2022-2023学年天津名校高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年天津名校高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共18小题，共90.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.双曲线《一［=1的离心率为（）

94

3BV13C2√13

A.2・~,3D.

2.抛物线y2=24x的准线方程为()

A.X=—3B.X=—6C.X=—12D.X=-24

3.若数列｛αn｝中,a1=1,an+ι=3an—1,n∈N*.则a⅛=()

A.5B.6C.7D.8

4.直线I：X-y+2=0被圆。：/+y2=9截得的弦长为（)

A.2√7B.√7C.2√5D.√5

5.已知｛arι｝是等差数列，｛%｝是各项均为正数的等比数列，一ELal—九=1,+ɑɜ=2b3，

-3a-7,贝肪4-=()

b52

A.7B.4C.1D.-2

6.如图，在三棱锥S-ABC中，SA_L底面ABC,ABlAC,S4=AC=

2,AB=1,。为棱SA的中点，则异面直线SB与DC所成角的余弦值为

C√21

DI

7.设SrI是等差数列｛%t｝的前n项和，若56=60,则<⅛+的值是（）

A.10B.20C.30D.60

8.已知双曲线捻-∕=l（α>0,b>0）的一条渐近线与圆（x-2）2+y2=ι相切，则该双曲

线的离心率为（）

A.√3B.小C.辿D.2

23

9.已知抛物线C：y2=8χ的焦点为F,点P在抛物线上，IPFl=8,则点P的横坐标为（）

A.5B.8C.4D.6

10.已知数列｛ari｝满足α7t=Mn+1），则数列｛工｝的前2023项之和为（）

an

A2023D2025C2022C2024

2024202420232023

=√3,ΛD=1,则直线BCl与平面&Bo

D.φ

555

12.如图，在直三棱柱ABC-a/iCi中，AC1BC,AC=2,

BC=CCl=4,点D是棱48的中点，则平面488√lι与平面BICD

A1

所成角的正弦值为（）

√30

A.

"ιδ^B

√7δ

B.1δ^A

√30

C.

D.√6

~6

己知等比数列｛斯｝的前项和为％，若碧，则5｝的公比（

13.n=q=）

ʌ■"IC.-或1D.沏

n1

14.已知数列｛册｝的通项公式为：αn=2n-l+2-,n∈∕V*,则数列｛αn｝的前IOO项之和

为（）

A.9999+2100B,10099÷210°C.9998+2101D,10098+2101

15.已知数列｛6｝的通项公式为：即=押，TiEN*,则数列｛Q71｝的前IOO项之和为（）

ʌ,201C1000010100

A∙6-普B.6-翁C.^iooΞ7DΞ≡→

16.已知双曲线H：⅛-⅛=l（α>0）.以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双

αz9vJ

曲线的两条渐近线相交于4、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为4α,则双曲线的方程为（）

a∙⅜-⅞=1b∙⅛-⅞=1C∙∣∣Y=1D∙g-⅞=1

17.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线，与抛物线C交于两点A,B,若3存=5而,

则直线I的斜率k=()

A.+√15B.+2√2C.±√5D.±√3

18.已知数列｛c⅛｝的通项公式为：即=竽"，数列｛6｝的前n项和为上，若对任意的正整

数n,不等式立>(-1)与恒成立，则实数C的取值范围是()

A.(-1,4)B.(-2,4)C.(-1,第D.(-2,刍

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

19.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(4,0),则P的值为.

20.已知等差数列｛αn｝的前5项和Ss=20,a5=6,则απι=.

21.设双曲线［-1=l的左、右焦点分别为居、％，点P在双曲线的右支上，则仍a|一

∖PF2∖=-

22.已知过抛物线C：*=8χ的焦点尸且与X轴垂直的直线与抛物线交于a、B两点，则

∖AB∖=.

n

23.已知数列｛α7l｝的通项公式为：α⅛=(-l)∙-ri),n€N*,前n项和为右，贝IJ

540=--------

24.已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：y-y2=1±,PM1PN,PD1MN,垂

足为。，点。为坐标原点，若I而|=遮，则而•丽的最大值为.

三、解答题(本大题共2小题，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

25.(本小题15.0分)

设椭圆胃+《=1(。>匕〉0)的右焦点为F，右顶点为4上顶点为B,已知情=等.

(I)求椭圆的离心率e；

(H)设直线2与椭圆有唯一公共点M(M在第一象限中)，与y轴交于N,IoMl=ION其中。为

坐标原点，

⑴求直线，的斜率；

3)若IMNl=2√6.求椭圆的方程.

26.(本小题15.0分)

已知｛αrι｝是各项均为正数的等比数列，其前兀项和为右，α1=1.且S3+α3,S5+α5,S4+«4

成等差数列.

(I)求数列｛αrJ的通项公式；

(αrpn为奇数，

(]1)设匕=](3n+5)an汨俚将n∈N*,求数列｛b"的前2n项和

((n-l)(n+l)'n为偶数.

(HI)设金=即+，n∈N*,证明：T=14<6∙

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由双曲线《一比=1，可得α2=9,b2=4,

94

•・•双曲线的离心率e=£=J”号=苧，

故选：D.

利用双曲线的离心率e=£=∣ι+玖,即可得出结论.

本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由题意可知：抛物线y2=24x的焦点在X轴正半轴，且2p=24,即合=6,

故抛物线产=24x的准线方程为尤=-≡=-6.

故选：B.

由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：=1,c⅛+ι=3αn-l,

**•。2=3。］—1=2,ʤ=3。2-1=5,

故选：A.

根据数列的递推式，即可得出答案.

本题考查数列的递推式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由圆。：%2+y2=9,得圆心。(0,0),半径r=3,

圆心。到直线，：x-y+2=0的距离d=

・,・弦长=2Λ∕Γ2—d2=2√9—2=2Λ∕7•

故选:A.

求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出弦长.

本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力，属基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设｛即｝的公差为d,｛%｝的公比为q,由题意q>0,

由已知可得：『（二手：；消去d得q4-2q2-8=0,

解得q=2,d=2,

3

■•a4=a1+3d=1+6=7,b4=b1q=1x8=8,

则瓦—Ci4=8-7=1.

故选：C.

设｛斯｝的公差为d,｛b｝的公比为q,由题意q>0,利用等差数列与等比数列的通项公式列式求解

d与q,进一步求解得答案.

本题考查等差数列与等比数列通项公式，考查计算能力，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：在三棱锥S-4BC中，S41底面力BC,ABLAC,SA=AC=2,AB=1,。为棱S4的

中点，

以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则S(0,0,2),B(LO,0),D(0,0,1),C(0,2,0),

SB=(1,0,-2),DC=(0,2,-1),

∙∙m＜面反＞=1=春/

则异面直线SB与。C所成角的余弦值为|.

故选：D.

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SB与Z)C所成角的余弦值.

本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：因为等差数列｛厮｝中，56=3(%+。6)=60,

所以的+a6=20,

则ʤ++a6,=20.

故选：B.

由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解.

本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可知，双曲线的渐近线的方程为y=±gx,即bx±αy=0,

•••一条渐近线与圆(X-2)2+y2=1相切，

2b

.∙.=I1

2

y∣b+a2'

：，a=V5b,

∙∙∙c=2b,

故选：C.

利用渐近线与圆(X-2)2+y2=I相切，求出α,b的关系，从而求双曲线的离心率.

本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：抛物线C：y2=8χ的焦点F(2,0),准线心X=-2,

令点P的横坐标为沏，由抛物线定义得IPFl=Xo+2=8,解得XO=6,

所以点P的横坐标为6.

故选：D.

根据给定条件，利用抛物线定义求解作答.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解：由题意，可得怖=U—后

则数列｛二｝的前2023项之和为:

----1F…d

ala2------a2023

--J-———-4-∙∙∙-I--------------------------------

22320232024

2023

2024

故选：A,

先根据题干已知条件计算出数列｛占｝的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前2023项之和，

可得正确选项.

本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题.考查了转化与化归思想，以

及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

IL【答案】C

【解析】解：以。为原点，分别以Zλ4,DC,DDl为％,y,Z轴，建立空间直角坐标系如图，

则

4(1,0,®B(l,√3,0),C1(0,√3,√3).

DAi=(l,0,√3)>DB=(l,√3,0)-BCi=(-l,0,√3)

设平面4/。的法向量为记=(%,y,z),

则PT∙DA1=%+V3z=O

In-丽=X+√3y=O

令％=百，y=-l,z=-l».∙.n=(√3,-l,-1),

直线BCl与平面AlBD所成的角为α,

.-λ^+0-√3.√15

sina=∣cos<n,^BC[>∖=|谭磊II√l÷0÷3×√3+l+lI

故选：C.

以。为原点，分别以DA,DC,DDl为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

本题考查直线与平面所成的角，是中档题.

12.【答案】B

【解析】解：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系,

则4(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4),设平面ZBBlAI的法向量元=(X,y,z),

—.----->fn-瓦5=2x—4y=0

••・34=(2,—4,0)产31=(0,0,4)，则h1ll_旧，:,

In∙BB1=4z=0

令％=2,则y=1,z=0,

ʌn=(2,1,0),

同理可得：平面BlCO的法向量沅=

Λ,L.→一、五•沅3√30

故fCoS⑴,m)===—,

',∣n∣∣τn∣√Zg5×√ZZ610

设平面ABBMi与平面/CO所成角为。6[0申，则COSe=黑，

410

故平面ABBMi与平面BICO所成角的正弦值Sino=√1-cos20=—■

故选:B.

建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.

本题考查了二面角的计算，属于中档题.

13.【答案】B

【解析】解：由于等比数列｛a71｝的前n项和为Sn,若知=，

勺(1-勺6)

所以T⅛=:整理得l+q3解得q=1

%(1-qj)8"8"2

-^izQ-

故选：B.

直接利用等比数列的性质求出结果.

本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易

错题.

14.【答案】力

【解析】解:由题意,可得数列｛an｝的前IOO项之和为：

aα

α1+α2+3+`"+ιoo

=(1+20)+(3+21)+(5+22)+-+(199+2")

=(1+3+5+•••+199)+(20+21+22+…+2")

_100x(1+199)1-2100

=2h1-2

=10000+2100-l

=9999+2100.

故选：A.

本题根据数列｛即｝的通项公式的特点可运用分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式计算出

数列｛αrl｝的前100项之和，得到正确选项.

本题主要考查运用分组求和法求前n项和问题.考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列和等

比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

15.【答案】B

【解析】解：由题意，设数列｛arι｝的前Ti项和为5,

F

则Sn=a1+a2+•■•+an=今+最+,H----表4,

1r1,3ll2n-3,2n-l

2δ∏=尹+/+…+

两式相减，

—r/日1C1,2,2,,2-2n-r1

可得2Sn=/+尹+/+…+^→-∕^

=1+1+工+…+_!__吧

n2n

1十∙l十21十十2~2

1

2n-12n-l

=1+TI---2^

=3-2n+3

U2n+3

λ

SrI6-k，

_2×100+3_203

ʌɔlθθ=621OO-1=6-^99•

故选：B.

先设数列｛%l｝的前几项和为又，再根据数列｛时｝的通项公式的特点运用错位相减法推导出数列｛αn｝

的前n项和土的表达式，最后代入n=100即可计算出前IOO项之和，得到正确选项.

本题主要考查运用错位相减法求前n项和问题.考查了转化与化归思想,等比数列求和公式的运用，

以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

16.【答案】B

%2+y2—9

【解析】解：联立y=gχ-，解得/=篇,y2=晶,

由题意可得四边形力BCD为矩形，

∙∙∙=4J篇X晶=4a，

解得。2=18,

双曲线的方程为经一4=1,

189

故选：B.

X2÷y2=9

联立3解得/,y2,由题意可得4bψ=4α,即可得出双曲线的方程.

V=-X

Va

本题考查了双曲线的标准方程及其性质、矩形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.【答案】A

【解析】解：抛物线C：y2=2pχ的焦点F《,0),显然直线/不垂直于y轴，

设直线1的方程为久=ty+≡由F=ty+狐去X并整理得：y2-2pty-p2=0,

设A(XI/1),B(x2ty2),则%+y2=2pt,%y2=-P?,存=《一修，一丫1)，初=(%2-勺丫2)，

由3/=5而得：丫1=一|丫2，而yι+'2=2pa则有yι=5pt,y2=-3pt,

因此为为=-15p2t2=-p2,解得七=±7⅛WJfc=I=±√15,

所以直线/的斜率k=+√15∙

故选：A.

根据给定条件，设出直线，的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.

本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

18.【答案】B

【解析】解：由厮=竽裴>0,可得数列｛S"递增，

当n为偶数时，Sn的最小值为S2=4；

当n为奇数时，S71的最小值为SI=2.

若对任意的正整数n,不等式Sn>(-1)与恒成立，

可得n为奇数时，Srt>-C恒成立，即有一c<2,可得c>—2；

n为偶数时，Sn>C恒成立，即有C<4.

所以实数C的取值范围是(-2,4).

故选：B.

判断数列｛Srl｝递增，分别求得n为奇数和偶数时Sn的最小值，再由不等式恒成立思想可得所求取值

范围.

本题考查数列的单调性的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能

力，属于中档题.

19.【答案】8

【解析】解：因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(4,0),所以与=4,即P=8.

故答案为：8.

根据抛物线的焦点即可得解.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

20.【答案】11

【解析】解：等差数列｛αjl｝的前5项和55=20,c⅛=6,

aι+4d=6r-2

所叫<J'。ɔɑ,解得？π一:，

5α1+—d=20(d=1

故arι=2+(n-l)=n+l,

所以=10+1=11.

故答案为：IL

直接利用等差数列的性质和求和公式建立方程组，进一步求出结果.

本题考查的知识要点：等差数列的性质和求和公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于

基础题和易错题.

21.【答案】2√5

【解析】解：由双曲线看一1=1，可得a=√^,

54

•・•点P在双曲线的右支上，

ΛIPF11-IPF21=2a=2√5,

故答案为：2小.

利用双曲线的标准方程及其定义即可得出结论.

本题考查了双曲线的标准方程及其定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

22.【答案】8

【解析】解：抛物线C：y2=8χ的焦点F(2,0),则直线4B：x=2,

由:V8久得：∣y∣=4,所以∣4B∣=8.

故答案为：8.

根据给定条件，求出直线4B的方程，即可计算作答.

本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

23.【答案】800

【解析】解：由题意，当n为奇数时，n+1为偶数，

n2n+12

则c⅛+αn+1=(-l)∙(n-n)+(-l)-[(n+I)-(n+1)]

=-(n2-n)+[(n+I)2-(n+1)]

=(n+I)2-n2+n-(n+1)

=2n,

故S40=Q]++…+。40

卜a

=(aɪ+a2)+(a3+a4)4-----59+4θ)

=2xl+2x3+…+2X39

=2X(1+3+…+39)

=2χ20x(1+39)

=800.

故答案为：800.

本题根据通项公式的特点可先计算出当九为奇数时Qn+即+1的表达式，再运用分组求和法及等差

数列的求和公式即可计算出SM的值.

本题主要考查运用分组求和法求前几项和问题.考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列求和

公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

24.【答案】2JIU+2

【解析】解：设P(a,b),因为I而I=石，故也2+炉=遮,所以Q2+272=5①，因为P(a,b)在

ɔ2

双曲线三一丫2=1上，所以自一炉=1②，

由①②可得。2=4,b2=1,由于双曲线的对称性，不妨设P(2,l),

①直线MN斜率不存在时，

可设M(Xl,yι),N(X2，先)，P(2,l),

ʌPM=(x1-2,y1-1),丽=(X2-2,y2-1)，

7

又TX1=%2且JI=一力，PM1PN,

2

(^PN∙PM=(x1-2)+(y1-l)(-y1-1)=O

解得M(6,√T7),/V(6,-√17),

∙.∙PDLMN,C为垂足，•••0(6,1),

X___2_1

②直线MN斜率存在时，设直线MN：y=kx+m,由彳-、=L

ʃ=∕cx+m

整理得(1—2∕c2)x2—4fcmx—2m2—2=0,

xx-,

设M(Xl,乃)，W(x2,y2),则Xι+X2=^τ^≡,12=7∑^2∙

因为PM1PN,所以丽-PN=(x1-2)(x2-2)+(y1-l)(y2-1).

2

得(必+l)χ1%2+(km-k—2)(x1+x2)+m—2m+5=0,

2

所以(/+l)(-^±f)+(/cm-/c-2)(^^ς)+m-2m+5=0,

得121+Qmk+m2+2m-3=0,即(6k+m+3)(2k+m-1)=0)

当2∕c+τn-l=O即根=-21+1时，直线MN：y=Zcx—2/c+1过定点P(2,l),不符合题意：

当6∕c+m+3=O即Tn=-6k-3时，直线MN：=Zcx—6k—3过定点〃(6,—3),

综上，点。在以PH为直径的圆上，∖PH∖=√16+16=4√2,线段P”的中点为(4,一1),

所以点。的轨迹方程为(X-4)2+(y+I)2=8,

故可设。的坐标为(2√∑cos8+4,2√2sin0-1).

所以丽∙PD=(2,1)∙(2√2cos0+2,2√2sin0-2)=4√2cos0+4-2√2sin0-2=2√10sin(α-

0)+2(其中Sina=京，cosa--^=),

所以当sin(α-。)=1时，赤.丽取得最大值2√IU+2，

故答案为：2√IU+2∙

先利用Iml=遍和双曲线方程求出P的坐标，由于双曲线的对称性，取P(2,l),接着讨论直线MN

斜率不存在和存在两种情况，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出鼠小的关系，说明直线MN

过点H(6,-3),即可得到点D的轨迹方程为(X-4)2+(y+1)2=8,故设D(2√∑cos8+

4,2√2sjnθ-1)，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案.

本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属难题.

25.【答案】解：⑴因为情=等,所以;⅛J

所以a?=4b2,所以M=4(α2—c2),所以3Q2=4c2,

所以e=孚

椭圆的离心率9

(II)(回)由(I)可知椭圆为立誓=1，即/+4y2=次，

设直线Ay=kx+m,联立/+4yz=a2,消去y可得：(4fc2+l)x2+8kmx+(4m2-a2)=0,

又直线I与椭圆只有一个公共点，

2222222

所以ZI=64fcm-4(4∕C+l)(4m-0)=0,所以4τ∏2=a(4k+1),

乂XM=一悬，所以丫”=k%"+巾=卜*(一悬)+G=总，

又IOMl=∣ON∣,所以(一浅P?+(我先)2=瓶2,

解得/=:，所以k=+%∙.∙M在第一象限，故k=一名

2—22

(ii)由(i)可得4z∏2=α2(4fc2+1)=3α2,.∙.m=+ɪɑ,

乂M在第一象限，・•.m=苧α,M(2乎∕V(0,√36),

V∖MN∖=2√6,ΛJ-θ)2÷(ɪʃ7-V3Z?)2=2Λ∕6,

解得b=V6,ʌa=2乃，

.•.椭圆的方程为导+4=1.

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【解析】(I)根据黑J=竽，即可求得a2=4b2,即可求得椭圆的离心率；

(Il)(El)由(1)可知，椭圆方程可转化为M+4y2=a2,设直线，的方程，代入椭圆方程，利用4=0

及IOMl=ION即可求得Zc的值；

(门)利用(1)可得点时，N的坐标，结合已知可求得a和b的值，求得椭圆方程.

本题考查桶圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属中档题.

26.【答案】解：(1)设等比数列｛。"｝的公比为勺，「%=1,且53+。3,S5+a5,S4+a4成等差

数列.

ʌS3+a3+S