-2abcosC.

cosC=---------------

2ab

用法：

口已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

U已知三角形三边，求其它元素.

3.三角形面积公式：

SΔΛBC=加inC-g∕?CSinA=gαcsinB=∙∣(α+b+c)r(r为三角形ABC的内切圆半径)

4.三角形内角和定理：

在□∕8C中，有A+8+C=%oC=%-(A+8)=∙∣=^-^∣^o2C=2%-2(A+8).

【常用结论】

①在ΔABC中，α>b=sinA>sin3=A>5;

JT

□sin2A=sin2B,则A=B∏JU+B二一.

2

③在三角函数中，SinA>sin8oA>B不成立。但在三角形中，SinA>sinBoA>B成立

二、基础知识过关

一、判断题

1.在“ABC中，若A:8:C=1:2:3,则a:b:c=l:2:3.()

【答案】错误

【分析】通过内角和180。和三角的比例关系可求出三角，再结合正弦定理得到边的比例关系

【详解】解：在43C中，A:B:C=1:2:3,由三角形内角和为180。知A=30。，8=60。，C=90o,

由正弦定理得α:⅛:=sinA:sinB:sinC=sin30o:sin60o:sin90o=1:ʌ/ɜ:2,

故答案为：错误

2.在OASC中，α>⅛<=>A>B<≠>sinA>sinB.()

【答案】正确

【分析】利用三角形中大边对大角和正弦定理判断即可.

【详解】当α>b时，由大边对大角，得，>B,

当力>6时，由大角对大边，得。>人，

所以由正弦定理得sinA>sinB,反之也成立，

所以在...ABC中，a>b<=>A>B<^>sinA>sinB

故答案为：正确.

3.在「.ABC中，若(α+c)(α-c∙)=NZ>+c∙),则/4=60()

【答案】错误

【分析】利用余弦定理可求得COSZA的值，结合角A的取值范围可求得角A的大小.

【详解】(α+c)gc)=6(6+c),贝跖2-c2="+bc,.-.b2+c2-a2=-bc,

由余弦定理可得COSNA=,

2bc2

QOo<ZA<180%所以，ZA=120.

故答案为：错误.

4.在JIBC中，若〃+c2>a2,则此三角形是锐角三角形；()

【答案】错误

【分析】由余弦定理可判断各自正误.

【详解】在ABC中，若从+/>/,只能说明CoSA=""+C2-">o,A是锐角，其他两角是不是锐角不

2bc

确定，错误；

二、单选题

5.在□Z2C中，A=g,BC=6,AB=2√6,则C=()

ʌππππ,,3π

A.—B.-C.-D.一或+—

64344

【答案】B

【分析】利用正弦定理求得SinC,进而求得C.

【详解】由正弦定理得-9

sinAsinC

e、i6_2∖[β.冬

所以K=sinC二由于皿，所以C为锐角，所以Cj.

√3SinC6~~2

T

故选：B

6.在..ABC中，a,b,C分别是角4B,C的对边，α=√2,⅛=√3,β=p那么A=()

3πC兀-3π-πC兀

A.—B.-C.—或x一D.-

44443

【答案】B

【分析】利用正弦定理可求出SinA,再结合大边对大角即可得解.

【详解】因为a=Rb=瓜B=g

由正弦定理一三=刍，可得sin,4-αsinB一枝加宜_0，

sinAsinBSmA一人-石-

又因为所以A<B,i⅛O<A<p所以A=；.

故选：B.

7.在。ABC中，内角AB,C的对边分别为","c,若c=3,6=4,A=(,贝IJa=()

A.√13B.2√3C.5D.6

【答案】A

【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.

【详解】由余弦定理可得∕=b2+c2-2⅛ccosA=I3,所以α=JB.

故选：A.

8.在-ABC中，α,b,C分别为内角/,B,C的对边，^a2-⅛2=√3⅛c,SinC=2百sin8,则A等于()

5πC2兀C兀C兀

A."B.—C.-D.—

6336

【答案】D

【分析】根据正弦定理把SinC=2√5sinB化为c=2j%，再结合余弦定理求角即可

【详解】sinC=2√3sinB,c=2√3⅛,结合/=√⅛c即可求得°=J力.

Iʌ□^-∕⅛t∏―rzM,b~+—cι~b~+∖2b"—7b~∙y3A(C\.兀

由余弦定τ理可得COSA=---------------=--------------J=-=—.τ又vA∈(O,π),A=-.

2bc2×⅛×2√3⅛26

故选：D

三、填空题

9.在,.ABC中，A=15°,8=45",AB=R,则AC=

【答案】2

【分析】根据题意由正弦定理可得答案.

【详解】C=180o-15o-45o=120o,

ABAC,即*_=解得

由正弦定理得AC=2.

sinCsinBsin120osin45°

故答案为：2

10.在二ABC中，A3=2,。为AB的中点，若BC=DC=血，则AC的长为

【答案】2

【分析】根据给定条件，在.B8,,ABC中利用余弦定理求解作答.

【详解】在aBCD中，BC=DC=五,BD=^AB=l,由余弦定理得:

CBC2+BD2-CD-2+1-2-Jl

COSB=----------------------=-----7=-=——,

2BC-BD2×√2×14

在.ASC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB∙βCcosB=4+2-2×2×√2×-=4,解得AC=2,

4

所以AC的长为2.

故答案为：2

四、解题技巧实战

1.（云南省文山州砚山县第三高级中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试题）锐角.ΛBC中，内角

A,8,C（角A为锐角）所对的边分别为α,b,c,若人=2αsinB.

（1）求A的大小；

【答案】（I）A=B

O

【分析】（D由正弦定理可推得SinA=根据锐角三角形中角A的范围求出结果.

【详解】（1）解：由b=24sin8以及正弦定理可得，sinB=2sinAsinβ.XsinB≠0,所以SinA=；.

因为0<A<?所以A=g

2O

2.（江苏省南通市崇川区等5地2023届高三下学期3月高考适应性考试（一）数学试题）在□Z8C中，角

A9B,C的对边分别是4,b,ct已知⅛=4,且方cosC+gc=α.

⑴求民

【答案M呜

【分析】⑴利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；

【详解】（1）方法一：⅛cosC÷ɪc=.,.SinBcosC+ɪsinC=sinA=sin（B+C）,

所以SinBcosC+ɪsinC=SinBcosC+cosBsinC,

所以gsinC=SinCcosB,C∈（0,π）,.∙.sinC>0,.∖eos5ɪɪ,

Tr

β∈（0,π）,.∙.β=-.

方法二：在ABC中，由正弦定理得：SinBCOSe+gsinC=SinA=Sin（3+C）,

所以sinBcosC+ɪsinɑ=SinBcosC+cosBsinC,所以gsinC=CosBsinC.

1元

因为Ce（O,π）,所以SinCH0,所以CoSB=万，因为B∈（0,π）,8=].

3.（江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题）记，ABC的内角A,B,

C的对边分别为α,b,c,已知6+√∑"cos8=2,c=√2∙

⑴求出

【答案】呜

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得居+2-/=助，再利用余弦定理求解作答.

f

【详解】⑴在ABCP9由"754cos4=2,c=7∑得：ac∞sB=2-b,由余弦定理得/+/一从=2accosB,

即整理得从+2-人"由余弦定理得8SA=鼻

〃+2-/2b√2

cosA=而AW(O,π),

2√26-2√2⅛^2

所以T∙

五、跟踪训练达标

一、解答题

1.（陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高二下学期第二次月考文科数学试题）在ΛBC中，。、b、C分

别是内角A、B、C的对边，a=4#I，b=6,CoSA=

（1）求C的值；

【答案】（I）C=2

【分析】（D根据题意和余弦定理计算即可求解；

【详解】（D由余弦定理知/=〃+c2—2bccosA,gp48=36+c2-2×6×c×f-∣^

整理得C2+4C-12=0,解得C∙=2或C=-6（舍负），故c=2.

2.（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角.ABC中，角A,B,C

所对的边分别为a,。,c,c=dcosB+ɪSinB）.

⑴求SinA；

【答案】（I）SinA=$

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简c=”（cosB+gsinθ∣,可得CoSA=gsinA,结

合同角的三角函数关系，即可求得答案.

【详解】(1)由c=α(cosB+ɪSinBJ及正弦定理得sinC=Sin(A+3)=SirL4(CoSB+ɪSinB

整理得CosAsinB=ɪSinLASinB

TT所以,222

因为0<B≤5,sin8≠0CoS4=^sinA,..l-sinΛ=ɪsin^,sinA=[,

因为在锐角ABC中,θ（A≤∙∣,sinA）θ,所以淅4=竽.

3.（山西省晋中市2023届二模数学试题（B卷））□Z8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,其中b=3√∑，

csinCZ?sinB

且满足

sinASinA

（1）求ni8C的外接圆半径;

【答案】⑴析

【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解;

【详解】（D再Z?sinB

sinAsinA

由正弦定理，得C-C=Q-α,则/+c?—从="c,即CoSB=立匕亘=L

aa2ac2

»b

因为O<B<π,所以B=1,设ABC的外接圆半径为R,由正弦定理知正Ti一近一7°

^2^

所以ABC的外接圆半径为几.

4.（江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学三校2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题）在ABC中,

7

内角A,8,C所对的边分别为4,6,c.已知CoSC=3，3b=4a.

O

⑴求COSB的值；

【答案】（1）-；

【分析】（1）利用两次余弦定理即可.

【详解】(1)在ΛBC中，3b=4a

222

τ7mj,Ca+b-c(="%"-cP7I

又因为COSC=---------=--------z--------=->解得c=/

2ab2×h-h82

4

/+2_力2（―）2÷（~）2-^21

由余弦定理可得CoSB=，；葭=.42—=-1.

2ac2——4

丁5

5.（河南省开封高级中学2022∙2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（四）试题）记ABC的内

角AB,C的对边分别为。也。，已知Sin8-αcosC=ccosA,⅛=√6,G为：tABC的重心.

（1）若。=2,求C的长；

【答案】（l）c=2±&

【分析】（D根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得SinA=在，进而得COSA=逅，再根据余弦定

33

理解方程即可得答案；

【详解】（1）因为GaSinB-〃COSC=ccosA，

所以，GSinAsinB-sinAcosC=sinCcosA,

所以9GSinASinK=sinAcosC+sinCcosΛ=Sin（A+C）=sin8

因为3∈（0,兀）,sin8wθ,所以SinA=#，

因为。=2<匕=指，所以4θ（θ,^∣^],COSA=^,

因为-吸6+%-4=坐,整理得。2_4。+2=0,解得c=2±√∑,所以c=2±四

2bc2√6c3

6.（广东省深圳市2023届高三第一次调研数学试题）记ABC的内角A民。的对边分别为〃淮,。，已知

b+c=2Qsin[c+∙^∙）.

⑴求A；

【答案】（I）A=W

【分析】⑴由"c=2"sin（c+V）可得b+c=GαsinC+ocosC,由正弦定理及辅助公式得Sin（Aq）=g,即可

求得答案；

【详解】（1）解：由已知得，b+c=ʌ/ɜwsinC+acosC，

由正弦定理可得，sinB+sinC=V3sinAsinC+sinAcosC>

因为A+B+C=π,所以SinB=Sin（A+C）=SinACoSC+cosAsinC,

代入上式，整理得CoSASinC+sinC=GSinASine,

又因为C∈（0,兀），SinCW0,所以由SinA-COSA=1,即"”（从一£）=（

又因为A∈(0,π),所以q<A-g<乎，所以A-?=》解得A=?

666663

7.(湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题)已知ABC的内角A、8、C所对的边分别为。、

b、c,acos(B-C)=^2∙>^csinB-cosA.

(1)求角A；

【答案M呜

【分析】(1)利用和差角的余弦公式得到“sin8sinC=√Jcsin8cosA,再由正弦定理将边化角，即可求出tanA,

从而得解；

【详解】(1)解：因为。CoS(B-C)=(2&sinB-a)cosA,

可得acos(B-C)+QCoSA=2V3csinβcosA,

则QCoS(β-C)-GCOS(B+C)=26csinBcosA,

即αsinBsinC=VJcsinBcosA,由正弦定理得SinAsinBsinC=KSinCsinBcosA,

显然SinC>0,sinB>O,所以si∏Λ=√5cosA,所以tanλ=√L因为A∈(0,π),所以A=皋

8.(河北省石家庄市2023届高三质量检测(一)数学试题)ABC的内角4B,C的对边长分别为",6,c,设

a+b_sinC+sinB

c-bsinA

⑴求C；

(2)若(百+1)4+2匕="<:,求SinA.

【答案M哼2兀

【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；

【详解】(1)根据题意，由正弦定理可得土牛=出，即c?="+从+必，

c-ba

所以根据余弦定理COSC="2及.c中Ce(O,π)可得C=

2ab2ɔ

9.(江苏省南京市、盐城市2023届高三上学期期末调研反馈数学练习题)记.ABC的内角Z,B,C的对边

分别为4,b,C9已知SinASin(C-5)+sin?C=SinBsin(A-C).

(1)证明：a2+b2=3c2;

【答案】(1)证明见详解

【分析】(I)先利用两角差的正弦公式展开，再利用正弦定理，将所给的条件角化边，最后利用余弦定理

即可证明；

【详解】(1)由SinASin(C-3)+siι√C=SinBsin(A-C)可得，

sinA(SinCCOS3-cosCsinβ)+sin2C=sinB(SinAcosC—cosAsinC),

再由正弦定理可得，

accosβ-abcosC+c2=abcosC-bccosA,

即accosB-20∆cosC+c2+hecosA=0>

根据余弦定理可知，

-{al+ci+b2-c2)+c2+ɪ(/?2+c2-«2)=0,

化简得：a2+b2=3c2,故原等式成立∙

10.(辽宁省名校联盟2022-2023学年高二下学期3月联合考试数学试题)记ABC的内角43,C的对边分

别为0,8,c,已知.

在□0sin2A=44sinAcos咚；LlsirB-Sinh=SinAsinC这两个条件中任取一个，补充在上面问题中，并解答

2

下面问题.

⑴若C=I,求A；

注：如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.

9JT

【答案】⑴4=等

【分析】(1)若选择利用二倍角公式结合正弦定理化简即可；若选择利用正余弦定理即可.

【详解】(1)若选择口，

由加in2A=4。SiIL4COS2ɪ,得2ftsinAcosA=44sinAx∣

因为SinA≠0,所以⅛∞sA=α∙(l+cosb),

由正弦定理得SinBcosA=SinA(1+CoSB),则SinBCOSA-sinA∞sB=sinA,即Sin(B-A)=SinA,

所以B-A=A或B—A+A=π(舍)，则B=2A.又C=∙^,所以A+B=兀一三=£，即3A=等，故A=^.

若选择］,

由条件及正弦定理得从-/=αc,

由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB,所以ac=/一2αccos8,贝!Ia=C-2acosB,

由正弦定理得sinA=sinC-2siιx4cosB,所以sinΛ=Sin(A+8)-2sinAcos8,

整理得SinA=SinBCOSA-SinACoS8=sin(8-A),所以B-A=A或3-A+A=π(舍)，贝!∣3=2A∙

又C=g,所以A+8=π-g=4,即34=斗，故A=2.

33339

11.（广东省江门市2023届高三一模数学试题）在锐角.ASC中，角A,8,C的对边分别为a,。,c,且一工，

tanB

工，一工依次组成等差数列.

SinAtanC

⑴求《的值；

be

【答案】（1）2

【分析】（1）根据一工，ɪ,一二成等差数列结合三角恒等变换可得sin）=2sinBsinC,由正弦定理即

tan∏SinAtanC

可求得《的值；

be

CoSBιcosC_SinCcosB÷CosCsinBSin（C+8）SirL4

【详解】（1）由条件得：&二d+二C+==--------------=,

SIrLAtan∏tanCsinBsinCSinBsinCSinBsinCSinBsinC

所以sin?A=2sinBsinC，

由正弦定理得：a1=2bc,所以《=2.

be

12.（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））在ABC中，角4B,。所对的边分别为a,b,

22

ct（61+c）sinA=sinA+sinC,ɛ+ɛ=⅛-1.

⑴求8

【答案】⑴120。

【分析】（D利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.

【详解】（1）（q+c）sinA=sinA+sinC,

.∙.(o+C)Q=α+c,:.a=\9

&a2+ac=a+c9

,c2+(?=fe2-1,

21

两式相加得/+c+ac=a+b-∖i

2

CT+c2+ac=hBPCOSB=

92

.∙.B=120o.

13.(2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题)已知:ABC的内角48,。的对边分别为凡4dB为

钝角.若ABC的面积为S,且4bS=a(〃+c2-/).

(1)证明：B=y+A;

【答案】(1)证明见解析

【分析】(D利用余弦定理及面积公式将条件变形得COSA=Sin8,再利用诱导公式及三角函数的性质可证

明结论；

,222

【详解】(1)由余弦定理COSA=————人得2ΛccosA=E+<?一,

Ihc

4bSʌ..4Z?1.,.八A(D兀、

/.---=2bccosA=—X-QCSIn8o,.,.cosA=sinB,cosA=cosπ--,

aa2<2J

8为钝角，则均为锐角，.∙∙8g=A,BPB=→A;

14.(江苏省南京师范大学附属中学江宁分校等2校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题)已知a,b,c

22

分别是MBC三个内角A,B,C的对边,ABC面积为S,且46S=从+c+2bc-a.

(1)求4；

【答案】⑴。

22

【分析】(1)先将三角形面积公式代入4√35=h+c+2bc-再将余弦定理代入,化简后利用辅助角公式即

可得出结果；

【详解】(1)解:由题知4病=从+。2+2儿"，

贝!!有：4\/5xgz>csinA="+c'2+2%c-42,

在ABC中,由余弦定理可得：

2bccosA=b2+c2-a2

代入式可得：2G∕?CSinA=2bccosA+2"，

即GSinA-cosA=I,

由辅助角公式可得：sinjA_g]=；,所以A-B=g+2丘或A_J=¥+2E，k€Z,

16/26666

即A=工+2E或A=π+2E,k∈Z,因为Ae(O,兀),所以A=1；

六、高考真题衔接

一、解答题

I.（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）在,√U5C中，角/、B、C的对边分别为a,b,c.已知

a=ʌ/ð,/?=2c,cosA=-∙-.

4

⑴求C的值；

（2）求sin3的值；

【答案】⑴C=I

力∙Rvɪθ

（2）sinB=-

4

【分析】（1）根据余弦定理/=从+/一2机、CoSA以及b=2c解方程组即可求出：

2

【详解】（1）因为/=〃+/一2历CoS4,即6=b+/,而b=2c,代入得6=4（?+/+。2,解得：c=\β

（2）由（1）可求出6=2,而0<A<π,所以SinA=Jl-COs?4=姮,又‘½=工，所以

4sinAsinB

2x姮L

⅛sinA4√10.

sinBd=--------=-----τ÷-=-----

«√64

2.（2021年北京市高考数学试题）在"BC中，c=2bcosB,C=笄.

（1）求/5；

【答案】（Dɪ;（2）答案不唯一，具体见解析.

O

【分析】（I）由正弦定理化边为角即可求解；

【详解】（1）：C=TbcosB,则由正弦定理可得SinC=2sinBcos8,

.∙.sin2B=sin与=冬C=y,.∙.Be[θ,（｝28《0号），

.•.28=9,解得B=';

3.（2022年浙江省高考数学试题）在；ABC中，角N,8,C所对的边分别为a,b,c.已知44=石c,cosC=g.

（1）求SinA