贵州省贵阳市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（文）试题（解析版）

贵阳市2023年高三适应性考试（一）

文科数学

2023年2月

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第∏卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、报名号、座位号填写在答题卡相应位置上.

2.回答第I卷时，选出每小题（答案U后，用铅笔把答题卡上对应题目的K答案》标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它K答案』标号.写在本试卷上无效.

3.回答第∏卷时，将（答案H写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.集合A={x*"},集合8={-3,-2,-1,1,2,3},则AF=（）

A.{2,3}B.{-2,T,l,2,3}

C.{—3,—2,2,3}D.{—3,3}

K答案》c

K解析，

K祥解Il解不等式可求得集合A,由交集定义可得结果.

K详析》由/24得：x≤^-2或xN2,即A=（-∞,-2]_[2,∙κ>o）,

.∙.Aβ={-3,-2,2,3）.

故选：C.

2.己知i是虚数单位，复数（l-2i）2的共规复数的虚部为（）

A.4iB.-3C.4D.-4

K答案UC

K解析H

K祥解》利用复数乘方运算得到（l-2i）2=-3-4i,从而得到（l-2i）2的共规复数及其虚部.

K详析H(l-2i)2=l-4i+4i2=l-4-4i=-3-4i,

故复数(1-2i)2的共轨复数为-3+4i,故共朝复数的虚部为4.

故选：C

3.在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为巧，8.1,8.4,8.5,9.0,9.5,X7(x7≤lθ),

若去掉一个最高分£和一个最低分A后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分毛的值不可能是()

A.7.7B.7.8C.7.9D.8.0

K答案』D

K解析》

K祥解D根据所给条件可得出主产∙=8.7,再由玉,A2的范围验证选项即可得解.

,__八“八__.,>八“8.1+8.4+8.5+9.0+9.5

『详析』因为xl去掉最身分与最低分后I平r均分为-----------------------=8.7,

F匚1%+8.1+8.4+8.5+9.0+9.5+ΛQ

所以-------------------------------9=0.7，

7

解得宥

8.7,

由于得分按照从低到高的顺序排列的，故玉≤8.1,9.5≤X2≤10,

当玉=7.7时，X2=9.7,满足上述条件，故A错误；当玉=7.8时，々=9.6,满足上述条件，故B错误；

当玉=7.9时，X2=9.5,满足上述条件，故C错误；当x∣=8.0时，々=9.4,不满足上述条件，故D正

确.

故选：D

4.等差数列｛4｝中，α2+a4+2β7=12,则数列｛%｝的前9项之和为()

A.24B.27C.48D.54

K答案，B

K解析H

K祥解11根据等差数列下标和性质求出4+%，再根据等差数列求和公式计算可得.

K详析』解：在等差数列｛凡｝中，4+%+2%=12,则4+6=2%

所以。2+。4+4+。8=12,又4+。9=。2=%+。6，

所以4+%=6,

9(q+αJ

所以S9=27.

故选：B

_，1

5.香农-威纳指数（H）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公式是H=-Z”,∙bg2Pi,

i=l

其中〃是该群落中生物的种数，Pi为第i个物种在群落中的比例，下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落

中各种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为（）

物种甲乙丙合计

个体数量300150150600

A.ɜ3

B.-c「l

24

R答案HA

K解析》

K祥解Il根据已知公式和对数运算直接计算求解即可.

≡,≡l^θ^

K详析D由题意知：H=一xlog+xlog+

600-600600^600

1111113

-I1og--l1g--l1og-

2+θ2+22~2~22

故选：A.

JT

6.如图，在JABC中，AB=6,AC=3,ABAC=ɪ,BD-2DC,]⅛∣J2∖β.-()

C

A.9B.18C.6D.12

K答案』D

K解析』

.12

K样解1由BD=IDC可得AD=-AB+-AC则

\21122

AB-AD=AB∖-AB+-AC∖=-AB+-ABAC,代入化简即可得出K答案F.

K详析》由6。=2。C可得：DC=个BC'

1I/\12

所以AC-AD=-BC=-(AC-AB),所以AO=—AB+—AC,

33'’33

(12>122

AB-AD=AB∙∖-AB+-AC∖=-AB+-ABAC,

(33)33

JT

因为A5=6,AC=3,NBAC=-,

2

1-291

所以A8∙AO=±A8-+-Aβ∙AC=-x36=12.

333

故选：D.

7.棱锥的内切球半径H=T1,其中%,S锥分别为该棱锥的体积和表面积，如图为某三棱锥的三视图,

若每个视图都是直角边长为1的等腰直角形，则该三棱锥内切球半径为（）

31

C-

6D.8-

K答案》C

K解析』

K样解》由三视图还原三棱锥，求得棱锥表面积和体积后，代入公式即可求得内切球半径.

K详析』由三视图可还原三棱锥如下图所示，

其中PAJ_平面ABC,ABlAC,AB=AC=PA=X,

•••V^C=1SABC-P4=lx|xlxlxl=i,

棱锥表面积S=3S.βr+5Wjr=3χ,χlχl+Jχ√Σx0χ走=也叵，

abcpbc2222

1

n213-√3

该棱锥的内切球半径R=3+-耳=3+G=-ð—•

2

故选：C.

8.已知直线4：工一2>-1=0,直线h康+2y+20=0,其中实数a∈[-l,5],则直线∕∣与4的交点位于

第一象限的概率为()

1111

A.—B.—C.—D.一

6543

K答案2A

K解析』

K祥解』首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在第一象限得到(

的范围，利用几何概型概率计算公式计算即可

K详析』当α=-l时，4：x—2y+2=0,此时与=k∣,=g,

所以4〃4,直线4与6无交点；

∖-2a

X--------

x-2y-l=0a+∖

当一l<α≤5时，由<解得:

ax+2y+2a=0-3cι

y---------

-2a+2

1-2«

>0

由题意4a↑i，解得一l<α<0,

-3aC

2。+2

又一1<Q≤5,

_n0-(-1)1

由几何概型的概率公式知，所求的概率为尸=UI二=7

J—(—1)o

故选：A.

22

9.以双曲线「-与=l(α>0,6>0)的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别交于A,B,C,。四点，若

a~h~

四边形ABCD的面积为6/,则该双曲线的离心率为()

A.6或2B.2或辿C.ɪD.6

33

K答案RB

K解析，

K祥解》先由双曲线与圆的对称性得到SBO=4x0%,再将%=^尤。代入焉+巾=〃，从而得到Xo=土

ac

y0=曲,进而结合5.8=扃2得到关于a∕,c的齐次方程，由此转化为关于双曲线离心率e的方程即可

c

得解.

K详析D依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形ABCo为矩形，如图，

2

不放设点4(Λ0,y0)(⅞>0,%>0)位于第一象限，则SABe=⅞×2%=4⅞y0,

22,t

因为双曲线Ir—亲∙=l(4>b>0)的渐近线方程为y=±,x,则Y)=:%,

22

以双曲线=l(α〉沙>0)的实轴为直径的圆的方程为Y+V=/,则片+巾=〃,

将为=2%代入x：+乂；=片，得*+(&)焉=/，

则"^V'W=",即二.芯=“2,所以片=3,,则/=幺，故%=弛，

a"a~ccc

又2，所以4%0%=,则4x^x—=Ca1,贝∣J4Q∕?=J^C?，

所以16。2〃2=3/,贝1]16。202一々2)=304,即3。4_16〃2,2+16/=0,

4

r4

≡3×--16×-r+16=0,即3e-6∕+16=0,解得e』或

因为e>l,所以e=2或e=R3.

3

故选：B.

10.函数/*)=ASin(S+。)[A>0,0>0,181<]]的部分图象如图所示，则下列关于函数y=/(x)的说

法正确的是()

①/(X)的图象关于直线X=--对称

4

②/(X)的图象关于点(一言,OJ对称

③将函数y=2sin(2x一弓)的图象向左平移5个单位长度得到函数/(x)的图象

④若方程F(X)=W在一万，0上有两个不相等的实数根，则加的取值范围是(-2,-6]

A.①④B.@@C.③④D.②③

K答案》B

R解析H

K祥解Il根据图象求出函数的K解析』式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论.

j9JrTlTT

K详析D解：由函数的图象可得A=2,由一•」=一一L,解得切=2,

40>312

(TlATTTT

又函数过点一,2,所以2x—+0=2Aπ+-,k《Z,

U2)122

又1例<5，得8=1,所以函数/(x)=2sin12x+1J,

当X=-《时，.f(x)=O,即F(X)的图象关于点(一彳π,OJ对称，故②正确;

6

故①错误;

ZX/\

将函数y=2sin(2x-∙^∣的图象向左平移5个单位长度得到y=2sin2∣%+-if2暇

故③错误;

当Xego，则2呜5

令2x+g∈-^,-y,解得XG-7,-77,此时Sin2x+g]∈-1,一-,即/(x)∈[—2,—石],

令2x+]∈—ɪ,ɪ,解得x∈—ɪ^,θ,此时Sin2x+y'j∈—l,ɔ^-,即/(x)∈[-2,6],

TrɔjrSjr

所以/(x)在一5,一方上单调递减，在一石∙,0上单调递增,

Tryr

因为方程/(X)=机在-于0上有两个不相等的实数根，即y=∕(χ)与y=根在一万,。上有两个交点,

所以mW卜2,—6],故④正确；

故选：B

11.如图，在三棱锥A-BcD中，平面4?。，平面BC。，4BS是边长为26的等边三角形，

工答案2A

K解析H

K祥解》设Z∖A8L＞外心为。2,4BCr＞外心为。-OB中点为E,过外心分别作平面AB。，平面BCD垂

线，则垂线交点。为外接球球心.后利用正弦定理可得4BCD，Z∖A8O外接圆半径不4,又注意到四边

222

形。2Eq。为矩形，则外接球半径R=1Jθ2B-ɪDB+O1B-

K详析》设445O外心为。2，ABCD外心为。-03中点为E

因OlE1DB,QEu平面BC£>,平面ABDJ_平面BCD,

平面ABDC平面BCD=BD,则。£_1,平面包?。，又QEU平面⑷?。，

则QE_L0?E.过。2，0∣分别作平面4犯，平面BCD垂线，则垂线交点。为外接球球心,

则四边形。2七°。为矩形∙外接圆半径4=OB=———=2.

12sin600

又因AB=AD=2，BD=2√3，则/84。=120°.故AABO外接圆半径

BD

=OB==2.

j2sin120°

22

又Oq=O2E=y∣O2B-EB=√4-3=1.

又OQ_L平面BCD,BaU平面BCD,则。O∣J∙BO∣.

故外接球半径R=OB=JOO：+BO：=√4+1=√5,

故外接球表面积为4πR2=20π.

故选：A

In点石成金口结论!"点石成金」：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球•设底面与侧面外接圆半径为

中4,底面与侧面公共梭长度为/,则外接球半径R=

,若6w[0,2π),且

f(cos3-sin,6∙)+/(5sin-5cosθ)>0,则。的取值范围是()

A.[0,2π)B.

K答案2D

K解析H

K祥解》由对数的运算性质和函数奇偶性的定义判断了(X)为奇函数，再由导数判断F(X)的单调性，将原不

等式两边去掉“/"，解不等式可得所求取值范围.

-τ∖∙8x+2/©+2

又八X)=I-cosx+2中f+l——=i-cθsx+≠^，

√4√+1+2Λ√4Λ2+1+2Λ

当x∈[0,+∞)时，1-CoSX>0,∖J4X2+∖所以/'(x)>0,

+l+2x

所以/3在[0,+∞)上单调递增，又因为/(χ)为奇函数，

所以/(χ)在R上单调递增，

由/(cos3-sin3。)+/(5Sine—5cos。)>()可得

f(COS3θ-sin3。)>-/(5Sine-5cosθ)=/(-5sin6,+5cosθ),

所以CoS36—sin，>-5sin+5cosθ，

所以(cosθ-sin6)(cos2θ+cos6∙sin6+sin?9)>5(cosθ-sinθ),

所以(cos-sin4(CoS9・sin6-4)>(),

ʌ/5sin(e—z)(∕sin28—4)<O,因—sinλrθ—4<O,

所以sin[e-：J>O,所以2E<e-；vτr+2E,Z∈Z,

πSTT

解得：2E+—<e<——+2E,⅛∈Z,又因为e∈[0,2π),

44

所以6e

故选：D.

第∏卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.函数/(x)=lnx-∙!■在点(1,-1)处的切线方程为.

X

K答案2y=2x-3

K解析H

K祥解H求导，再根据导数的几何意义即可得解.

K详析D/'(x)='+3,

XX

则广⑴=2,

所以函数/(x)=InX—5在点(1,-1)处的切线方程为＞+l=2(x-l),

即y=2x-3.

故K答案H为：y=2x-3.

14.正实数a,b满足」-+:=1,则α+4)的最小值为.

4ab

25

K答案，一##6.25

4

K解析》

分析》由1-+1=1结合基本不等式求解即可.

4。b

K详析力解：由题得α+4b=(α+4b)(^-+')=?+州+2≥ɪɪ+=

4ab4ha4∖ba4

525

当且仅当。=〃=—时，取等号，所以o+4b的最小值为一.

44

25

故R答案H为：—

4

15.赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为第24届国际数学家大会的

会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形ABC0是由4个全等的直角三角形和小正方形A4G2拼成，现

连接AA，当正方形ABiGA的边长为1且其面积与正方形ABCO的面积之比为1：5时，COSNDAR

AD

2

BC

K答案Dd叵.

10

R解析H

K样解』根据图形，由面积可得出直角三角的三边长，求出角的三角函数，利用

cosNDADl=cos(ZDAΛ1一NaA，)求解.

K详析H由题意得，S正方形AHC0=5,故直角三角形斜边AB为6，

设直角三角形中较短直角边长为山，如图中BBl=m,则较长直角边长为加+1,

如图中AB1=m+l,

则由勾股定理可得＞+(帆+1)2=(V5)2,解得〃2=1,

.∙.sinZDA41=1=半,cosNZ)AAI=A=昌

TT

∙.∙A41=A1D1,ΛZA1AD1=—,

cosZDAD1=cos(ZDA4l-ZAyADi)=cosADAAxCoSNAAf)∣+sinZDAA↑∙sinZA1AD1

≡√∣χ√2+2√5χ√2

5252

3√io

10

故K答案』为：

10

16.抛物线E:y2=4；c,圆M:/+/-4^-2),+4=0,直线/过圆心例且与抛物线E交于A,B与圆

∖AB∖

M交于C,D若IACI=IB。|,则

∖CD∖

K答案D虫U而

22

K解析U

K祥解》设直线/的方程为X=冲+2-5，由题意可知圆M的圆心为弦AB的中点，据此联立直线与抛

物线方程，由根与系数的关系即可求出山，再由弦长公式即可得解.

K详析』由M:Y+y2—4x-2y+4=0可得(x-2)2+(y-l>=l,

故圆心M(2,1),半径R=I,

因为直线/过圆心M且IACI=I80,所以ICDl=2,∖MA∖=∖MB∖,即M为AB的中点，

显然，直线/斜率为0时，不符合题意，设直线/的方程为X=冲+2-加，

y2=4x,

联立〈，消元得y2一4机〉+4加一8=0,

X=my+2-77：

设Aa,jl),B(X2,%)，由A=(-4m)2-4(4∕n-8)=32>0,

所以y+%=4加,y↑y2=4m-8,

由M为AB的中点可知，4m=2,即加=’,

2

所以IABl=Jl+/Iyl-%I=Jl+；∙"(y∣+乂)2-4)1%=-y-×∖∣21-4×(2-8)

=—×2√7=√35,

2

所以E=坦

∣CD∣2

故K答案H为：-

2

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.

7

17.等比数列｛4｝的前"项和为S11,S3=-,且％,24,4%成等差数列.

(1)求；

⑵若勿=nan,求数列｛bll｝前n项和Tn.

案,⑴％=出

K答

π-l

T“=4-(〃+2){；)

(2)

R解析》

K祥解了（1）由等差中项的性质结合等比通项，解方程得出4；

(2)由错位相减法得出数列也,｝前〃项和，.

K小问1详析』

,7

证明：∙.∙{αzl}是等比数列，且53=%+。2+。3=4+。14+4/=^①

又q,2%,4%成等差数列，...44=4+4%,=②

联立①②得q=1,4=g,

⅛ΓZj-I∙

K小问2详析上

由（1）知仇=”（g）

："11{1+2]{|+3.出I++咱①

三,"(卜科)++(〃-1)Q+咱②

①一②得∙⅛=+++

2nK)⅛)'⅛)-咱

1-ɪ

2β)=2"(»

^~T-

1----

2

7L=4-(〃+2){；)

18.2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居家学习，为了监测居家学

习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显

下降.为了解学生成绩下降的原因，学校进行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其

中有96名学生成绩下降，在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机

娱乐2个小时以上）的学生.

（1）根据以上信息，完成下面的2x2列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下降”与“长时间使用手机

娱乐”有关？

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱乐合计

成绩下降

成绩未下降

合计90200

（2）在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12人，现从“长时间使用手

机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进一步访谈，求被

访谈的两人为一男一女的概率.

参考公式：K2=-------~~-------------，其中“=Q+8+c+d.

（ɑ+b）（c+d）（ɑ+C）S+d）

P-%)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Zo2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K答案X（1）表格见K解析有

⑵—

15

K解析H

K祥解》（1）根据题意完成2x2列联表，计算《2,并与临界值对比分析;

（2）根据分层抽样求抽取的人数，利用列举法结合古典概型运算求解.

K小问1详析』

根基题意可得：2x2列联表如下：

长时间使用手机娱乐非常时间使用手机娱乐合计・

学习成绩下降544296

学习成绩未下降3668104

合计90IlO200

κ2=〃(ad—bc)2=2°°χ(54χ68-42x36)2w944>7879

(α+0)(c+d)(α+c)3+d)90×l10×96×104

.∙.有99.5%把握认为学习成绩下降与“长时间使用手机娱乐'‘有关.

K小问2详析』

1224

在抽取的6人中，女生有6x—=2人，男生有6x—=4人，

3636

设女生为1,2,男生为α,b,c,d,从访谈的6人中抽取2人的基本事件共有15种：

(1,2),(1,4),(1,。),(1,c),(l,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),

Q

设”被访谈的两人中一男一女生”为事件4,共有8种，则P(A)=石.

19.如图①,在梯形ABCD中，A。/∕8C,ADJ.AB,A。=248=26C,E为A。中点,现沿BE将,ABE

折起，如图②，其中兄G分别是BE,AC的中点.

①②

(1)求证：FG，平面ACO；

(2)若AB=AC=0，求点B到平面ACE的距离.

K答案R(I)证明见K解析U

2√3

K解析X

K祥解》(1)连接E4,EC,CE,证明AFL8E,CFLBE,可得BEL平面AeT7,再根据线面垂直的

性质可得LFG,在证明8人AC,再根据线面垂直的判定定理即可得证;

（2）先利用勾股定理可得AFVCF,从而可得AF，面BCDE,再根据线面垂直的性质可得AFLCE,

设H是CE中点，连接F",AH,证明CEJ_AF,再在三棱锥B-ACE中，利用等体积法即可得解.

K小问1详析』

连接必,FC,CE,

在图①中，因为4。//BC,4。LAB,4D=24B=2BC,E为Ao中点，

所以AE//BC且AE=BC,

所以四边形ABCz）为正方形，

则，ABE和一BCE都是等腰直角三角形，

在图②中，由CB=CE,AB=AE且F是BE的中点，

则AELBE,CRLBE,

又AFCCE=F,AE,CFu平面Ab,

所以BEJ_平面ACE,

又尸GU平面4CF,所以BEJ_JFG,

又因为BE//CD,所以CDLEG,

因为Ab=C尸，且G是AC的中点，所以FGAAC,

又因ACCr>=C,AC,COu平面AC。，

所以尸GL平面ACQ；

K小问2详析］

在图②中，因为46=&，所以AF=BF=CF=EF=I,CE=6,

又因为AC=JΣ，

所以A∕2+CR2=AC2,所以AFLeF,

又由（1）知AF工BE,CFCBE=F,CF,BEu面BCDE,

所以AEL面BCr）E,

又CEU面BCDE,所以AFLCE,

设，是CE中点，连接EH,AH,

因为Fe=EE,

所以FH_LCE,又AFCEH=尸,AE,FHu平面AEH，

所以CEL平面AEH，

又AFU平面AEH，所以CE_LAF,

1B

由题易得CE=AB=BC=√Σ,/77=—BC=X-,

22

AH=^AF2+FH1=—,

2

所以_BCE的面积为SABCE=^BC∙CE=1,

△ACE的面积为S“CE=；CE∙AP=gX&X曰=乎，

设点8到平面ACE的距离为"，

由VB-ACE~^A-BCE有~SMCE"=§S"CE'A产，

日口1ʌ/ɜ.1E-rpiJ2∖∕3

即一X-----d=—xlxl,所以d------,

3233

所以点B到平面ACE的距离为2叵.

3

①②

22

20.椭圆C:=+与=l(α>O>O)的右顶点A(&,0),过椭圆右焦点的直线/与C交于点/，N,当/垂直

Q-Zr

于X轴时IMNl=0.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AM与y轴交于P点，直线AN与y轴交于。点，点S(、反+1,0),求证：PSlQS.

2

K答案H(I)—+y2=l

2

（2）证明见K解析』

K解析』

K样解X（1）根据椭圆性质和通径公式即可求出椭圆方程;

（2）利用代数法分别表示出P点和。点，再联立方程并根据韦达定理找到两点坐标的关系，最后利用向量

垂直与向量坐标间的关系列式计算即可.

K小问1详析』

a=V2

a=V2

由已知,”二√r

b=∖

a

2

.∙.椭圆C的方程为土+V=I

2

K小问2详析》

证明：设过右焦点0,0）的直线/的方程为x^my+∖,且与曲线C的交点分别为M（%,另）,N（Λ2,必），

X=my+1

222

联立《xɔ=>^m+y+2my-1=0

,τ+∙v=|

2m-1

则由韦达定理有：另+%=-

(_∕τλ

设直线一夜）'

L"kχ⅛α当X=O时，P0,一"％

(x1-√2J

同理，设直线∕AM>=~2⅛（X一/），当X=O时，Q0,-√⅞、

2

¾-√Ix2-向1

若证PSLQS,即证PSQS=O

PS=√2+l,,QS=√2+l,

.PS∙βS=(√2+l)2+2)1%=(3+2√2)+2%力

(my+1-收)(加为+1-夜)

-1

2-

(3+2√2)+nr+2

-1-2m

m2•+(1—V2)77?,+(1—V2)2

m2+2m2+2

=(3+2√2)+∙~2^=(3+2√2)-(3+2√2)=O

6-4√2

.∙.PSQS=O,

：.PS±QS

21.函数/(x)=j?+(ɑ-i)f-3χ+ι.

(1)当α=l时，求函数/O)的单调区间；

(2)若过原点。可作三条直线与/W的图像相切，求实数α的取值范围.

K答案X(1)单调递增区间为(-8,-1)和(1,+8),单调递减区间为(T,l)

(2)a>4

K解析』

K祥解』(1)将α=l代入，对函数求导数，分别解/'(x)>0和/'(x)<0得函数的单调区间；

(2)设切点QjQ))Q≠0),由题出=/"),整理得1—α=2f-[,将条件转化为直线y=l-。与函

tt

数y=gQ)图象有三个交点，研究g«)=2t—《«H0),得“的取值范围.

K小问1详析)

当α=l时，/(x)=χ3-3x+l,xeR.

由J"(x)=3χ2-3,令/'(无)>0,解得x<-l或x>l；

令∕,(%)<0,解得一l<χ<l.

所以/(X)的单调递增区间为(YQ,—1)和(1,+8),单调递减区间为

K小问2详析』

易知原点。不在函数/(χ)的图像上，设切点为QJQ))Q≠0).

求导得f'(x)=3√+2(«-I)X-3,则=f'(t),

2

即'+(0-1)厂—3f+l=3/2+2(。-i)f-3,整理得2r+(α-l)r-1=O,

t

所以1—Q=2,--,

12

令g«)=2r—NaW0),则/⑺=2+不，

令g'")>0,解得f>O或，v—l；令g'α)<O,解得—1<∕<(),

所以函数g(f)在区间(-8,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上递增,

故当f<0时，