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文档简介
2022-2023学年辽宁省重点学校高二(下)期中联考数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.己知掰=%则n=()
A.5B.4C.3D.2
2.函数〃>)=点在区间[1,8]上的平均变化率为()
A._1B--C—D
714144
3.已知向量五=(-2,l,4),b=(x,-呆,3+x),若方〃不,则|石|=()
A.5B.C.4D.年
4.在等差数列{即}中,5«14-«10=4,则{即}的前11项和为()
A.-88B.-44C.44D.88
5.1至9中的质数能够组成没有重复数字的整数的个数为()
A.24B.36C.48D.64
6.足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动,为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关
系,从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷,得到如下数据(1020,me
若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关,则m的最小值为()
2
附:丫2=_____Ma"bc)_____其中n二+b+c+d
"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'、Q
a=P(/2>k)0.250.100.050.001
k2.0722.7063.8416.635
A.17B.15C.13D.11
7.设7;为数列{即}的前律项积,若即+2即+1=0,neN*且。2-£16=30,则当7;取得最小
值时n=()
A.8B.7C.6D.5
8.已知两条不同的直线与曲线,(x)=Inx,g(x)=1都相切,则这两直线在y轴上的截距之
和为()
A.-2B.—1C.1D.2
二、多选题(本大题共4小题,共20.()分。在每小题有多项符合题目要求)
9.已知双曲线C:5一9=1(加>°)的一条渐近线的倾斜角为12。°,则()
A.C的实轴长为4
B.C的离心率为
2
C.C和双曲线孑=1有共同的渐近线
D.C和椭圆/+普=1的焦距相等
10.考研已成为当今大学生的热门选择.下表统计了某市2017-2022年研究生的报考人数,
年份201720182019202020212022
年份代号工123456
报考人数y/万1.872.362.923.253.734.47
由数据求得研究生报考人数y与年份代号》的回归直线方程为'=+>且2021年研究生报
考人数的预测值比实际人数多0.12万,则()
A.x与y之间呈正相关关系
B.a=1.35
C.年份每增加1年,研究生报考人数估计增加了1万
D.预测该市2023年研究生报考人数约为4.85万
11.已知数列{an}中,%=3,且点(册,即+1)在函数/'(%)=/+%的图像上,则下列结论正
确的是()
A.数列{郁}单调递增B.;--一>1
anan+l
2022
C.an<9n-6D.a2023>3x4
12.已知函数/'(x),g(x)在R上的导函数分别为/''(%),g'(x),若f(x-1)-g(2-x)=4,
g'(x)=f'(x+l),且f(x+2)为奇函数,则()
A.g'(x)为偶函数B.f'(0)+f'(2)=0
C.f(2)-g(l)=4D./(104)=4
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.随机变量X服从正态分布X〜N(4,M),若P(0.5WXW4)=0.38,则P(X岂7.5)=
14.已知函数/'(>)=一2工3+八1)/一/(1)力则.
2Ax
15.已知(1+:%尸=劭+。/+-+。„/,若各项系数中只有a,最大,则正整数n的最小
值为.
16.国际圆周率日是每年的3月14日,也是国际数学节.我国南北朝时期数学家祖冲之是世界
上将圆周率兀(兀=3.1415926...)精确到小数点后第七位的第一人,他曾给出圆周率兀的两个
近似值:与(约率)与|||(密率),它们都可以用同时期数学家何承天的“调日法”得到.下面用
调日法进行如下操作得到数列{册}由于,<兀<:得到%=管=3,由?<兀<9得到a?=
~=^由:<乃<引到。3=涔=与,继续计算…,若某次计算得出数值大于兀,与前面
小于兀的数值继续计算得出新的数值;若某次计算得出数值小于兀,与前面大于兀的最小数值
继续计算得出新的数值,以此类推,…,则=;若即=m,则n=.
四、解答题(本大题共6小题,共70.()分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)
求下列函数的导函数.
(l)y=4x3+x2-Inx+1;
(3)y=e2x+1sinx.
18.(本小题12.0分)
在①%=1,②S3=13,③数列{Sn+:}为等比数列这三个条件中任选两个,补充在下面
的横线上,并解答问题.
记%为正项等比数列{册}的前n项和,已知—.
(1)求数列{即}的通项公式;
(2)设7;为数列{S"}的前n项和,若7;+n=21,求n的值.
19.(本小题12.0分)
某乡镇积极贯彻党的二十大精神,全面推进乡村振兴战略,大力发展优质水果特色产业,为
农民增收助力.为提高水果的产量,该乡镇从4名男技术员和n名女技术员中抽取若干人进行果
树管理技术指导.若一次抽出3人,则至少有1名男技术员的抽取方法有74种.
(1)若一次抽出3人,求在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率:
(2)若一次抽取6人,记X表示6人中女技术员的人数,求X的分布列和数学期望.
20.(本小题12.0分)
1313
记Sn是各项均不为零的数列5}的前n项和,已知由日培=a+3(n22,neN).
(1)求数列{即}的通项公式:
(2)若勾=SnSn+「求数列{b}的前几项和〃.
21.(本小题12.0分)
如图,直四棱柱ABC。-&8传1。1的底面是梯形,2.DAB=乙4DC=90°,CD=3AB=3AD,
点M为GDi上一动点,E是MC上一动点.
(1)当CM=4EM随时,证明:4M〃平面BDE;
(2)若4CDM为等边三角形,当直线CM与平面ADE所成的角取得最大值时,求二面角4-
DE-B的余弦值.
22.(本小题12。分)
已知Ia,尸2为椭圆C;捻+,=l(a>b>0)的左、右焦点,C与抛物线E:y2=-4x有相同
的焦点,C与E交于A,B两点,且四边形A&BF2的面积为亨.
(1)求C的方程;
(2)设斜率存在的直线,经过M(-1,-2),且2与C交于P,Q两点,线段PQ上是否存在一点H,
同时满足下面两个条件,若存在,求出点”的坐标;若不存在,请说明理由.
®\MP\-\HQ\=\MQ\-\HP\i
②HF/+阳尸2|取得最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:熊=废,
则几(n-1)=4解得n=3(n=-2舍去).
故选:C.
据排列数、组合数定义求解.
本题主要考查组合数、排列数公式,属于基础题.
2.【答案】B
【解析】解:型二驾=匕=_工.
8-1714
故选:B.
根据平均变化率的定义计算.
本题主要考查平均变化率的定义,属于基础题.
3.【答案】D
【解析】解:由题意三=士=理,解得x=-l,
-214
即b=(—1,之,2),|b|=I1+^+4—
乙Y42
故选:D.
由向量平行的坐标表示求得X,再由向量的模的定义计算.
本题主要考查向量共线的性质,向量模的运算,考查运算求解能力,属于基础题.
4.【答案】A
【解析】解:设{an}的公差为d,则聂14—a]。=+13d)—(a1+9d)=—=4,
即由+5d=—8,所以怒=—8,
所以S11="驾巴-。=lla6=-88.
故选:A.
由等差数列通项公式的基本量法求得。6,然后由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求解.
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】解:由题意得1至9中的质数为2,3,5,7四个数,
故能组成的无重复数字的整数有:&+/+&+*=64,即。正确.
故选:D.
先得出1至9中的质数2,3,5,7,再排列组合即可.
本题主要考查了排列组合知识,属于基础题.
6.【答案】B
【解析】解:因为有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关,
所以160x[(70-m)(30-m)-(0+m)(50+m)产>?706,
80x80x120x40_z./uo,
即On-10)2220.295,因为y=(m-10/在10WmW20,rnCN时单调递增,
且(14-10)2<20.295,(15-10)2>20.295,
所以m的最小值为15.
故选:B.
由2x2列联表计算观测值,根据有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关列出不
等式,求出山的最小值.
本题主要考查独立性检验公式,属于基础题.
7.【答案】C
【解析】解:由题易知a-0,因为a+20+i=0,neN*,所以竽^一;,
nnan乙
所以数列{an}是公比为-2的等比数列,
由a2-=30,得-1a]-(-=30,解得由=-64,所以册=—64X(―
所以7;=-a2'03.…斯=%・%(一今•%(-》2…%(一今吁】=球(一今1+2+3+…
1n(n—1)n^+nin^—13n
=(-64)"(一=(-1)—(1)^-
要使”取得最小值,则争为奇数,且处资取最小值,
结合二次函数知识知n=6时,满足包为奇数,且巴型取最小值,
22
所以当7;取得最小值时,几=6,
故选:C.
通过等比数列定义及等比数列基本量计算求出通项公式a“=-64x(-今什1,然后求出前几项积
利用指数函数单调性及二次函数知识求解最值即可.
本题主要考查数列递推式,考查运算求解能力,属于中档题.
8.【答案】A
【解析】解:设曲线/(%)=比%上切点为曲线g(x)=e"上切点为(%2,,2),
1(%)=[,9rM=ex,
1_lnx^—ex2
7町一”2,消去工2得%i)—4一).一]=0,
-=ex2
{打
设g(%)=x^nx—%—Znx-1,g'(x)=Inx+1—1—:=Inx—%
易知g'(%)在(0,+8)上是增函数,^(1)=-1<0,y(3)=Zn3-1>0,
因此g'(%)在(1,3)也即在(0,+8)上有唯一解%°,
Ovxv%o时,g'(%)v0,g(x)递减,时,g'(%)>0,g(x)递增,
lnx——=0,lnx=—,g(%o)=xlnx—x—lnx—1=—(x4--)<0,
0%0XQ0oo0QXQ0
而g(e2)=2e2-e2-2-l=e2-3>0,g&)=一日一2+3-1=2—白>0,
因此g(x)=o在(o,&)和(%o,+8)上各有一解.
设g(%)=。的解分别为a,b,
1ill111
即g(a)=alna-a-Ina-1=0,又g(-)=-In------In——1=--Ina----FIna—1=
八'uWaaaaaa
alna-lna-a-1八
-----------=0,
a
所以3也是。(久)=0的解,即b=:,ab=1,
所以方程/仇-lnx1-1=0有两解p,q且pq=1,
于是切线方程为y—lnp=;(x—p),在y轴上截距为mp-1,同理另一条切线在y轴上截距是仇q-
1,
两截距和为,np—1+Inq—1=ln(pq)—2=—2.
故选:A.
1_m一1一/2
:"If,
-=ex^
{Xl
消去冷得i-/一伍与—1=0,设g(%)=%仇%-x-仇x-1,利用导数证明其有两解,并
且两解的积为1,从而得出曲线/(%)=仇无上两个切点的横坐标积为1,写出切线方程得出纵截距
并求和即得.
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查运算求解能力,属于中档题.
9.【答案】CD
【解析】解:因为双曲线C:=1(巾>0)的一条渐近线的倾斜角为120。,
所以一"^:=tanl20°,即=tQ7i60。=,3,解得m=2,
即a=V~M=,五,所以C的实轴长为2,克,故A错误;
则c='M+炉=所以e=(=^^^=2,故3错误;
2
因为C的渐近线方程为y=±Cx,又双曲线号-/=1的渐近线方程为y=±Cx,故C正确;
C的焦距为2c=4>/-2,而椭圆/+,=1的焦距为2c'=2V9—1=4v"一2,所以相等,故。正确.
故选:CD.
根据双曲线C;3一4=l(m>0)的一条渐近线的倾斜角为120。,由篝=tan60°=求得m,
进而得到双曲线的实半轴长和半焦距,然后逐项判断.
本题考查双曲线的性质,属于中档题.
10.【答案】ABD
1+2+3+4+5+6
【解析】解:x==3.5,
6
1.87+2.36+2.92+3.25+3.73+4.47
=3.1.
y=6
3.1=3.5b+a
则,解得b=05a=1.35-
5b4-a-3.73=0.12
.••研究生报考人数y与年份代号x的回归直线方程为y=0.5%+1.35-
••.x与y之间呈正相关关系,故4正确;
a=1.35-故8正确;
年份每增加1年,研究生报考人数估计增加了0.5万,故C错误:
预测该市2023年研究生报考人数约为y=0,5x7+1.35=4.85万,故。正确.
故选:ABD.
由已知求得样本点的中心的坐标,再由题意列关于;与展的方程组,求得;与展的值,然后逐一分析
四个选项得答案.
本题考查线性回归方程,考查运算求解能力,是基础题.
11.【答案】AD
【解析】解:由点(an,an+i)在函数/(%)=i+%的图像上,则有an+i=W+an,
对于4,/(%)=%24-%=(%4-1)2—开口向上,对称轴为%=—:,
又・.・的=3,,•.数列{an}单调递增,故选项A正确;
“Tc2.1111111111
对1,an+l=+Q,=---=~2~,—=----=-7——TT=----=------T7,-------=-T7,
斯+1an^~anan+l。n(即+1)an+lan。九+1anan+l。九+1
•.•%=3,数列{a"单调递增,•••;—"<1,故选项2错误;
anan+l
对于C,%=3,a2=12,a3=156,a3>9x3-6,故选项C错误;
对于D,an+1=+an=an{an+1),van>3,an+1>4,Aan(an+1)>4an,an+1>4an,
2n-12022
.11an>4an_1>4an-2>■■->4a1,•••a2023>3x4,故选项。正确;
故选:AD.
对于4,利用〃%)=%2+尢的单调性即可判断;对于以将软+1=欣+与取到数再裂项之后即可
判断;对于C,特殊值法即可判断;对于0,米用放缩法,将cin+i=成+a;,=an(an+1)>4an,
即可判断.
本题主要考查数列和函数知识的综合,考查计算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
12.【答案】BC
【解析】解:•••f(x-1)-g(2-x)=4,g(2-x)=f(x-1)-4,
令t=2—x,则x=2—t,g(t)=/(!■—t)—4,.'.g(久)=f(l—x)—4;
又g'(x)=f'(x+1),g(x)=f(x4-1)4-m(ni为常数),
•••f(l-尤)-4=f(x+1)+m,/(l-x)-/(I+x)=4+?n①,
令t——x,则有/'(1+t)—/(I—t)=4+m=/(I+x)—/(I—x)=4+m②,
:.f(l—x)—/(I+x)=4+m(3),
②+③得:4+m=0,f(l—x)=f(l+x),即/'(x)关于直线x=1对称,
由题意/(x+2)是奇函数,.•./(©关于点(2,0)对称,f(x)是周期为4x(2-1)=4得周期函数,
9(比)=f(x+1)-4(4),
即9。)得图像是f(x)向左平移一个单位再向下平移4个单位得到,
・•.g(x)是偶函数,即g'(x)是奇函数,故选项A错误;
又“为关于直线x=1对称,・••/(乃关于点(1,0)对称,即((0)+((2)=0,故选项B正确;
由④得g(l)=f(2)-4,.-.f(2)-g⑴=4,故选项C正确;
又"%)关于点(2,0)对称,•••”2)=0,/(104)=/(26X4+0)=/(0)=f(2)=0,故选项。错
误.
故选:BC.
根据条件求出f(x)的对称轴和周期,以及/(x)与g(x)的关系,逐项分析即可.
本题主要考查抽象函数及其应用,考查运算求解能力,属于中档题.
13.【答案】0.12
【解析】解:因为随机变量X服从正态分布X〜N(4,M),P(0.5<X<4)=0.38,
所以P(X>7.5)=P(X<0.5)=i-P(0.5<X<4)=0.5-0.38=0.12.
故答案为:0.12.
根据给定条件,利用正态分布的对称性计算作答.
本题主要考查正态分布的对称性,属于基础题.
14.【答案】5
【解析】解:当久=1时,/(I)=-2+f(l)-/(l),所以/1)=/⑴一1,
又((x)=—6/+2f(l)x-/(I)=-6x2+2f(l)x+1-
则/(1)=-6+21(1)4-解得((1)=10,
由定义可知,/黑。股中驾=拉"0铛咨2=),(1)=5.
故答案为:5.
求出导函数,建立/(I)与尸(1)的方程,求出((1),利用极限的运算及导数的定义求解即可.
本题主要考查导数的凡何意义,属于基础题.
15.【答案】16
【解析】解:由二项式定理可知,各项系数通项为为=“G)i(i=0,l,2」一,n),
、.
C泊4>C泊3—n-3X-1>1
由题意可知|::即解得15<n<19,
(第6)4>若©)5
/1-1
4(>>c东1弓厂】
当n=16时,由解得学<r<^,
4(新>钞©『+144
所以只有r=4时,a4最大,符合题意,
故正整数n的最小值为16.
故答案为:16.
根据二项式定理求出系数的通项,然后利用单调性列不等式,求解并检验即可得到答案.
本题主要考查二项式定理,属于基础题.
16.【答案】y23
【解析】解:由已知,接着。3,由;<兀(学得。4=篙=泉
f3,,1377r殂3+1316、
由彳V7TV彳,可得。5=石彳=亍,a5>71,
3
由,,19-T-ze3+1922、
1-可得臼=1=亏,兀,
V7TV—o»l+o/।rQ7>
3
由,,16-vze3+1619、
1-
V加V手,可得。6=不百=不,a6>n,
.322-TZB3+2225c.cl
由,V亢V万•,可得@8=YKT=万=3.125<71,
由.4花7<乃<k22'-可rz得s的。=147^+272=五69<,兀'
小25),22-rzs25+2247/
由可得。9=3亍=云<兀,
4697,22
由五V兀V~9可得"土医=卫
22+729
己知圆周率兀的两个近似值:竽(约率)与需(密率),即圈<兀<竽.
以此类推,从第8项开始,{%」的分子、分母分别成等差数列.
25+(n-8)x22_22n-151
即
ri>8,an8+(n-8)x77n-48
令每=m,即转=箸,得"23・
故答案为:y;23.
根据所列的具体项,寻求规律,计算得出结果.
本题考查归纳推理相关知识,属于中档题.
17.【答案】解:(1))/'=12/+2%—;;
sinx(x2,+2)—2x(4—cosx)_(x24-2)sinx+2xcosx—8x
(2)y'='2=/“2-2;
(#+2)("+2)
(3)y'=2e2x+1sinx+e2x+1cosx=(2sinx+cosx)e2x+1
【解析】根据导数的四则运算规则和复合函数运算规则求解.
本题主要考查导数的运算,属于基础题.
18.【答案】解:(1)选①a1=1,②S3=13:
设{an}公比是q,则S3=1+q+或=13,解得q=3或q=-4(舍去);
所以%=3吁1;
选①%=1,③数列{Sn+芸为等比数列,
设{即}公比是q,若q=1,则册=1,sn=n,
则Sn+?=n+4数列佛+?}不是等比数列,舍去,
因此#1,s“=M,Sn+:=署+六等篝,
数列国+支是等比数列,则⑸+?)2=8+为区+为,s/+a】S2+1=S]S3+詈(S1+
S)+—»(1+q)2+1+q=(1+q+q2)+,(2+q+q2),解得q=3(q=0舍去),
3"4z
所以S“+等=京绦=1x3"满足题意,即=3吁1;
选②S3=13,③数列尻+表为等比数列
设5}公比是q,若q=1,则a4=Sn=nalt5n+y=何+》即,数列岛+?•}不是等比数
列,舍去,因此qHl,
数列{Sn+号}是等比数列,贝心2+号)2=(&+号)区+为,s汁a1S2+J=SiS3+:(S】+
S3)+J,讲(l+q)2+冠(l+q)=a汽l+q+q2)+[(2+q+q2>解得q=3(q=°舍去),
又S3=+q+q2)=13,得%=1,
所以册=3吁】;
(2)由⑴%=富=耍
%=9+半+一.+嘤=*3+32+...+3与一;上等一广汽3厂1)冶,
^+n=1(3M-l)+^=21,易知n=3满足此方程,又{〃+n}是递增数列,因此n=3是唯一
解.
综上,n=3.
【解析】(1)选①②,由等比数列前n项和定义求得公比q后可得通项公式an;
选①③,由数列{Sn+:}为等比数列,则其前3项也为等比数列,从而求得公比q,即可得an;
选②③,由数列{Sn+:}为等比数列,则其前3项也为等比数列,从而求得公比q,再由S3=13求
得的后即可得即;
(2)由(1)得出Sn,分组求和求得7;后,说明{7;+n}是递增数列,由特殊值得唯一解.
本题主要考查了等比数列定义的应用,还考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,属于中
档题.
19.【答案】解:(1)一次抽出3人,则至少有1名男技术员的抽取方法有盘髭+C;盘+C潸中,
由题意可知G鬣+废废+盘=74.
即4X*国+6n+4=74,
整理得小+2n-35=0,
解得n=5或n=-7(舍去),
故共有5名女技术员.
若一次抽出3人性别相同的有戏+役=14种情况,其中3人都是男技术员有废=4种情况,
故这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率P=言=2;
147
(2)由题意,X可能的取值为2,3,4,5,
且P(X=2)=卑P(X=3)=卑=号,P(X=4)=卑=与,P(X=5)=第=士,
、/42、/eg21、/eg14、7Cg21
所以X的分布列为:
X2345
51051
P
42211421
故E(X)=2x泊3x|^+4x4+5X%学
【解析】(1)根据分类加法原理及组合数知识求出女技术员人数,然后根据条件概率的计算可得答
案;
(2)确定X的可能取值,计算每个值对应的概率,即可得分布列,进而计算其期望.
本题考查条件概率以及离散型随机变量及其分布列,考查运算求解能力,属于中档题.
313
20.【答案】解:(1)因为篇=京+瓦(兀22,7167),所以3Snan=a“+3s焉
即3s九(Sn—Sn_])=Sn—Sn_]+35^,
ii
整理得—7—=3,n>2,nEN,
dn-l
故数列{R}是以R=2为首项,3为公差的等差数列,
则2=2+(n-1)x3=3n-1,于是有%=白,
当nN2时,an=Sn_Sn_i=*_*=_(3n-i;(3n_4)'且"=1时,%=%不符合该式,
6,九=1
故斯=3;
-----------n>2
(3n—l)(3n—4)'一
(2)6n=SnSn+i=&11.、\=JQ11-、:丁)'
vy
aUTL3n—13n+233n—13n+2
所以Tn=瓦+⑦+…+b…超T)+蕤一》+…+家*-焉)=5(j-焉)=品
【解析】(1)将已知等式化简可得3Snan=an+3s汆再利用/与治的关系,整理得R-乙=
°n-l
3,7122,716N,即可得等差数列《■},求得Sn,由相减法即可得数列{册}的通项公式;
(2)根据裂项相消法求得数列{%}的前71项和7;即可.
本题主要考查了数列的递推式,考查了等差数列的性质,以及裂项相消法求和,属于中档题.
21.【答案】解:(1)证明:连接BD交4C于F,连接EF,如图,^ADC=/.CDA=90°,则力B〃CD,
又CD=3AB,所以釜=甯=%所以笠=:=黑
C1CUGTrV'lC
所以EF〃AM,又AMC平面BDE,EFu平面BDE,
y,z轴,建系如图,
由已知得ADJ■平面CCi。1。,CMu平面CCWi。,贝Ij/WICM,
当E为CM中点时,因为△CDM是等边三角形,因此OE1CM,
而CDE=D,AD,DEu平面ADE,所以CM1平面4DE,此时直线CM与平面4DE所成角为90。,
是最大角.
设4B=1,则AD=1,CD=3,△CDM是等边三角形,由对称性知M是中点,。5等于4CDM
的高,即亨
所以4(1,0,0),C(0,3,0),M(0言皑,E(0言浮),
ZL44
所以方才=(1,0,0),DE=(0,7,^?)>DB=(1,1,0),
44
设平面4DE的一个法向量是记=设平面的一个法向量是运=(x2,y2,z2),
(m-=0n•DB=血+%=0
则一yr??9.3x/~~3I
n-DE=ly2+^-z2=o'
(m-DF=-yi+—z1=0
取记=(O,1,-C),n=(l,-l,O))
沆员
所以COS〈沆,元)=_0-1-32xT5
|m||n|=2n
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